Doğruluk Tabloları

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz

Bu derste doğruluk tablosunu nasıl kuracağınızı ve okuyacağınızı öğreneceksiniz. Bir bileşik önermenin her durumdaki değerini satır satır nasıl göstereceğinizi göreceksiniz. Ayrıca tablodan her zaman doğru olan, her zaman yanlış olan ve koşula göre değişen önermeleri nasıl ayırt edeceğinizi öğreneceksiniz.

Ön bilgi

Bir basit önermenin yalnız iki olası değeri vardır: doğru ya da yanlış. İki basit önermeyi birleştirdiğimizde dört farklı durum ortaya çıkar; üç önermede bu sayı sekize yükselir. Doğruluk tablosu bütün bu durumları düzenli biçimde listeleyerek karmaşık yapıların değerini göstermemizi sağlar. Tablo sayesinde bir önermenin hangi koşullarda doğru hangi koşullarda yanlış olduğunu tek bakışta görebiliriz. Bu yöntem aynı zamanda bir çıkarımın geçerli olup olmadığını sınamak için de kullanılır.

• Değişken: doğru ya da yanlış değer alan basit önerme.
• Satır: değişkenlerin alabileceği bir durum.
• Sütun: bir önerme ya da ara yapının değeri.
• Son sütun: bütün bileşik önermenin değeri.

Kavramlar ve Temel Tanımlar

Doğruluk tablosu bir bileşik önermenin bütün olanaklarını satırlara dağıtan ve her basit önermenin değerini sütunlara yazan bir araçtır. n değişkenli bir yapı için iki üzeri n satır gerekir; iki değişkende 4 satır, üç değişkende 8 satır yazılır. Son sütunun her satırı doğru olan yapı her zaman doğru olarak adlandırılır; her satırı yanlış olan yapı ise her zaman yanlış olarak tanımlanır. Kimi satırlarda doğru kimi satırlarda yanlış çıkan önerme ise atıflı ya da koşula bağlı olarak değişen önermedir. Tablonun son sütunu yapının hangi türde olduğunu göstermede temel kanıt olarak kullanılır.

Basit örnek

P ∧ Q yapısının tablosu dört satırdan oluşur. P doğru ve Q doğru satırında yapı doğru; kalan üç satırda en az biri yanlış olduğundan yapı yanlıştır. Gördüğünüz gibi bağlaşma yalnız tek bir satırda doğru çıkar; bu da onun katı doğruluk koşulunu gösterir. Tabloyu çizmek, bu koşulu elle düşünmekten daha güvenilir kılar.

Adım adım çözüm

Bir doğruluk tablosu kurmak için şu adımları izleyin. İlk olarak değişkenleri soldan sağa yazın ve satır sayısını iki üzeri n olarak belirleyin. Ardından her basit önerme için doğru ve yanlış değerlerini dönüşümlü olarak doldurun. Sonra bağlaçları işlem sırasına göre yeni sütunlarda hesaplayıp ara değerleri yazın. En sonda oluşan son sütuna bakarak yapının her zaman doğru, her zaman yanlış ya da atıflı olduğuna karar verin.

İleri örnek

P → Q yapısını ele alalım. Burada yalnız P doğru ve Q yanlış satırı yanlış, diğer üç satır doğrudur. Bu nedenle koşullu önerme çoğu durumda doğru çıkar ve yapı atıflıdır. Şimdi P ∨ ¬P yapısına bakalım; P doğruyken ikinci bölüm yanlış, P yanlışyken ikinci bölüm doğru olur ve ayrışma her iki satırda da doğru çıkar. Yani bu yapı her zaman doğru çıkar ve tablo bunu açıkça ortaya koyar.

Kavram karşılaştırma tablosu

Aşağıdaki tablo yapıları son sütunlarının değerine göre karşılaştırır.

Sık yapılan hatalar

En sık hata satır sayısını yanlış hesaplamaktır; n değişken için satır sayısı iki üzeri n olup iki değişkende 4, üç değişkende 8 olmalıdır. Bağlaçların doğruluk koşulunu karıştırmak da yaygındır; bağlaşma ile ayrışma farklı koşullarda doğru çıkar ve her bağlaç kendi sütununa göre işlenmelidir. Ayrıca yalnız son sütuna bakıp ara sütunları çizmemek hatalı sonuç üretir; her adım ayrı sütunda gösterilmelidir.

Özet

Doğruluk tablosu bir bileşik önermenin her durumdaki değerini satır satır gösteren düzenli bir araçtır. n değişken için iki üzeri n satır yazılır ve her ara adım ayrı sütun olarak hesaplanır. Son sütunun bütün satırları doğruysa yapı her zaman doğrudur, hepsi yanlışsa her zaman yanlıştır, karışıksa atıflıdır. Bu tablolar bir çıkarımda dayanaklar doğruyken sonucun yanlış çıkıp çıkmadığını göstererek geçerliliği sınamanın temel aracını oluşturur.

Kendini dene

P ∧ (Q ∨ R) yapısının doğruluk tablosunu çizmen ve kaç satırda doğru çıktığını belirtmen isteniyor. Sonucu son sütuna dayanarak açıkla.