Merkezi Eğilim ve Konumlandırma Ölçüleri

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz

Bir veri grubunu tek bir sayıyla temsil etmenin yollarını öğreneceğiz. Aritmetik ortalama, ortanca, mod ve ağırlıklı ortalama hesaplarını yapacağız. Ayrıca çeyrekliklerle verinin konumunu inceleyip aykırı değerlerin bu ölçütleri nasıl etkilediğini göreceğiz.

Ön bilgi

Bu konuyu anlayabilmek için sıralama, toplama ve bölme işlemlerini rahatça yapman yeterli.

• Veri: Ölçüm veya sayım sonucu elde edilen her bir değerdir.
• Merkezi eğilim: Verilerin çevresinde toplandığı merkezi bir değer bulma fikridir.
• Sıralı veri: Küçükten büyüğe dizilmiş veri listesidir.
• Aykırı değer: Diğer verilerden açık farkla uzakta duran değerdir.

Kavramlar ve Temel Tanımlar

Aritmetik ortalama, verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur ve X ile gösterilir: X = toplam bölü n. Ortanca (medyan), veriler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortadaki değerdir; veri sayısı tek ise ortadaki değer, çift ise ortadaki iki değerin aritmetik ortalamasıdır. Mod, veri grubunda en sık tekrarlayan değerdir; bir veri grubunun modu olmayabileceği gibi birden fazla da olabilir. Çeyreklikler, sıralı veriyi dört eşit parçaya ayıran değerlerdir: Q1 alt çeyrek sınırı, Q3 üst çeyrek sınırıdır. Ağırlıklı ortalama, değerlerin farklı katsayılarla çarpılıp toplamının ağırlıklar toplamına bölünmesiyle hesaplanır.

Basit örnek

5 öğrencinin notu 60, 70, 70, 85 ve 95 olsun. Toplam 380 olduğundan ortalama 380 bölü 5 = 76 olur. Sıralı listede tam ortadaki değer 70 olduğundan ortanca 70'tir. En sık tekrarlayan değer de 70 olduğundan mod 70'tir.

Adım adım çözüm

6 kırtasiye malzemesinin fiyatı 8, 10, 10, 12, 40 ve 60 TL olsun. Fiyatlar küçükten büyüğe sıralıdır. Toplam 140 olduğundan aritmetik ortalama 140 bölü 6 ≈ 23,3 olur. Veri sayısı çift olduğu için ortanca, ortadaki iki değerin yani 10 ile 12'nin aritmetik ortalamasıdır: (10+12) bölü 2 = 11. Mod ise iki kez geçen 10 değeridir. Görüldüğü gibi 40 ve 60 değerleri ortalamayı 23,3'e çekmiştir; ortanca 11 olarak bu aykırı değerlerden çok daha az etkilenmiştir.

İleri örnek

Bir sınavda final notunun yüzde 60'ı, vize notunun yüzde 40'ı ortalamaya katılıyor. Bir öğrencinin vizesi 70, finali 90 ise ağırlıklı ortalama 70 çarpı 0,4 artı 90 çarpı 0,6 = 28 + 54 = 82 olur. Eğer basit ortalama alınsaydı 80 bulunacaktı; ağırlıklı ortalama finalin etkisini doğru yansıtmıştır.

Kavram karşılaştırma tablosu

Aşağıdaki tablo, temel merkezi eğilim ve konumlandırma ölçütlerinin neyi ölçtüğünü ve aykırı değere duyarlılığını yan yana gösterir.

Sık yapılan hatalar

En sık yapılan hata ortancayı sıralamadan hesaplamaya çalışmaktır; veri sayısı çift olduğunda ortadaki iki değerden birini seçip geçmek de yaygın bir hatadır. Bir diğer hata, veri grubunda tekrar eden değer yoksa mod olduğunu sanmaktır; böyle durumda mod yoktur. Son olarak ağırlıklı ortalamada ağırlıklar toplanırken yüzdeler yerine doğrudan puan ortalaması kullanmak hatadır.

Özet

Merkezi eğilim ölçütleri, bir veri grubunu temsil eden tek sayılar verir: aritmetik ortalama toplamı paylaştırır, ortanca sıralamada ortaya oturur, mod en çok tekrarlananı gösterir. Aykırı değerler ortalamayı çeker, ortanca ve modu ise neredeyse hiç etkilemez. Bu yüzden aykırı değer içeren verilerde ortanca daha güvenilir bir temsilcidir. Ağırlıklı ortalama ise bileşenlerin farklı önemlerini hesaba katar.

Kendini dene

4, 4, 6, 9, 13 ve 15 sayılarının ortancasını ve modunu bul. Ardından 9 yerine 150 yazıp ortalama ile ortancanın nasıl değiştiğini karşılaştır. Hangi ölçütün daha kararlı kaldığını kendi cümlenden açıkla.