10. SınıfMatematik
Matematik · 10. Sınıf · Geometri
Bu derste Daire ve Dairede Açılar konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.
Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:
Bu konu, Dik Prizma ve Piramit başlığında öğrendiklerimizin üzerine kurulur. Önceki konudaki kavram burada yeniden kullanılıyor; bu yüzden o adımı atlamamak önemlidir.
Daire, merkeze eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir. Yarıçapı r olan dairenin çevresi 2πr, alanı πr²'dir. Merkez açı, tepesi merkezde olan açıdır ve gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
Yarım daireyi gören çevre açı 90°'dir (Thales teoremi).
Bir dairede yay uzunluğu ile dilim alanı, merkez açının 360°'ye oranıyla bulunur. Oran, θ/360 biçiminde yazılır ve hem yay hem dilim hesabında aynıdır; bu ortak oran sayesinde iki ayrı işlem tek adıma iner.
Merkez açı gördüğü yaya, çevre açı ise aynı yayın yarısına eşittir. Bu kural çember içindeki dörtgen sorularında merkez ve çevre açıları birbirine bağlar ve hesap sayısını azaltır.
| Merkez açı | Yayın çevreye oranı |
|---|---|
| 60° | 1/6 |
| 90° | 1/4 |
| 120° | 1/3 |
| 180° | 1/2 |
Sınavda π yerine 22/7 ya da 3,14 kullanılacağı bilgisi soru kökünde verilir; bu seçime dikkat edilmelidir. Thales teoremi ise çapı gören çevre açının 90° olduğunu söyler ve dik üçgen sorularında hız kazandırır.
Dairedeki açılar, merkez ve çevre açılar olarak iki grupta incelenir. Merkez açı, dairenin merkez noktasında kesişen iki yarıçap arasında oluşan açıdır ve gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Çevre açı ise çember üzerindeki bir noktada kesişen iki kiriş arasında oluşan açıdır ve gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. Bu iki açı arasındaki ilişki, dairedeki geometrik yapıyı anlamak için kritik öneme sahiptir. Merkez açı ve çevre açı kavramları, çemberin içini dolduran geometrik şekillerin hesaplanmasında temel alınır.
İki farklı açı türü arasında en önemli fark, gördüğü yayın ölçüsüne olan oranıdır. Merkez açı, gördüğü yayın tam ölçüsünü gösterirken çevre açı, aynı yayın yarısını ifade eder. Bu nedenle, aynı yayı gören çevre açılar birbirine eşit olur. Ayrıca, yarım daireyi gören çevre açılar 90°'dir, bu da Thales teoremi olarak bilinir. Bu teorem, çember üzerindeki noktalardan geçen dik üçgenlerin hesaplanmasında hızlı bir çözüm sağlar.
Yay ve dilim hesabında θ ÷ 360 oranı önce yazılır, sonra ilgili büyüklükle çarpılır. 90° için oran 1/4 olduğundan dairenin çevresinin dörtte biri yay, alanının dörtte biri dilim olur; bu oranlar ezberlenerek uzun işlem önlenir.
Yarıçap 7 cm ve π = 22/7 alındığında çevrenin 2 · 22/7 · 7 = 44 cm çıktığı görülür. Sonucun çaptan büyük ve çapın dört katından küçük olması gerektiğini bilmek, 140 ya da 4 gibi belirgin yanlış sonuçları daha hesap yapılmadan eler.
Konuyu pekiştirmek için günlük hayattan bir uygulamaya bakmak gerekir. Aşağıdaki görev, Daire ve Dairede Açılar bilgisini gerçek bir işin içinde kullandırmak için hazırlandı; çözerken hangi adımı nerede kullandığımızı not etmek faydalıdır.
Uygulama sorusu: Yarıçapı 7 cm olan daire için çevreyi, alanı ve merkez açısı 60° olan dilimin alanını hesaplayınız (π ≈ 22/7).
Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.
Dersi tekrar ederken bakacağınız notlar
İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.
Örnek 1: Çevre ve Alan
Soru: Yarıçapı 7 cm olan dairenin çevresini ve alanını bulunuz (π = 22/7).
Cevap: Cevap: Çevre 44 cm, alan 154 cm²
Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.
Örnek 2: Merkez-Çevre Açı
Soru: Bir merkez açının ölçüsü 80° ise aynı yayı gören çevre açının ölçüsü kaçtır?
