Doğal Sayıların Çarpanları ve Katları

Konu Anlatımı

Çarpan Nedir?

Bir doğal sayıyı kalan vermeyecek biçimde bölen her doğal sayıya, o sayının çarpanı denir. Yani 45 sayısının yanına 9 yazıldığında 45: 9 işlemi 5 sonucunu verir, kalan sıfırdır; demek ki 9, 45 in çarpanıdır. Bir sayının çarpanlarını ararken denenen her sayının verilen sayıyı tam olarak bölüp bölmediğine bakılır.

Çarpan listelerinde iki değer hiçbir zaman unutulmaz: 1 ve sayının kendisi. Her sayı 1 e ve kendisine bölündüğü için bu iki çarpan bütün listelerde bulunur. Ayrıca bir sayının çarpanlarını küçükten büyüğe yazmak, denemeleri düzenli tutar ve hiçbir çarpanın atlanmasını önler.

Çarpan Çiftleri

Çarpanlar ikişer ikişer eşlenmiştir. Küçük çarpanın karşısına büyük çarpan yazılırsa çiftler elde edilir. Örneğin 36 sayısının çarpan çiftleri 1 ve 36, 2 ve 18, 3 ve 12, 4 ve 9 biçimindedir. Bu sırada 6 sayısı kendisiyle eşlenir; böyle bir durumda çift tek bir kez sayılır, çünkü 6 karekök değeridir.

Çarpanları Hızlı Bulma

Uzun listeler yazmak yerine sayıyı asal çarpanlarına ayırmak çok daha pratiktir. Bir sayı p üzeri a çarpı q üzeri b biçiminde yazılabiliyorsa çarpan sayısı (a + 1) × (b + 1) bağıntısıyla bulunur. Örneğin 72 = 2³ × 3² yazılır; (3 + 1) × (2 + 1) işlemi 12 sonucunu verir. Bu yöntem, sınavda zaman kazandıran en güvenli yoldur.

• Denemeler sayının kareköküne kadar yapılır, kalan çarpanlar eşlenerek yazılır.
• Çift sayıda çarpanı olan sayılarda çarpanlar tam ikişerli gruplanır.
• Karekök değeri çift sayılmaz, tek başına bir çift oluşturur.
• Asal çarpanların her biri en az bir kez listede bulunur.

Çözümlü Örnek

Örnek: 54 sayısının çarpanlarını bulunuz. 1. adım: 54 ün karekökü 7 ye yakın olduğundan 1 den 7 ye kadar sayılar denenir. 2. adım: 1, 2, 3 ve 6 kalansız böler; 4, 5 ve 7 ise kalan bırakır. 3. adım: bulunanların eşleni olan 54, 27, 18 ve 9 da çarpan olarak yazılır. 4. adım: liste küçükten büyüğe düzenlenir ve 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 elde edilir. 5. adım: çiftler 1·54, 2·27, 3·18 ve 6·9 olarak eşlenir; böylece dört çift bulunduğu doğrulanır.

Sık Yapılan Hatalar

• 1 ile sayının kendisini atlamak: Bu iki değer her zaman çarpan listesinde bulunmalıdır.
• Karekök değerini iki kez saymak: Karekök değeri kendisiyle eşlenir, bu yüzden tek çift sayılır.
• Kalanı sıfırdan farklı böleni çarpan saymak: Kalan sıfır değilse o sayı çarpan değildir.
• Çarpanı, çarpanın çarpımı sanmak: 8, 24 ün çarpanıdır; 3 ile çarpıp 24 e ulaşmak yeni çarpan aramak anlamına gelmez.

Özet

Çarpan, sayıyı kalan vermeden bölen sayıdır; 1 ve sayının kendisi daima çarpandır. Çarpanlar ikişer ikişer eşlenir, karekök değeri tek sayılır. Çarpan sayısı en hızlı yoldan asal çarpanlara ayırma bağıntısıyla bulunur: sayı p üzeri a çarpı q üzeri b ise çarpan sayısı (a + 1) × (b + 1) olur. Denemeler karekök sınırında bırakılıp eşlenenler yazılarak liste tamamlanır.

