12. SınıfMatematik
Matematik · 12. Sınıf · Diziler
Pozitif tam sayılar kümesinden gerçek sayılara tanımlı fonksiyona dizi denir. Dizinin n. terimi aₙ, tüm terimleri belirten ifade genel terimdir.
Ardışık iki terimi arasındaki fark sabit olan dizidir. Bu sabite ortak fark (d) denir: aₙ = a₁ + (n − 1)·d. İlk n terim toplamı Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2'dir.
Ardışık iki terimi arasındaki oran sabit olan dizidir. Bu sabite ortak çarpan (r) denir: aₙ = a₁·r^(n−1). İlk n terim toplamı (r ≠ 1) Sₙ = a₁·(rⁿ − 1)/(r − 1)'dir.
Aritmetik dizide aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2, geometrik dizide aₙ² = aₙ₋₁·aₙ₊₁ bağıntısı vardır.
Ardışık terimler arasındaki fark sabit olan dizilere aritmetik dizi denir; bu sabit farka ortak fark (d) denir. Genel terim an = a₁ + (n − 1)·d biçimindedir. Bir dizide hem ilk hem son terim biliniyorsa an = a₁ + (n − 1)d denklemiyle bilinmeyen bulunur. n terimin toplamı Sn = n·(a₁ + an)/2 formülüyle hesaplanır. Üç terimli aritmetik dizide ortadaki terim, diğer ikisinin aritmetik ortalamasıdır: 2b = a + c.
Terimler arasındaki oran sabitse dizi geometriktir; bu orana ortak oran (r) denir. Genel terim an = a₁·rn−1, n terim toplamı ise r ≠ 1 için Sn = a₁·(rn − 1)/(r − 1) biçimindedir. |r| < 1 olursa sonsuz geometrik dizi toplamı yakınsar: S = a₁ / (1 − r). Zamanla azalan ya da artan gerçek hayat problemleri bu formülle modellenir.
| Verilen | Yol |
|---|---|
| İlk ve son terim + toplam | S = n(a₁ + aₙ)/2 |
| İlk terim + oran + sayı | aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, Sn formülü |
| Üç terim (fark biliniyor) | a, a+d, a+2d yaz |
| Üç terim (oran biliniyor) | a, ar, ar² yaz |
Toplam sorularında terim sayısını bulmak için (son − ilk)/fark + 1 kuralı sık kullanılır; bu, ardışık sayı problemlerinde de geçerlidir.
Önce dizi türünü belirle, sonra formülü seç. Aritmetikte fark, geometrikte oran belirleyicidir. Sonsuz toplam sorularında mutlaka |r| < 1 koşulunu denetle.
Aritmetik dizide ardışık terimlerin farkı, geometrik dizide ise oranı sabittir. Fark verildiğinde toplam formülü, oran verildiğinde genel terim formülü öne çıkar.
| Özellik | Aritmetik | Geometrik |
|---|---|---|
| Sabit | Fark | Oran |
| Genel terim | a₁ + (n − 1) · d | a₁ · r üstel (n − 1) |
| Toplam | n · (a₁ + aₙ) / 2 | a₁ · (rⁿ − 1) / (r − 1) |
Problemin ilk adımı, verilenin hangi bilgi olduğunu ayırmaktır.
Dizi kavramını anlamak için önce verilen verilerin hangi tür diziyi temsil ettiği belirlenmelidir. Aritmetik diziler, gerçek hayatta sabit artış veya azalış gösteren durumlar için kullanılır. Örneğin, her ayki maaş artışları veya belirli bir aralıkta artan ürün fiyatları aritmetik dizilerin uygulama alanlarıdır. Geometrik diziler ise, büyüme veya azalma oranları sabit olan durumlar için uygun olur. Bir şirketin her ayki satışlarının %10 artması veya bir miktarın her yıl %5 azalması geometrik dizilerin örnekleridir. Bu nedenle, gerçek hayat problemlerinde dizi türünü doğru belirlemek, çözümü kolaylaştırmak için kritik öneme sahiptir.
İlk terim ve ortak farkın bilinmesi durumunda aritmetik dizilerin genel terim formülü ile hesaplanabilir. Geometrik dizilerde ise ilk terim ve ortak oranın bilinmesiyle genel terim formülü kullanılır. Bu iki dizinin farklılıkları, problemlerin çözümü için önemli bir faktördür. Ayrıca, aritmetik dizilerde terimler arasındaki fark sabitken, geometrik dizilerde terimler arasındaki oran sabit olduğu için bu özellikler dizi türlerini ayırt etmek için kullanılır. Bu nedenle, dizi türlerini doğru seçmek, problemlerin çözümüne yönelik doğru adımları atlamak için gereklidir.