Cevap: Cevap: 40°
Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.
| Kavram | Anlamı | Sık karıştırılan karşılığı |
|---|---|---|
| Merkez açı | Ve | Çevre açı ile merkez açıyı karıştırmak |
| Çevre açı | Tepesi çember üzerinde olan açıdır; | Çevre açı ile merkez açıyı karıştırmak |
Aşağıdaki tablo bu konudaki kuralları tek bakışta toplar. Karar verirken önce bu tabloya bakmak, kuralı hatırlamakta işe yarar.
| Ölçülen büyüklük | Derste geçen değer | Değerin geçtiği bağlam |
|---|---|---|
| uzunluk | 7 cm | Yarıçapı 7 cm olan dairenin çevresini ve alanını bulunuz (π = 22/7). |
| uzunluk | 44 cm | Çevre = 2 · (22/7) · 7 = 44 cm |
| alan | 154 cm² | Alan = (22/7) · 7² = 154 cm² |
| uzunluk | 6 cm | Yarıçapı 6 cm olan dairede 60°'lik merkez açının dilim alanını bulunuz (π ≈ 3,14). |
| alan | 18,84 cm² | = (1/6) · 3,14 · 36 ≈ 18,84 cm² |
| uzunluk | 10 cm | Çapı 10 cm olan çember üzerinde A ve B noktaları, çapın iki ucunda bulunmaktadır. Çember… |
| uzunluk | 37,68 cm | Adım 2: Çevre hesaplanır: 2 · 3,14 · 6 = 37,68 cm. |
| uzunluk | 15,7 cm | Adım 3: Yay uzunluğu 37,68 · 5/12 = 15,7 cm olarak bulunur. |
Yukarıdaki ölçülerin arkasındaki kural ve formüller şunlardır:
| Kural ya da formül | Ölçü / birim | Örnek adımlarında geçiyor mu |
|---|---|---|
| Çevre = 2πr = πd | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 1: Çevre ve Alan |
| Alan = πr² | Ölçü birimi yok (saf kural) | Örnek adımlarında sayısal olarak geçmiyor |
| Yay uzunluğu = (θ/360) · 2πr | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 3: Dilim Alanı |
| Dilim alanı = (θ/360) · πr² | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 1: Çevre ve Alan |
| Merkez açı = 2 · çevre açı | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 1: Çevre ve Alan |
Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.
Kısaca: Dairede çevre 2πr, alan πr²'dir. Merkez açı gördüğü yaya, çevre açı ise yayın yarısına eşittir. Yay ve dilim, θ/360 oranıyla hesaplanır. Çapı gören çevre açı 90° ve dış çembere çizilen teğet açı, gördüğü yayın yarısıdır.
Derste gördüğümüz ana fikirler şunlar:
Bu üç soru konunun özetidir. Çözmeden önce her biri için hangi kuralı kullanıyorum diye düşün; cevap anahtarı sonda verilmiştir.
Cevap anahtarı: 1) Eşit — Aynı yayı gören çevre açılar, gördükleri yay aynı olduğu için birbirine eşit, yani eşittir.
2) 1/3 — Yay, merkez açının 360°'ye oranıdır: 120 ÷ 360 = 1/3 olduğundan doğru cevap 1/3'tür.
3) 154 cm^2 — r=7, A=pir^2=(22/7)x49=154 cm^2
Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:
Daire ve Dairede Açılar başlığındaki her sayısal iddia elle doğrulanabilir biçimde yazıldı: soruda verilen değer, uygulanan kural ve bulunan sonuç yan yana durur. Metin özgün yazılmıştır, başka bir kaynaktan alıntı yapılmamıştır.
Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:
Bu derste Daire ve Dairede Açılar konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.
Bu derste Daire ve Dairede Açılar konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz. Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:
Dairenin alanı πr² ile, çevresi 2πr ile hesaplanır; her iki formülde de yarıçap kullanılır.
Çap ile yarıçapı karıştırmak: Çevre formülünde r kullanılır, d değil. Çevre açı ile merkez açıyı karıştırmak: Merkez açı, çevre açının iki katıdır.
Çevre = 2πr = πd · Alan = πr² · Yay uzunluğu = (θ/360) · 2πr · Dilim alanı = (θ/360) · πr²
Çapı 14 cm olan dairenin alanı? (pi=22/7)
Doğru cevap: A) 154 cm^2
Alan = πr² olduğundan önce yarıçap bulunur: r = 14 ÷ 2 = 7. A = (22/7) · 7² = (22/7) · 49 = 154 cm^2. Çapı doğrudan yarıçap saymak sonucu dört katına çıkarır.
Merkez açısı 120 derece olan yay, çevrenin kaçı?
Doğru cevap: C) 1/3
Yay, merkez açının 360°'ye oranıdır: 120 ÷ 360 = 1/3 olduğundan doğru cevap 1/3'tür.
Aynı yayı gören iki çevresel açı ilişkisi?
Doğru cevap: B) Eşit.
Eşit. - Aynı yayı gören çevre açılar, gördükleri yay aynı olduğu için birbirine eşit, yani eşittir.
Konu anlatımları hesapsız okunur. Quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Matematik için çalışma yolu
Konu anlatımları hesapsız okunur; quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Bu sayfa Daire ve Dairede Açılar konusunun anlatımını, kazanımlarını ve örnek sorularını içerir. Konuyla ilgili tüm sorular için testi çöz, diğer konular için DersTeders ana sayfasına geçebilirsin.
Bu konuyu çalış: hesap aç, ilerlemen kaydedilsin.
Hesap aç