Köklü İfadeler ile İşlemler

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz

Bu derste köklü ifadelerin tanımını, kök basitleştirmeyi, köklü ifadelerde çarpma ve bölmeyi, benzer köklü ifadelerde toplama ile çıkarmayı ve rasyonelleştirmeyi öğreneceğiz. Ayrıca ondalık sayıların karekökünü bulmayı ve bu bilgiyi geometri problemlerinde kullanmayı göreceğiz.

Ön bilgi

Konuya başlamadan önce şu kavramları bilmek gerekir:

• Gerçek sayı: Doğal, tam, rasyonel ve irrasyonel sayıların oluşturduğu sayı kümesidir.
• Tam kare: Bir doğal sayının kendisiyle çarpımına eşit olan sayıdır.
• Rasyonel sayı: Kesir biçiminde yazılabilen gerçek sayıdır.
• İrrasyonel sayı: Kesir biçiminde yazılamayan, ondalık açılımı ne sonlu ne devirli olan sayıdır.
• Eşlenik: Bir iki terimli ifadenin ortadaki işaretin tersine çevrilmesiyle elde edilen ifadedir.

Kavramlar ve Temel Tanımlar

Karesi a'ya eşit olan negatif olmayan sayıya a'nın karekökü denir ve √a biçiminde yazılır. Gerçek sayılar kümesinde √a ifadesi yalnızca a ≥ 0 olduğunda tanımlıdır; çünkü bir gerçek sayının karesi asla negatif çıkmaz. Kök içindeki sayı tam kare çarpanlara ayrılarak kök dışına çıkarılabilir; örneğin √50 = 5√2 olur. İki köklü ifadenin kök içleri aynı ise bunlara benzer köklü ifade denir ve yalnızca bu durumda katsayıları toplanıp çıkarılabilir.

Basit örnek

√72 ifadesini basitleştirelim: 72 sayısı 36 × 2 biçiminde ayrılır, 36 tam kare olduğundan √36 = 6 kök dışına çıkar ve sonuç 6√2 bulunur. Aynı yolla √18 = 3√2 olur; bu iki ifade kök içleri aynı olduğundan benzer köklü ifadelerdir.

Adım adım çözüm

√12 + √27 işlemini yapalım: 12 = 4 × 3 olduğundan √12 = 2√3, 27 = 9 × 3 olduğundan √27 = 3√3 biçiminde yazılır. Kök içleri aynı olduğundan katsayılar toplanabilir: 2√3 + 3√3 = 5√3. Sonuç 5√3 olarak en basit hâliyle bırakılır.

İleri örnek

1/(√7 - √5) ifadesini rasyonelleştirelim: pay ve payda paydanın eşleniği olan (√7 + √5) ile çarpılır. Payda (√7 - √5)(√7 + √5) = 7 - 5 = 2 olur, pay ise √7 + √5 hâline gelir. Böylece ifadenin rasyonel hâli (√7 + √5)/2 biçiminde bulunur.

Kavram karşılaştırma tablosu

Aşağıdaki tablo köklü ifadelerde yapılan temel işlemleri ve her işlemin kuralını karşılaştırmalı olarak göstermektedir.

Sık yapılan hatalar

En sık yapılan hatalar; farklı kök içlerine sahip terimleri doğrudan toplamak, tam kare çarpanı kök dışına çıkarmayı unutmak ve rasyonelleştirmede eşlenik yerine aynı ifadeyi çarpmak. Örneğin √9 + √16 = 7 iken √(9 + 16) = 5'tir; kök içindeki toplama ayrı ayrı alınan köklere eşit değildir. Kök içini çarpanlara ayırırken en büyük tam kareyi bulmaya özen göstermek gerekir, yoksa ifade tam basitleşmez.

Özet

Köklü ifade ancak kök içi sıfır veya pozitifken tanımlıdır. Basitleştirmede tam kare çarpanlar kök dışına çıkarılır; çarpma ve bölmede kök içleri çarpılır ya da bölünür. Benzer köklü ifadelerde yalnızca katsayılar toplanır veya çıkarılır. Paydada kök bırakmamak için pay ve payda eşlenikle çarpılarak rasyonelleştirme yapılır.

Kendini dene

√48 - √27 + √75 işleminin sonucunu bulunuz, (√5 + √2)² ifadesinin değerini hesaplayınız ve 4/(√6 - √2) ifadesini rasyonelleştirerek yazınız. Her adımda kök içini tam kare çarpanlara ayırarak ilerleyiniz.