Kesirler

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu konuda kesirin ne olduğunu, pay ile paydanın görevlerini, basit ve bileşik kesirleri, denk kesirleri ve kesirlerle dört işlem yapmayı öğreneceğiz. Konu bittiğinde iki kesrin büyüklük karşılaştırmasını yöntemsiz bir tahminle değil, ortak paydaya çevirerek yapabilecek ve kesir problemlerini adım adım çözebileceksin.

Ön Bilgi: Neleri Biliyoruz?

Konuya başlamadan önce şunları yapabiliyor olman gerekiyor:

• Bölme işlemini anlamak: 9'u 3'e bölmek, 3 sayısının kaç kere 9'u tamladığını bulmaktır.
• Parantez kullanmayı bilmek.
• Basit çarpma tablosunu (1'den 10'a) ezbere bilmek.

Bunları yapabiliyorsan kesirler seni zorlamaz; çünkü kesirdeki işlemler hep bu bildiklerine dayanır.

Kesir Nedir? Pay ve Payda

Bir bütünü eşit parçalara böldüğümüzde her parçaya birim kesir denir. 1/2 bir bütünün iki eşit parçasından biridir, 1/3 üç eşit parçasından biridir. Bu 1 sayısının altındaki sayıya payda, üstteki sayıya pay denir. Payda parçanın büyüklüğünü, pay ise kaç parça alındığını gösterir.

Kesir iki biçimde okunabilir: 3/4 hem 3 eşit parçadan 3 tanesini aldığımızı anlatır, hem de 4 eşit parçaya bölünen 1 bütünden 3 birim alındığını anlatır. Bu ikinci okuma, kesirleri karşılaştırmada çok işe yarar: hangi paydanın küçük olduğunu bulmak, o parçanın daha büyük olduğunu anlamak demektir.

Kesir Çeşitleri

Payda ile payı karşılaştırarak kesirleri üçe ayırırız.

• Basit kesir: Pay, paydadan küçüktür ve 1'den küçüktür. Örnek: 3/5, 1/8, 7/10.
• Bileşik kesir: Pay, paydadan büyük veya eşittir, yani değeri 1'den büyüktür. Örneğin 7/4 kesri, 4 birimlik parçadan 7 tane alındığı için 1'den büyüktür.
• Tam sayılı kesir: Tam bir bütünün yanına kesirli bir parça eklenmiş hâldir. Örneğin 2 1/3, yani 2 tam ve 1/3.

Bileşik kesri tam ve kesirli olmak üzere ayırmak da önemli bir beceridir: 7/4 kesrinde 4 birimlik parçadan 4 tanesi bir tam eder, artan 3 parça 3/4 olur. Yani 7/4 = 1 3/4 yazılır.

Günlük Hayattan Bir Örnek

Bir süt şişesinin 3/4'ü içildiğinde geriye 1/4 kalır. Kalan miktarı bir bütünün dörtte biri olarak söylemek, kalanın başlangıçtaki miktarın ne kadarı olduğunu açıkça gösterir. Aynı mantıkla bir sınıftaki 28 öğrencinin 3/4'ü gruba katılıyorsa, katılmayanların sayısı 28'in 1/4'ü olan 7'dir. Hesap şöyle yapılır: 28: 4 = 7.

Bir tarhın 3/4'ü çiçek, kalanı yonca olsun. Bu durumda çiçek alanı, yonca alanının üç katıdır. Kesirler karşılaştırılırken paydalara bakıp 3'ün 1'den büyük olduğunu görerek bu sonuca kolayca ulaşılır.

İleri Örnek

Kesirlerde çarpma kuralı şudur: paylara paylar, paydalara paydalar çarpılır. Payda bölme ise tam tersidir; çarpma işlemi çevrilir. Örneğin 3/4: 1/2 işleminde 1/2 tersine çevrilir, yani 2/1 olur ve 3/4 · 2/1 = 6/4 = 3/2 yazılır. Sonuç 3/4'ten büyüktür; bir kesri 1/2 gibi 1'den küçük bir sayıya bölmek onu büyütür.

Toplama ve çıkarma da buna göre farklı davranır. Kesirlerde toplama için paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse önce ortak paydaya çevrilir. 1/2 + 1/3 örneğinde 2'nin 3'e, 3'ün 2'ye çarpılarak her iki kesir 6'ya genişletilir: 3/6 + 2/6 = 5/6. Buna karşılık 1/2 · 1/3 işleminde paydalar aynen çarpılır ve sonuç 1/6 olur; 1/6'nın değeri 1/2 + 1/3'ten küçüktür.

