Trigonometrik Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklemler İçeren Problemler

Konu Anlatımı

Trigonometrik Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklemler İçeren Problemler

Trigonometrik Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklemler İçeren Problemler konusu, matematik dersinin programında yer alan temel başlıklardan biridir. Bu bölümde konunun kavramsal çerçevesi kurulur, ön bilgiye dayalı basit bir örnek çözülür, ardından ileri düzeyde adım adım çözümlere geçilir.

Ne Öğreneceğiz?

Bu konuda trigonometrik oranları gerçek hayat durumlarına uygulayacağız. Merdiven, kule, gölge, uçak ve bakış açısı gibi durumların hepsi bir dik üçgen modeliyle çözülebilir.

Ayrıca trigonometrik denklemlerin çözüm kümesini, sorunun koşullarına göre nasıl süzeceğimizi göreceğiz. Bir denklemin dört kökü olabilir ama hepsi soruya uymayabilir.

Ön Bilgi

Dik üçgende yan kenarın hipotenüse oranına katsinüs, yani kenarın hipotenüse oranına kosinüs, yan kenarın komşu kenara oranına ise tanjant denir. Bu üç oran birbirine bağlıdır ve doğru kenar seçimi çözümü belirler.

Bir problemde ölçülen açının karşısına hangi kenarın düştüğünü çizerek bulmak, en sağlam yöntemdir. Çizim yapıldığında yan ve yani kenar hangi kenar olduğu görünür olur.

Basit Örnek

Beş metre uzunluğundaki bir merdiven duvara yaslanmış ve dibi duvardan üç metre uzaklıktadır. Merdivenin duvarda yükseldiği noktanın yerden yüksekliği pisagor bağıntısıyla bulunur.

Beşin karesi ile üçün karesi arasındaki fark dördün karesine eşittir. Bu nedenle merdivenin ulaştığı yüksekliğin sonucu = 4 metre olur.

İleri Örnek

Şimdi merdivenin ucuna bir gözle bakıldığını düşünelim. Bakış açısı ile yatay uzaklık ve yükseklik bir dik üçgen oluşturur. Yükseklik karşı kenar olduğu için tanjant bağıntısı kurulur.

Eğer kişinin göz hizası yere paralel bir düzlemde değilse, göz yüksekliği de ayrıca hesaba katılmalıdır. Bu tür ayrıntılar problem metninde genellikle belirtilir.

Adım Adım Çözüm

1. Şekli çiz ve bilinen açıyı işaretle.
2. Hangi kenarın yan, hangisinin komşu, hangisinin hipotenüs olduğunu belirle.
3. Uygun trigonometrik oranı seç.
4. Denklemi yaz ve çöz.
5. Bulunan değerin pozitif ve makul olduğunu denetle.
6. Tritonometrik denklemlerde kökleri aralık koşuluna göre ele.

Özet ve Kendini Dene

Problem çözme sırası hep aynıdır: çiz, oran seç, denklem kur, çöz, denetle. Beşinci adım atlandığında ölçülen açıya uymayan kökler sonuçta kalır.

Kendini dene: on metre uzunluğundaki bir merdiven duvara yaslandığında dibi duvardan altı metre uzaktadır. Önce yüksekliği bul, sonra merdivenin duvarın tabanıyla yaptığı açıyı belirle.

Karşılaştırma Tablosu: Dik Üçgende Kenar ve Oran İlişkileri

Sık Yapılan Hatalar

Tanjant bağıntısında yan ve komşu kenarı ters yazmak. Yan kenar komşu kenarın bölümü olduğu için karışıklık sonucu tamamen değiştirir.

Gölge sorusunda gölgeyi hipotenüs sanmak. Gölge uzunluğu yatay kenar olduğundan komşu kenardır ve tanjant kullanılır.

Üçgenin alanında iki kenar ile aralarındaki açıyı kullandıktan sonra yarım faktörünü atlamak. Yarım olmadan alan iki kat hatalı bulunur.

Bulunan bütün trigonometrik kökleri olduğu gibi kabul etmek. Sorunun aralığına uymayan kökler geçersizdir ve elenmelidir.

Ölçülen açı ile aranan açıyı karıştırmak. Bakış açısı ile eğim açısı farklıdır ve hangisinin bilindiği kontrol edilmelidir.

Özet ve Kendini Dene

Trigonometrik fonksiyonlarla ifade edilebilen problemlerde çözüm üç adımdan oluşur. Önce problem bir dik üçgen olarak modellenir. Sonra yan kenar için katsinüs, yani kenar için kosinüs ve alttaki kenar için tanjant oranlarından uygun olan seçilir. Son olarak bulunan değerin aralığının sorunun koşullarına uyup uymadığı denetlenir. Bakış açısı problemlerinde yükseklik karşı, yatay uzaklık komşu kenar olduğu için tanjant; gölge problemlerinde ise yükseklik ve gölge birbirine komşu olduğu için yine tanjant kullanılır. Dik üçgen kenar üçlüleri bilinen durumlarda pisagor bağıntısı ya da oranlar doğrudan sonuç verir. Trigonometrik denklem çözümünde ise elde edilen kökler, sorunun belirlediği aralığa uymak zorundadır.