Açı ve Köşegen Özellikleri

Konu Anlatımı

Dörtgen Türleri ve Açı Özellikleri

Bir çift kenarı paralel olan dörtgene yamuk, karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar, dört kenarı ve dört açısı eşit olan dörtgene eşkenar dörtgen denir. Eşkenar dörtgen aynı zamanda bir paralelkenardır ve dikdörtgen de bir paralelkenardır. Bu nedenle paralelkenar özellikleri diğerlerini de kapsar.

Paralelkenarda karşılıklı açılar eşit, komşu açılar tamamlayıcıdır. Yani bir açı a ise karşısındaki a, komşuları ise 180 − a olur. Yamukta yalnızca bir çift kenar paralel olduğundan bu eşitlik bütün açılarda geçerli değildir; paralel kenarların aynı bacağındaki iki açı toplamı 180° dir.

Köşegen Özellikleri

Eşkenar dörtgenin köşegenleri birerbirine dik kesişir ve köşegenleri birbirini iki eş parçaya böler. Bu iki özellik birlikte düşünüldüğünde dörtgenin köşegenleri aynı zamanda eksenleridir. Eşkenar dörtgende köşegenler eşit uzunlukta değildir; kısa köşegen uzun köşegenden daha kısadır.

Paralelkenarın köşegenleri eşit uzunlukta değildir, ancak köşegenler birbirini ortadan böler. Eşkenar dörtgen özel bir paralelkenar olduğu için bu kural onda da geçerlidir. Buna karşılık yalnız dikdörtgende köşegenler eşittir. Bu üç özellik karıştırılmamalıdır.

• Paralelkenarda karşılıklı açılar eşittir.
• Paralelkenarda komşu açıların toplamı 180° dir.
• Yamukta paralel kenarların aynı bacağındaki açılar tamamlayıcıdır.
• Eşkenar dörtgende köşegenler birbirine diktir.
• Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini iki eş parçaya böler.
• Yalnız dikdörtgende köşegenler eşittir.

Çözümlü Örnek

Örnek: Bir paralelkenarın bir açısı 118° ise diğer açılar kaç derecedir? 1. adım: karşı açı 118° ye eşittir. 2. adım: komşu açılar 180 − 118 = 62° olur. 3. adım: kalan karşı açı da 62° bulunur. 4. adım: denetim için 118 + 62 = 180 doğrulanır. 5. adım: dört açının toplamı 2 × 118 + 2 × 62 = 360 derece olarak hesaplanır.

Sık Yapılan Hatalar

• Yamukta karşılıklı açıların eşit olduğunu sanmak: Eşitlik paralelkenara özgüdür; yamukta yalnızca aynı bacaktaki açılar tamamlayıcıdır.
• Eşkenar dörtgende köşegenlerin eşit olduğunu düşünmek: Köşegenler birbirine dik kesişir ancak uzunlukları farklıdır.
• Paralelkenarın köşegenlerini eşit saymak: Köşegenler eşit değildir; eşitlik yalnızca dikdörtgende ve karede görülür.
• Komşu açıları eşit kabul etmek: Komşu açılar tamamlayıcıdır, eşit değildir.

Özet

Yamuk, paralelkenar ve eşkenar dörtgen dörtgen türleridir. Eşkenar dörtgen bir paralelkenar türüdür; köşegenleri birbirine dik kesişir ve birbirini iki eş parçaya böler. Köşegenlerin eşit olduğu tek paralelkenar dikdörtgendir. Yamukta karşılıklı açı eşitliği geçerli değildir, yalnızca aynı bacaktaki iki açı tamamlayıcıdır. Bu bilgiler açı hesabında ve köşegen sorularında kullanılır.

Ne Öğreneceğiz

Yamuk, paralelkenar ve eşkenar dörtgende açı ve köşegen özelliklerini karşılaştırmalı olarak incelemeyi hedefler. Bu konuda ögrenme çıktıları:

• Yamuk, paralelkenar ve eşkenar dörtgeni ayırt eder.
• Paralelkenarda karşılıklı ve komşu açıların ilişkisini kullanır.
• Yamukta paralel kenarlar arasındaki açı ilişkisini uygular.
• Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin dik ve birbirini ikiye böldüğünü bilir.
• Açılardan yararlanarak kenar veya köşegen uzunluğu çözer.

Ön Bilgi

Bu konuya başlamadan önce temel kavram ve ön koşulları kavramanız yardımcı olacaktır. Konunun çerçevesinde şu kavramlar dikkat ister:

• Paralelkenarda karşılıklı açılar eşittir.
• Komşu açıların toplamı 180 derecedir.
• Eşkenar dörtgen bir paralelkenar türüdür.
• Eşkenar dörtgende köşegenler birbirine diktir.
• Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini ikiye böler.
• Köşegenleri eşit olan paralelkenar dikdörtgendir.

Basit Örnek ve Günlük Yaşam

Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:

Soru: Paralelkenarın bir açısı 74° ise komşu açısı kaç derecedir?

1. Adım 1: komşu açıların tamamlayıcı olduğu bilinir.
2. Adım 2: 180 − 74 işlemi yapılır.
3. Adım 3: 106 derece bulunur.

Sonuç/cevap: 106°

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: Yamuğun kaç kenarı paraleldir?

1. Adım 1: yamuk tanımı hatırlanır.
2. Adım 2: yalnızca bir çift kenar paraleldir.
3. Adım 3: diğer iki kenar paralel değildir.

Sonuç/cevap: İki kenar (bir çift)

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Örnek 1: Paralelkenar Açıları konusunun adımları:

1. Adım 1: komşu açıların tamamlayıcı olduğu bilinir.
2. Adım 2: 180 − 74 işlemi yapılır.
3. Adım 3: 106 derece bulunur.

Karşılaştırma Tablosu

Kendini Dene

Soru: Bir paralelkenarın bir açısını ölçerek diğer üç açısını hesaplayınız. Ölçümünüzü ve kullandığınız kuralları yazınız.

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: bir açının ölçülmesi ve yazılması 4 puan; karşı açının eşit olduğunun belirtilmesi 5 puan; iki komşu açının 180 eksiği olarak bulunması 6 puan; dört açının toplamının 360 derece olduğunun denetlenmesi 5 puan. Toplam 20 puan.