Adım Adım Çözülmüş Örnek: Pasta ve Meyve

Soru: Bir pastanın 1/3'ü elma dilimi, 1/4'ü çikolatalıdır. Bu iki parçanın toplamı pastanın kaçta kaçıdır? Kalan parça ne kadardır?

Cevap: Kesirlerde toplama yapabilmek için paydaları eşitlememiz gerekiyor.

1. Paydaları yaz. Kesirlerimiz 1/3 ve 1/4.
2. Ortak paydayı bul. 3 ve 4'ün en küçük ortak katı olan 12'yi seçiyoruz; 3, 4'ün 3 katı ve 4, 3'ün 4 katıdır.
3. Kesirleri genişlet. 1/3'ün pay ve paydasını 4 ile çarpıp 4/12, 1/4'ün pay ve paydasını 3 ile çarpıp 3/12 yazıyoruz. Değerleri değişmedi.
4. Topla. Aynı paydalı kesirlerde paylar toplanır: 4/12 + 3/12 = 7/12.
5. Kalanı bul. Bir bütün 12/12 olduğundan kalan 12/12 − 7/12 = 5/12'dir.
6. Kontrol et. Paydaların toplamı 12'ye (4 + 3 + 5) eşittir, yani parçalar bütünü tam olarak doldurur.

Karşılaştırma Tablosu

İki kesri karşılaştırmak için izlenecek yol nettir.

Sık Yapılan Hatalar

• Toplamada paydaları çarpmak. 1/2 + 1/3 için 2 · 3 = 6 denkliği doğrudur; ancak aynı kural çarpma için de geçerli görünüp 1/2 + 1/3 yerine 1/2 · 1/3 sonucu (1/6) bulunur. Doğru cevap 5/6'dır.
• Bileşik kesri basit kesir sanmak. 7/4'ün paydası 4, payı 7'dir; değeri 1'den büyüktür. Karşılaştırmada basit kesirlerden daima büyüktür.
• Ortak paydayı bulurken en büyük ortak çarpana gitmek. İki kesri karşılaştırmak için ortak çarpana gitmek de doğrudur ama gereksizdir; en küçük ortak kat yeterlidir ve sayılar daha küçük kalır.
• Bölmede ters çevirmeyi atlamak. 3/4: 1/2 yazarken ikinci kesri 2/1 yapmadan işlem yapılırsa sonuç yanlış çıkar.
• Genişletirken yalnız payı büyütmek. Değer değişmesin diye pay ve payda birlikte aynı sayıyla çarpılmalı ya da bölünmelidir.
• Paydayı bölerken payı da bölmeyi unutmak. 24/36 kesrini 12'ye bölünce 2/3 elde edilir; yalnız paydayı bölmek hatalıdır.

Özet

• Kesir, bir bütünün eşit parçalarından kaç tanesinin alındığını gösterir.
• Payda parçanın büyüklüğünü, pay kaç parça alındığını belirtir.
• Pay, paydadan küçükse basit; büyük veya eşitse bileşik kesirdir.
• Tam sayılı kesir, bir tam ile bir kesirin toplamıdır: 7/4 = 1 3/4.
• Toplama ve çıkarmada paydalar eşit olmalıdır; gerekiyorsa ortak paydaya çevrilir.
• Çarpma ve bölmede pay ile pay, payda ile payda işlem görür; bölmede ikinci kesir ters çevrilir.
• Aynı paydalıda payı büyük olan, aynı paylıda paydası küçük olan kesir büyüktür.

Kendini Dene

Bu soruları defterine çözüp cevaplarla karşılaştır.

1. Bir kesirde bölme işleminin altındaki sayıya ne denir? Cevap: Payda.
2. Aşağıdakilerden hangisi bileşik kesirdir? Cevap: 7/4.
3. 1/2 ile 2/5 kesirlerinden hangisi büyüktür? Cevap: 1/2; ortak paydaya çevirince 5/10 ve 4/10 olur.
4. 5/8 ile 3/8 kesirlerinin toplamı kaçtır? Cevap: 8/8 = 1.
5. 2/3 + 3/4 toplamı en sade hâlde kaçtır? Cevap: 8/12 + 9/12 = 17/12.
6. Bir sütün 3/4'ü içilirse geriye kaç kalır? Cevap: 1/4.
7. 3/4 kesrinin paydası 12 yapılırsa kesir nasıl görünür? Cevap: 9/12; değeri değişmez.