Çarpanlar ve Katlar: Bölünebilme, EBOB ve EKOK

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz

Bu derste bir doğal sayının başka bir sayıya tam bölünüp bölünmediğini kurallarla incelemeyi, asal çarpanlara ayırmayı ve bölünebilme problemlerindeki iki temel araç olan EBOB ile EKOK'u öğreneceğiz. Ayrıca bir sayının kaç pozitif böleni olduğunu tek formülle hesaplamayı ve bu bilgiyi günlük yaşam durumlarına uygulamayı göreceğiz.

Ön bilgi

Konuya başlamadan önce şu temel kavramları bilmek gerekir:

• Bölen: Bir sayıyı kalansız bölen sayıya o sayının böleni denir.
• Kat: Bir doğal sayının kendisiyle çarpımından elde edilen sayılara o sayının katı denir.
• Asal sayı: 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 2'den büyük doğal sayıdır.
• Tam kare: Bir doğal sayının kendisiyle çarpımına eşit olan sayıdır.
• Çarpan: Bir sayıyı oluşturan ve çarpım içinde yer alan sayıya çarpan denir.

Kavramlar ve Temel Tanımlar

Bir doğal sayının son basamağı çift ise 2'ye, rakamlar toplamı 3'ün katı ise 3'e, son iki basamağın oluşturduğu sayı 4'ün katı ise 4'e, son basamağı 0 veya 5 ise 5'e, rakamlar toplamı 9'un katı ise 9'a, son basamağı 0 ise 10'a tam bölünür. Yalnızca 1 ve kendisine bölünen sayılara asal sayı denir ve her doğal sayı asal çarpanların çarpımı biçiminde tek yolla yazılır. İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne EBOB, ortak katlarının en küçüğüne EKOK denir. Bölünebilme kuralları, kalansız bölünüp bölünmediğini uzun bölme işlemi yapmadan, sayının yalnızca belirli basamaklarına bakarak yanıtlar.

Basit örnek

450 sayısını inceleyelim: son basamağı 0 olduğundan 450 sayısı 2'ye, 5'e ve 10'a tam bölünür. Rakamlar toplamı 4 + 5 + 0 = 9 olduğundan 3'e ve 9'a da tam bölünür. Son iki basamağın oluşturduğu 50 sayısı 4'ün katı olmadığından 450 sayısı 4'e tam bölünmez.

Adım adım çözüm

360 sayısını asal çarpanlara ayırmak için küçük asal sayılardan başlayarak sırayla böleriz: 360: 2 = 180, 180: 2 = 90, 90: 2 = 45 olduğundan 2 çarpanı üç kez alınır. 45 sayısı ise 3 × 15 ve 15 = 3 × 5 biçiminde ayrıştırılır. Böylece 360 = 2³ × 3² × 5 yazımına ulaşılır ve bu gösterim bölen sayısı, EBOB ile EKOK hesaplarının tamamında kullanılır.

İleri örnek

72 ile 120'nin EBOB ve EKOK değerlerini bulalım: 72 = 2³ × 3² ve 120 = 2³ × 3 × 5 ayrıştırmalarında ortak çarpanların en küçük kuvvetleri alınarak EBOB = 2³ × 3 = 24, en büyük kuvvetler alınarak EKOK = 2³ × 3² × 5 = 360 bulunur. Bu iki sayının çarpımı 8640 iken EBOB ile EKOK'un çarpımı da 24 × 360 = 8640'tür.

Kavram karşılaştırma tablosu

Aşağıdaki tablo EBOB, EKOK ve bölen sayısı kavramlarının ne olduğunu ve hangi yöntemle bulunduğunu karşılaştırmalı olarak göstermektedir.

Sık yapılan hatalar

En sık yapılan hatalar; EBOB ile EKOK'u karıştırmak, asal çarpanlara ayırırken bir çarpanı eksik bırakmak ve bölen sayısı formülünde kuvvetlere 1 eklemeyi unutmak. Örneğin EBOB(8, 12) = 4 iken EKOK(8, 12) = 24'tür, bu iki değer yer değiştirilmemelidir.

Özet

Bölünebilme kuralları sayının son basamak ve rakamlar toplamına bakarak hızlı karar verir. Asal çarpanlara ayırma, EBOB ve EKOK hesaplarının temelidir; EBOB için ortak çarpanların en küçük, EKOK için en büyük kuvvetleri alınır. Her iki sayı için EBOB × EKOK = sayıların çarpımı ilişkisi geçerlidir ve bir sayının pozitif bölen sayısı asal çarpan kuvvetlerine 1 eklenip çarpılarak bulunur.

Kendini dene

840 sayısını asal çarpanlara ayırınız, pozitif bölen sayısını hesaplayınız ve 840 ile 1260'in EBOB ve EKOK değerlerini bularak çarpımlarının 840 × 1260'e eşit olup olmadığını kontrol ediniz. Her adımda önce sayıyı asal çarpanlara ayırmayı alışkanlık hâline getiriniz.