Doğru Orantılı Durumlara İlişkin Problem Çözme

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Doğru Orantılı Durumlara İlişkin Problem Çözme konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Doğru orantılı durum içeren problemleri tanır ve orantı kurar.
• Kazanım 2: Orantının eşitliğini kullanarak eksik niceliği bulur.
• Kazanım 3: Birim fiyat, ölçek ve hız problemlerini çözer.
• Kazanım 4: Cebirsel ifade kurarak doğru orantılı durum problemlerini çözer.
• Kazanım 5: Bulduğu sonucu bağlamla karşılaştırarak yorumlar.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konu, Orantılı Durumlar başlığında öğrendiklerimizin üzerine kurulur. Önceki konudaki kavram burada yeniden kullanılıyor; bu yüzden o adımı atlamamak önemlidir.

• Orantılı Durumlar — bu adımda öğrendiklerimiz bugünkü konunun dayanağı oluyor.
• Yüzde Problemleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Doğru Orantılı Durumlar ve Problemler

Doğru orantılı durumlarda iki nicelik aynı yönde değişir ve aralarındaki bölüm sabittir. Gerçek hayatta adet ile tutar, uzunluk ile maliyet, hız ile yol, emek ile iş çıktısı hep bu biçimde değişir. Bir problemde bu iki niceliği fark etmek çözümün ilk adımıdır.

Problem Çözme Adımları

Doğru orantılı durum problemleri üç adımda çözülür. 1. adımda nicelikler ve aralarındaki oran yazılır. 2. adımda orantının eşitliği kurulur, yani iki durumun bölümleri eşitlenir. 3. adımda eşitlik çözülür ve sonuç birimiyle birlikte yazılır. Bu sıralamaya uymak, uzun problemlerde hata yapmayı önler.

• 1. adım: Verilenleri ve isteneni belirle, nicelikleri aynı birime çevir.
• 2. adım: Durumlar arasında orantı kur, iki bölümü eşit olacak biçimde yaz.
• 3. adım: Eşitliği çöz, sonucu sorudaki birimle yaz ve mantıklı mı diye kontrol et.

Birim Fiyat Problemleri

Birim fiyat problemlerinde tek bir ürünün fiyatı bulunur, sonra istenen adetle çarpılır. Örneğin 4 kilogram elma 56 lira ise kilogram fiyatı 56 ÷ 4 = 14 lira olur, 6 kilogram için 6 × 14 = 84 lira bulunur. Burada adet ile tutar doğru orantılıdır; birim fiyat değişmediği sürece bu ilişki korunur.

Ölçek ve Harita Problemleri

Harita problemlerinde ölçek, haritadaki 1 birimlik uzunluğun gerçekte kaç birime karşılık geldiğini gösterir. Harita uzunluğu ile gerçek uzunluk doğru orantılıdır. Ölçeği bilmiyorsak iki bilinen değerden ölçeği bulur, sonra istenen değeri bu ölçekle hesaplar. Küçük ölçekte ayrıntı az, büyük ölçekte ayrıntı fazladır.

Hız, Yol ve Zaman Problemleri

Hız sabit olduğunda yol ile zaman doğru orantılıdır. Yol, hız ve zamanın çarpımıdır; hız, yolun zamana bölümüdür; zaman ise yolun hıza bölümüdür. Aynı hızla giden iki aracı karşılaştırırken kısa sürede yolu bitiren aracın hızlı olduğu sonucuna varılır.

Cebirsel İfadeli Problemler

Bazı problemlerde sayı yerine harf kullanılır. x kilogramı olan bir ürünün fiyatı p x ise, 12 kilogramı p × 12 olur. Orantılı durum problemlerinde önce iki durumun oranı yazılır, sonra bu oranı koruyan cebirsel denklem kurulur ve çözülür. Sonuçta bulunan sayının bağlamla uyuşup uyuşmadığı mutlaka kontrol edilir.

Özet: Doğru orantılı durumlarda iki nicelik aynı yönde değişir ve bölümleri sabittir. Problemler üç adımda çözülür: nicelikleri belirle, orantıyı kur, eşitliği çöz. Birim fiyat, harita ölçeği, hız ve emek problemlerinde bu yöntem aynı biçimde uygulanır. Sonuç bulunduktan sonra bağlamla karşılaştırılarak mantıklı olup olmadığı denetlenmelidir.