Ne Öğreneceğiz

Bir doğal sayının çarpanlarını çiftler hâlinde bulmayı, çarpan sayısını hızlı yoldan hesaplamayı ve çarpan ile kat arasındaki ilişkiyi kavratır. Bu konuda ögrenme çıktıları:

• Bir doğal sayının çarpanlarını çiftler hâlinde eşleştirerek eksiksiz listeler.
• Çarpanları küçükten büyüğe sıralar ve karekök sınırını doğru kullanır.
• Sayıyı asal çarpanlarına ayırarak çarpan sayısını hızlı yoldan bulur.
• Verilen çarpanlardan yararlanarak eksik çarpanı tamamlar.
• Çarpan ile kat arasındaki farkı günlük örneklerle açıklar.

Ön Bilgi

Bu konuya başlamadan önce temel kavram ve ön koşulları kavramanız yardımcı olacaktır. Konunun çerçevesinde şu kavramlar dikkat ister:

• Her doğal sayının en az iki çarpanı vardır: 1 ve sayının kendisi.
• Karekök değerine eşit çarpan çiftte yalnızca bir kez sayılır.
• Çarpan listesi yazılırken sayılar küçükten büyüğe sıralanır.
• Çarpan sayısı tek ise çarpanlar tam ikişerli eşlenemez, karekök vardır.
• Bir sayının çarpımı da o sayının çarpan çiftleri arasında yer alır.
• Kalan sıfırdan farklıysa denenen sayı çarpan değildir.

Basit Örnek ve Günlük Yaşam

Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:

Soru: 48 sayısının çarpanlarını çiftler hâlinde yazınız.

1. Adım 1: 48 in karekökü 6 ya yakındır, 1 den 6 ya kadar denenir.
2. Adım 2: 1, 2, 3, 4 ve 6 kalansız böler, 5 kalan bırakır.
3. Adım 3: eşlenenler 48, 24, 16, 12 ve 8 yazılarak liste tamamlanır.

Sonuç/cevap: 1·48, 2·24, 3·16, 4·12, 6·8 (8 çarpan)

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: 72 ve 96 sayılarından hangisinin çarpan sayısı daha fazladır?

1. Adım 1: 72 = 2³ × 3² yazılır, (3 + 1) × (2 + 1) = 12 bulunur.
2. Adım 2: 96 = 2⁵ × 3 yazılır, (5 + 1) × (1 + 1) = 12 bulunur.
3. Adım 3: sonuçlar karşılaştırılır, ikisi de 12 çarpanlıdır.

Sonuç/cevap: İkisi de 12 çarpanlıdır

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Örnek 1: Çarpan Çiftleriyle Çalışma konusunun adımları:

1. Adım 1: 48 in karekökü 6 ya yakındır, 1 den 6 ya kadar denenir.
2. Adım 2: 1, 2, 3, 4 ve 6 kalansız böler, 5 kalan bırakır.
3. Adım 3: eşlenenler 48, 24, 16, 12 ve 8 yazılarak liste tamamlanır.

Karşılaştırma Tablosu

Kendini Dene

Soru: 240 sayısının çarpanlarını çiftler hâlinde yazınız, çarpan sayısını iki farklı yolla belirleyiniz ve hangi yolun daha hızlı olduğunu gerekçesiyle açıklayınız.

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: 240 = 2⁴ × 3 × 5 ayrımının yapılması 4 puan; (4 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) bağıntısıyla çarpan sayısının 40 bulunması 6 puan; çarpan çiftlerinin doğru ve eksiksiz yazılması 6 puan; hızlı yöntemin gerekçesiyle karşılaştırılması 4 puan. Toplam 20 puan.