Trigonometrik Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri

Konu Anlatımı

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri konusu, matematik dersinin programında yer alan temel başlıklardan biridir. Bu bölümde konunun kavramsal çerçevesi kurulur, ön bilgiye dayalı basit bir örnek çözülür, ardından ileri düzeyde adım adım çözümlere geçilir.

Ne Öğreneceğiz?

Bu konuda trigonometrik fonksiyonları yalnız hesap yapan araçlar olarak değil, tanım kümeleri, görüntü kümeleri ve davranışları olan işlevler olarak inceleyeceğiz. Bir fonksiyonun nerede tanımsız olduğunu bilmek, çözüm bulma işlemini kısaltır.

Ayrıca ters trigonometrik fonksiyonlara gireceğiz. Bunların değer aralıkları sınırlı olduğu için, verilen bir sayının ters değerinin olup olmadığını önceden denetlemek gerekir.

Ön Bilgi

Ölçü birimi olarak radyan ve derece birlikte kullanılır. Bir tam tur iki pi radiana ya da üç yüz altmış dereceye karşılık gelir ve aradaki dönüşüm sabit bir katsayıyla yapılır.

Birim çember üzerinde bir noktanın apsisi açının kosinüsüne, ordinatı sinüsüne eşittir. Bu bağıntı, trigonometrik değerlerin işaretlerinin neden bölgeye göre değiştiğini açıklar.

Basit Örnek

Kosinüs fonksiyonu düşünüldüğünde sıfırdan yüz seksen dereceye kadar değer azalır ve bu aralıkta tektir. Bu nedenle bir kosinüs değerinin karşılığı olan açı, bu aralıkta tek bir değerdir.

Aynı değer, örneğin sıfırdan küçük bir açıda da bulunabilir. Ancak arccos fonksiyonunun tanımı onu yalnız sıfır ile yüz seksen derece arasında tanımlar ve bu seçim bir tanım gereğidir.

İleri Örnek

Tanjantın periyodu yüz seksen derecedir. Bu nedenle tanjantı bir olan açıklar yüz seksen derece aralığında iki tanedir; çözüm kümesinde iki değer çıkar.

Sinüs ve kosinüste ise periyot üç yüz altmış derece olduğu için aynı değer tek bir değer verir. Bu fark, denklem çözümlerinde kaç kök bekleneceğini belirler.

Adım Adım Çözüm

1. Verilen değerin aralığını denetle; sınırların dışındaysa sonuç yoktur.
2. Ters fonksiyonun değer aralığını yaz.
3. Değeri aralıktaki tek açıya eşleştir.
4. Gerekirse ikinci bölgedeki karşılığı ayrıca belirt.
5. Periyot sorularında katsayıyı ve tam tur süresini karşılaştır.
6. Monotonluk sorularında önce bölgeyi, sonra yönü yaz.

Özet ve Kendini Dene

Ters trigonometrik değerlerde iki adım unutulmamalıdır: önce aralık denetimi, sonra değerin karşılığı olan açı. Bu iki adım ters yönde de aynı mantıkla çalışır.

Kendini dene: eksi bir ile bir arasında seçtiğin beş sayının arccos değerini bul. Değerlerin sıfıra yaklaştıkça açının yüz seksen dereceye yaklaştığını gözlemle.