Sık Yapılan Hatalar: Orantıyı ters yönde kurmak, iki farklı birimli niceliği karşılaştırmak, üçüncü adımda sonucu birimsiz bırakmak ve çözülen değerin verilenlerle uyuşmadığını kontrol etmemek sık görülen hatalardır. Orantının eşitliğinde çapraz çarpım yerine bölüm kullanılması da sonucu bozar.

Günlük hayattan bir uygulama

Konuyu pekiştirmek için günlük hayattan bir uygulamaya bakmak gerekir. Aşağıdaki görev, Doğru Orantılı Durumlara İlişkin Problem Çözme bilgisini gerçek bir işin içinde kullandırmak için hazırlandı; çözerken hangi adımı nerede kullandığımızı not etmek faydalıdır.

Uygulama sorusu: Bir kırtasiyede kalem, defter ve silgi fiyatlarını araştırıp birim fiyatlarını bulabilir misiniz? Bir kalem ve bir defter alışının toplam tutarını hesaplayınız.

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Dersi tekrar ederken bakacağınız notlar

• Önce problemi iki satıra ayır: verilenler bir satır, istenen başka bir satır.
• Birim fiyat ya da ölçeği bulmak, çözümü tek adıma indirir.
• Denklemde iki tarafı da aynı sırayla yazarak çapraz çarpımı kontrol et.
• Sonucu bağlamla karşılaştır: büyüklük makul mü, birim doğru mu?
• Cebirsel denklemlerde bulduğun değeri soru cümlesinin içine geri yazarak doğrula.

Adım adım çözülmüş örnekler

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Birim Fiyatla Adet Hesabı

Soru: 5 kutu boya 240 TL'dir. Bu boyalardan 3 kutu kaç TL olur?

1. Adım 1: Adet ile tutar doğru orantılıdır, birim fiyat bulunur.
2. Adım 2: Kutu başına fiyat hesaplanır: 240 ÷ 5 = 48.
3. Adım 3: İstenen adetle çarpılır: 48 × 3 = 144.
4. Adım 4: Sonuç 144 TL olarak yazılır.

Cevap: 144 TL

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Harita Ölçeği Bulma

Soru: Haritada 4 cm ile gösterilen yolun gerçekte 20 km olduğu biliniyor. Gerçekte 35 km olan yol haritada kaç cm ile gösterilir?

1. Adım 1: Ölçek, iki bilinen değerden bulunur: 20 ÷ 4 = 5.
2. Adım 2: Ölçek gerçek kilometrenin harita santimetresine oranıdır.
3. Adım 3: 35 ÷ 5 = 7 hesaplanır.
4. Adım 4: Harita uzunluğu 7 cm olarak bulunur.

Cevap: 7 cm

Kavram karşılaştırma tablosu

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Kural, formül ve ölçü tablosu

Aşağıdaki tablo bu konudaki kuralları tek bakışta toplar. Karar verirken önce bu tabloya bakmak, kuralı hatırlamakta işe yarar.

Yukarıdaki ölçülerin arkasındaki kural ve formüller şunlardır:

Sık Yapılan Hatalar

Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.

• Orantıyı ters yönde kurmak: Adet ile tutar gibi çiftlerde doğru sıralama şarttır; yanlış sıralamada denklem yine çözülür ama sonuç saçma çıkar.
• Farklı birimleri doğrudan karşılaştırmak: Metre ile kilometre ya da dakika ile saat karşılaştırılmadan önce aynı birime çevrilmelidir.
• Sonucu birimsiz bırakmak: Sayı doğru bulunsa bile birim yazılmazsa problem çözülmüş sayılmaz.
• Kontrol yapmamak: Bulunan değer sorudaki aralıkta olmalıdır; örneğin 5 kutu fiyatından az olan bir tutar mantıklı değildir.
• Çapraz çarpım yerine bölüm kullanmak: Orantı denkleminde çapraz çarpım kullanılır; bölüm yapılırsa iki nicelik yer değiştirir.

Kısaca özet

Kısaca: Doğru orantılı durum problemlerinde iki nicelik aynı yönde değişir ve bölümleri sabittir. Çözüm üç adımda yapılır: nicelikleri belirle ve aynı birime çevir, orantıyı kur, eşitliği çöz. Birim fiyat problemlerinde önce birim fiyat bulunur, harita problemlerinde önce ölçek bulunur, hız problemlerinde yolun hıza ya da zamana bölümü kullanılır. Cebirsel ifade kullanılan problemlerde aynı üç adım geçerlidir. Bulunan sonuç mutlaka bağlamla karşılaştırılarak denetlenmelidir.

