Çokgenler

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Çokgenler konusunu çalışacağız.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Çokgenlerin iç ve dış açı toplamlarını hesaplar.
• Kazanım 2: Düzgün çokgenlerin bir iç açısını bulur.
• Kazanım 3: Köşegen sayısını hesaplar.
• Kazanım 4: Çokgenlerde köşegen sayısını ve bir dış açıyı hesaplar.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konunun dayandığı temel Dörtgenlerde Alan başlığıdır. Dörtgenlerde Alan konusunda kazanılan bilgiyi burada yeniden kullanacağız, bu yüzden o konudaki tanım ve çıkarımları hatırlamak işimizi kolaylaştırır.

• Dörtgenlerde Alan — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Dörtgenler ve Özellikleri — bağlantı: bu derste yeniden karşımıza çıkacak konu.

Çokgenler

En az üç kenarı olan kapalı düzlemsel şekillere çokgen denir. Kenar sayısı n ile gösterilirse, iç açılar toplamı ve köşegen sayısı yalnızca n'e bağlıdır.

İç ve Dış Açılar

n kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamı (n − 2)·180°'dir. Dış açıları toplamı ise kenar sayısından bağımsız olarak her zaman 360°'dir. Düzgün çokgende tüm iç açılar eşit olduğundan bir iç açı toplamın n'e bölünmesiyle bulunur.

Köşegen Sayısı

Bir köşeden çizilebilen köşegen sayısı (n − 3), toplam köşegen sayısı ise n(n − 3)/2'dir.

Günlük hayattan bir uygulama

Şimdi konuyu kendi hayatımızdaki bir duruma uygulayacağız. Çokgenler bilgisi olmadan da bu iş yapılabilir, ama nasıl yapıldığını açıklamak zorlaşır; soru tam da bu açıklamayı istiyor.

Uygulama sorusu: 12 kenarlı düzgün bir çokgen için iç açılar toplamını, bir iç açısını, bir dış açısını ve köşegen sayısını ayrı ayrı hesaplayınız.

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Yararlı ipuçları

• Dış açı formülü, düzgün çokgende kenar sayısını bulmada çok hızlıdır: n = 360 ÷ dış açı.
• Kenar sayısı arttıkça bir iç açı 180°'ye yaklaşır.
• Kenar sayısını isteyen sorularda dış açı formülü n = 360 ÷ dış açı en kısa yoldur.
• Köşegen sayısını bulurken n(n − 3) kısmından sonra 2'ye bölme adımını ayrı yaz, böylece unutma.

İki örnek üzerinde çözüm

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: İç Açılar Toplamı

Soru: 10 kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamını bulunuz.

1. (n − 2)·180 = (10 − 2)·180
2. = 8 · 180 = 1440°
3. Sonuç birim ve mertebe kontrolüyle doğrulanır, gerekirse işlem tekrar edilir.

Cevap: Cevap: 1440°

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Düzgün Beşgen

Soru: Düzgün beşgenin bir iç açısını bulunuz.

1. İç açılar toplamı = (5 − 2)·180 = 540°
2. Bir iç açı = 540 ÷ 5 = 108°
3. Sonuç birim ve mertebe kontrolüyle doğrulanır, gerekirse işlem tekrar edilir.

Cevap: Cevap: 108°

Terimler ve aralarındaki fark

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Kurallar, formüller ve ölçüler

Bu konunun dayandığı kurallar aşağıdadır. Tabloyu ezberlemek değil, kuralın hangi soruda işe yaradığını görmek esastır.

Sık Yapılan Hatalar — Hangi hatalara dikkat edelim?

Aşağıdaki hatalar bu konuda en sık görülenlerdir. Her biri için önce hatanın kendisi, sonra neden yanlış olduğu ve doğrusu anlatılmıştır.

• Dış açılar toplamını n'e bağlı sanmak: Her zaman 360°'dir.
• Köşegen formülünde 2'ye bölmeyi unutmak: Her köşegen iki kez sayılır.
• Düzgün olmayan çokgende bir açıyı eşit sanmak: Eşitlik yalnızca düzgün çokgende geçerlidir.
• Düzgün çokgende bir iç açıyı toplam ile karıştırmak: (n − 2) · 180° toplamdır; tek açı için ayrıca n'ye bölünür.

Özet

Kısaca: n kenarlı çokgenin iç açıları toplamı (n−2)·180°, dış açıları toplamı 360°, köşegen sayısı n(n−3)/2'dir. Düzgün çokgende açılar eşit paylaşılır. Dış açıdan kenar bulmak için 360 ÷ dış açı kuralı en kısa yoldur; köşegen 2'ye bölünür.

Sınav öncesi şu maddeleri tekrar etmek yeterli olacaktır:

• İç açılar toplamı = (n − 2) · 180°
• Dış açılar toplamı = 360°
• Düzgün çokgende bir iç açı = (n − 2)·180° ÷ n
• Bir dış açı = 360° ÷ n
• Düzgün çokgende bir iç açı ile komşu dış açı birlikte 180° tamamlar; bu ilişki soruları hızlandırır.

Kendini dene

Aşağıdaki sorular konunun farklı yönlerini yoklar. Önce kendin çöz, sonra cevap anahtarına bak; eğer bir soruyu yanlış yaptıysan yukarıdaki ilgili bölüme geri dön.

1. Bir altıgenin iç açılar toplamı kaç derecedir? (Şıklar: 540 derece · 720 derece · 900 derece · 1080 derece)
2. Sekizgenin köşegen sayısı kaçtır? (Şıklar: 20 · 16 · 24 · 28)
3. 20 köşegeni olan çokgenin kenar sayısı? (Şıklar: 7 · 8 · 9 · 10)

Cevap anahtarı: 1) 720 derece — İç açılar toplamı (6 − 2) · 180° = 720° olduğundan doğru cevap 720 derecedir.

2) 20 — n(n − 3) ÷ 2 kuralıyla 8 · 5 ÷ 2 = 20 köşegen bulunur.

3) 8 — n(n − 3) ÷ 2 = 20 denklemi n = 8 için sağlanır; 8 · 5 ÷ 2 = 20 olduğundan kenar sayısı 8'dir.

Komşu konular

Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:

• Dik Prizma ve Piramit — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Daire ve Dairede Açılar — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Pisagor Teoremi ve Uygulamaları — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Üçgende Yardımcı Elemanlar — aynı ünitede, bir sonraki adım.

Kaynak notu

Bu derste Çokgenler konusu için kullanılan sayısal değerlerin tamamı adım adım gösterilerek hesaplandı; yaklaşık değer gereken yerde yaklaşık ifadesi açıkça yazıldı. Bu anlatım başka bir kitaptan cümle aktarmadan, konunun tanım ve kural düzeni yeniden yazılarak hazırlandı.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• 12 kenarlı düzgün bir çokgen için iç açılar toplamını, bir iç açısını, bir dış açısını ve köşegen sayısını ayrı ayrı hesaplayınız. (15 puan)
• Çokgenlerde iç açılar toplamı formülü ile dış açılar toplamı formülünü karşılaştırıp düzgün bir çokgende bir iç açı ile bir dış açının toplamının neden 180° olduğunu örnekle açıklayınız. (10 puan)
• 12 kenarlı düzgün bir çokgen için bir iç açıyı, bir dış açıyı ve köşegen sayısını ayrı ayrı hesaplayınız; sonuçları bir tabloda gösterip iç ve dış açıların toplamının 180° olduğunu doğrulayınız. (10 puan)