Genel terim, aritmetik ve geometrik dizilerin özellikleri ile toplamları Bu konuda ögrenme çıktıları:
Bu konuya başlamadan önce temel kavram ve ön koşulları kavramanız yardımcı olacaktır. Konunun çerçevesinde şu kavramlar dikkat ister:
Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:
Soru: İlk terimi 3, ortak farkı 4 olan aritmetik dizinin 10. terimi kaçtır?
Sonuç/cevap: 39
Örnek 1: Aritmetik Dizi konusunun adımları:
Geometrik dizide ortak çarpanı bölme yerine çıkarma sanmak: Ortak çarpan aₙ₊₁/aₙ ile bulunur.
Toplam formülünde terim sayısını yanlış almak: n, terim sayısıdır; son indeks değildir (ilk terim 0'dan başlıyorsa dikkat).
r^(n−1) yerine rⁿ yazmak: İlk terim üs almaz.
Sn formülünde r = 1 durumunu atlamak: O hâlde Sn = n·a₁'dir.
Aritmetik ile geometrik formülü karıştırmak: Fark mı oran mı diye bak.
Sonsuz toplamı |r| ≥ 1 için uygulamak: Yakınsamaz.
Soru: Aritmetik ve geometrik dizilerin genel terim ve toplam formüllerini; hangi durumda hangisinin kullanılacağını birer örnek çözümlerle açıkla.
Örnek cevap: Puanlama anahtarı: Dizi türünü belirlemenin (fark mı oran mı) formül seçiminden önce geldiğinin yazılması 3 puan; aritmetik genel terim ve toplam formülünün örnekli uygulanması 4 puan; geometrik genel terim ve toplam formülünün örnekli uygulanması 4 puan; r = 1 ve |r| < 1 koşullarına değinilmesi 2 puan; düzen ve imla 2 puan. Toplam 15 puan. Model cevap: Fark sabitse aritmetik, oran sabitse geometrik kullanılır; formüllere değerler konup terim ve toplam bulunur.
Pozitif tam sayılar kümesinden gerçek sayılara tanımlı fonksiyona dizi denir. Dizinin n. terimi aₙ, tüm terimleri belirten ifade genel terimdir. Ardışık iki terimi arasındaki fark sabit olan dizidir. Bu sabite ortak fark (d) denir: aₙ = a₁ + (n − 1)·d. İlk n terim toplamı Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2'dir.
Geometrik toplam formülünde r ≠ 1 kabul edilir; r = 1 ise Sₙ = n·a₁'dir.
Geometrik dizide ortak çarpanı bölme yerine çıkarma sanmak: Ortak çarpan aₙ₊₁/aₙ ile bulunur. Toplam formülünde terim sayısını yanlış almak: n, terim sayısıdır; son indeks değildir (ilk terim 0'dan başlıyorsa dikkat).
Aritmetik: aₙ = a₁ + (n − 1)d · Aritmetik toplam: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 · Geometrik: aₙ = a₁·r^(n−1) · Geometrik toplam: Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1)
Dizi ve genel terim kavramlarını açıklar. Aritmetik dizinin genel terimini bulur. Geometrik dizinin genel terimini bulur.
Aritmetik dizide a₁ = 5, d = 3 ise a₈ kaçtır?
Doğru cevap: A) 26
Aritmetik dizide n. terim aₙ = a₁ + (n − 1)·d bağıntısıyla bulunur: a₈ = 5 + 7·3 = 5 + 21 = 26. Doğru seçenek 26'dır. (n − 1) yerine n kullanan seçenekler bir adım fazla ekler.
2, 5, 8,. aritmetik dizisinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C) 155
Önce onuncu terim bulunur: a₁₀ = 2 + 9·3 = 29. Aritmetik dizi toplamı S = n·(a₁ + aₙ)/2 = 10·(2 + 29)/2 = 5·31 = 155 olur. Doğru seçenek 155'tir.
Bir aritmetik dizide a₃ = 10, a₇ = 26 ise ortak fark kaçtır?
Doğru cevap: A) 4
Aritmetik dizide aₙ − aₘ = (n − m)·d bağıntısı vardır: a₇ − a₃ = 26 − 10 = 16 = (7 − 3)·d = 4d. Buradan d = 4 olur. Doğru seçenek 4'tür; terim sayısını fark yerine kullanan seçenekler hatalıdır.
Konu anlatımları hesapsız okunur. Quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Matematik için çalışma yolu
Konu anlatımları hesapsız okunur; quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Bu sayfa Aritmetik ve Geometrik Diziler konusunun anlatımını, kazanımlarını ve örnek sorularını içerir. Konuyla ilgili tüm sorular için testi çöz, diğer konular için DersTeders ana sayfasına geçebilirsin.
Bu konuyu çalış: hesap aç, ilerlemen kaydedilsin.
Hesap aç