Derste gördüğümüz ana fikirler şunlar:

• Doğru orantılı durumda iki nicelik aynı yönde değişir, bölüm sabittir.
• Problem çözümünde verilenleri ve isteneni ayırmak ilk adımdır.
• Karşılaştırılan nicelikler aynı türden ve aynı birimden olmalıdır.
• Birim fiyatı bulmak, doğru orantılı adet problemlerinin çözüm anahtarıdır.
• Harita ölçeği bilinmiyorsa iki bilinen değerden önce ölçek bulunur.
• Aynı hızda giden iki aracı karşılaştırmak hız karşılaştırmasına dönüşür.
• Cebirsel ifade kullanıldığında harfin değeri soru bağlamında anlamlı olmalıdır.

Kendin dene: üç soru

Bu üç soru konunun özetidir. Çözmeden önce her biri için hangi kuralı kullanıyorum diye düşün; cevap anahtarı sonda verilmiştir.

1. Kısa kenarı, uzun kenarının yarısı olan ve çevresi 54 birim ölçülen bir dikdörtgenin alanı kaç birimdir? (Şıklar: 108 · 162 · 216 · 270)
2. Bir araç 240 kilometrelik yolu saatte 80 kilometre hızla kaç saatte tamamlar? (Şıklar: 2 · 3 · 4 · 5)
3. Bir aracın 3 litre yakıtla 54 kilometre yol aldığı ölçülmüştür. Bu araç 7 litre yakıtla kaç kilometre yol alır? (Şıklar: 126 · 108 · 132 · 144)

Cevap anahtarı: 1) 162 — Uzun kenar u olsun. Çevre 3u = 54 eşitliğinden uzun kenar 54 ÷ 3 = 18 olarak bulunur. Kısa kenar 18 ÷ 2 = 9'dur. Alan 18 × 9 = 162 birim olarak hesaplanır.

2) 3 — Yol, hız ve zaman arasında doğru orantı vardır. Zaman yolun hıza bölümü olarak bulunur: 240 ÷ 80 = 3. Sonuç 3 saat olarak yazılır.

3) 126 — Yakıt miktarı ile gidilen yol doğru orantılıdır, çünkü birim yakıtta gidilen yol sabittir. Litre başına yol 54 ÷ 3 = 18 kilometre olarak bulunur. 7 × 18 = 126 kilometre yol alınır.

İlgili konular

Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:

• Çokgenler, Açılar ve Alan — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Çember, Daire ve Veri-Olasılık — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi ve Yüzey Alanı — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Yansıma Dönüşümü — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Bu anlatım hakkında

Doğru Orantılı Durumlara İlişkin Problem Çözme başlığındaki her sayısal iddia elle doğrulanabilir biçimde yazıldı: soruda verilen değer, uygulanan kural ve bulunan sonuç yan yana durur. Metin özgün yazılmıştır, başka bir kaynaktan alıntı yapılmamıştır.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Bir kırtasiyede kalem, defter ve silgi fiyatlarını araştırıp birim fiyatlarını bulabilir misiniz? Bir kalem ve bir defter alışının toplam tutarını hesaplayınız. (15 puan)
• Evinizin yakınındaki iki nokta arasındaki gerçek mesafeyi bir harita yardımıyla ölçerek harita ölçeğini nasıl bulursunuz? Adımları yazarak açıklayınız. (10 puan)
• Aynı güzergâhta giden iki aracın hızları farklıdır. Bir araç 2 saatte 130 kilometre, diğeri 3 saatte 195 kilometre yol almıştır. Hangisi saatte kaç kilometre daha hızlı gittiğini doğru orantılı durum… (25 puan)

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: a / b = 8 / 12 biçimindeki doğru orantıda a = 6 ise b kaçtır?

1. Adım 1: Orantının eşitliği yazılır: 6 / b = 8 / 12.
2. Adım 2: Çapraz çarpımla eşitlik kurulur: 6 · 12 = 8 · b.
3. Adım 3: 6 · 12 = 72 hesaplanır, 8 · b = 72 olur.
4. Adım 4: b = 72 ÷ 8 = 9 olarak bulunur.

Sonuç/cevap: b = 9