Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri

Konu Anlatımı

Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri

Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri konusu, matematik dersinin programında yer alan temel başlıklardan biridir. Bu bölümde konunun kavramsal çerçevesi kurulur, ön bilgiye dayalı basit bir örnek çözülür, ardından ileri düzeyde adım adım çözümlere geçilir.

Ne Öğreneceğiz?

Bu konuda çokgenleri yalnızca adlarıyla değil, şekillerinin davranışıyla tanıyacağız. Bir şeklin dışa mı bakacağına yoksa içe mi çökeceğine karar vermek, sonraki bölümlerdeki alan hesaplarının da temelidir.

Ayrıca düzgün çokgenlerde apotem yardımıyla alan bulmayı öğreneceğiz. Çevreyi bilmek, düzgün çokgende alanı tek işlemle bulmak için yeterlidir.

Ön Bilgi

Dışbükey çokgen tanımı şudur: çokgen düzlemseldir ve herhangi bir kenarının uzantısının çokgenin içinde kalan bir nokta bulunmaz. Bu koşul sağlanıyorsa çokgen dışbükeydir.

Buna karşılık içbükey çokgende en az bir iç açı düz açı ölçüsünden büyüktür. Her iki durumda da iç açılar toplamı aynı bağıntıyı sağlar; yalnızca açıların dağılımı değişir.

Basit Örnek

Düzgün altıgen düzenli görünümüyle dışbükey bir çokgendir. Köşeleri sırayla takip ettiğimizde yön değiştirmez, hep aynı çevre yönünü korur.

Buna karşılık yıldız biçiminde çizilen bir çokgen köşeleri takip ederken yön değiştirir; kırık çizgiler oluşur ve şekil içbükey olur.

İleri Örnek

Düzgün çokgende apotem, merkezden bir kenara çizilen dik doğrudur. Bu doğru, çokgeni orta noktadan çizilen yardımcı elemanlarla iki eşit parçaya ayırır ve her parça bir dik üçgen olur.

Bu dik üçgenlerden elde edilen yükseklik apotemdir. Dolayısıyla düzgün çokgenin alanı, çevre ile apotemin çarpımının yarısı olarak yazılır.

Adım Adım Çözüm

1. Çokgenin düzlemsel ve kapalı olduğunu doğrula.
2. Köşeleri sırayla takip edip yön değişimi olan noktaları bul.
3. Kırık çizgi sayısına bakarak dışbükey ya da içbükey olma kararını ver.
4. Kenar sayısını belirleyip iç açılar toplamını yaz.
5. Düzgünlük varsa bir açıyı toplam üzerinden bul.
6. Alan gerekiyorsa önce apotemi, sonra çevre ile apotem çarpımını kullan.

Özet ve Kendini Dene

Özetle: dış açılar toplamı sabit, iç açılar toplamı kenarlarla belirli, düzgün çokgende bütün açılar eşit. Bu üç bilgi birçok soruyu tek satırda çözer.

Kendini dene: bir kâğıda düzgün bir beşgen ve düzgün bir yıldız çiz. Her ikisinde de köşeleri sırayla takip ederek yön değiştiren noktaları işaretle ve kırık çizgi sayılarını karşılaştır.

Karşılaştırma Tablosu: Dışbükey ve İçbükey Çokgenler

Sık Yapılan Hatalar

İçbükey çokgen için iç açılar toplamının 360 dereceden büyük olduğunu düşünmek. Toplam her zaman 360 derecedir; büyük olan açıların toplamıdır.

Üçgenin içbükey olabileceğini varsaymak. Üç köşeli bir şekilde bir açı düz açıdan büyük olamaz, bu yüzden en az dört köşe gerekir.

Apotemi kenar uzunluğuna eşit almak. Apotem merkezden kenara çizilen dik doğrudur ve kenardan daha kısadır.

Düzgün çokgende bir dış açıyı 180 dereceden bölerek hesaplamak. Dış açılar toplamı 360 derece olduğundan 360 sayısı kullanılır.

İçbükey çokgende kırık çizgi aramamak. Kırık çizgi olmasa şekil dışbükey olurdu, dolayısıyla kırık çizgi en az iki tanedir.

Özet ve Kendini Dene

Bütün iç açıları düz açı ölçüsünden küçük olan ve köşeleri hep aynı yönde sıralanan çokgene dışbükey çokgen denir. Dışbükeylik kırık çizgi sayısıyla denetlenir; kırık çizgi olmayan çokgen dışbükey, kırık çizgisi olan çokgen içbükeydir. İç açılar toplamı kenar sayısının iki eksiğiyle 180 derecenin çarpımına eşittir ve bu toplam değişmez. Dış açılar toplamı ise her zaman 360 derecedir. Düzgün çokgenlerde bütün iç açılar eşit olduğundan bir açı, toplamın kenar sayısına bölümüdür; dış açı ise 360 derecenin kenar sayısına bölümüdür. Apotem, merkezden kenara çizilen dik doğrudur ve düzgün çokgenin alanı çevre ile apotemin çarpımının yarısı olarak hesaplanır. İçbükey çokgenlerde en az iki kırık çizgi bulunur ve köşe sayısı dörtten küçük olamaz.