10. SınıfMatematik
Matematik · 10. Sınıf · Geometri
Bu derste Dörtgenlerde Alan başlığını ele alacağız. Önce kavramın kuralını yazacağız, sonra o kuralın sayı üzerinde nasıl işlediğini adım adım göstereceğiz.
Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:
Bu konuyu anlamanın ön koşulu Dörtgenler ve Özellikleri bilgisidir. Dörtgenler ve Özellikleri konusundaki temel kavramlar bu derste örneklerin üzerinde yeniden karşımıza çıkacak.
Dörtgenlerin alanı, şeklin türüne göre farklı formüllerle hesaplanır. Temel fikir, şekli dikdörtgenlere veya üçgenlere ayırarak alanı bulmaktır.
İkizkenar yamukta yükseklik, taban farkının yarısı ile yan kenar arasındaki dik üçgenden Pisagor ile bulunur.
Dörtgen alanları taban yükseklik ilişkisi üzerinden hesaplanır: paralelkenarda A = a · h, yamukta A = (a + c) · h ÷ 2 biçimindedir. Kare ve dikdörtgende bu ilişki a · b ile sadeleşir; eşkenar dörtgende ise köşegenlerin çarpımının yarısı kullanılır.
| Dörtgen | Alan | Ek bilgi |
|---|---|---|
| Kare | a² | a: kenar |
| Dikdörtgen | a · b | a, b: komşu kenarlar |
| Paralelkenar | a · h | h, a'ya diktir |
| Yamuk | (a + c) · h ÷ 2 | a, c: paralel kenarlar |
| Eşkenar dörtgen | (d₁ · d₂) ÷ 2 | d₁, d₂: köşegenler |
Tablodaki formleri ezberlemek yerine taban yükseklik ilişkisini düşünmek, unutulan formüllerin yeniden türetilmesini sağlar.
Tabanları 9 cm ve 15 cm, yan kenarı 10 cm olan ikizkenar yamukta taban farkının yarısı (15 − 9) ÷ 2 = 3 cm alınır; Pisagor'dan h = √(10² − 3²) = √91 ≈ 9,5 cm bulunur ve alan A = (9 + 15) · 9,5 ÷ 2 ≈ 114 cm² hesaplanır.
Sınavda alan sorularında önce hangi bilginin eksik olduğu belirlenmeli, yükseklik verilmemişse önce Pisagor ile tamamlanmalıdır. Birim kontrolü de önemlidir: alan sonuçları daima kare birimle yazılır.
Dörtgenlerin alanını hesaplamada yükseklik, temel formüllerin doğru uygulanmasında kritik bir rol oynar. Yükseklik, şekillerin dikdörtgen veya üçgene ayrılmasıyla elde edilen tabanlar üzerinde dik olarak çizilen doğru parçasıdır. Bu nedenle, yükseklik bulunamadığında dörtgenlerin alanını hesaplamak için genellikle Pisagor teoremi kullanılır. Örneğin, ikizkenar yamukta yükseklik, taban farkının yarısı ile yan kenar arasındaki dik üçgenden hesaplanır. Bu durumda, yükseklik değeri tabanların uzunluğuna göre değişir ve alan formülünde doğru bir şekilde yer alır.
Yükseklik, dörtgenlerin alanını hesaplamada temel bir kavramdır. Yükseklik bulunamadığında, şekillerin dik üçgenler haline getirilmesi ve Pisagor teoremi ile yükseklikin bulunması gereklidir. Bu süreçte, yükseklik değerinin doğru olarak belirlenmesi, alan hesaplamasında hata yapmamak için çok önemlidir. Ayrıca, yükseklik değerinin doğru olarak belirlenmesi, dörtgenlerin alanını hesaplamada en temel adımlardan biridir.
Bu derste öğrendiklerimizi günlük hayatta görmek, konuyu kalıcı hale getirir. Aşağıdaki görevde Dörtgenlerde Alan bilgisi bir işin içinde kullanılıyor; çözümü kendiniz yazmayı deneyin.
Uygulama sorusu: Tabanları 8 cm ve 20 cm, yan kenarı 10 cm olan ikizkenar yamugun yüksekliğini ve alanını adım adım hesaplayınız.
Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.
Bu konuyu çalışırken işinize yarayacak notlar
İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.
Örnek 1: Yükseklik Bulma
Soru: Alanı 96 cm² ve tabanı 12 cm olan paralelkenarın yüksekliğini bulunuz.
Cevap: Cevap: Yükseklik 8 cm'dir.
Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.
Örnek 2: İkizkenar Yamuk
Soru: Alt tabanı 10 cm, üst tabanı 6 cm ve yan kenarı 5 cm olan ikizkenar yamuğun alanını bulunuz.
Cevap: Cevap: Alan yaklaşık 36,6 cm²'dir.
Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.
| Kavram | Anlamı | Sık karıştırılan karşılığı |
|---|---|---|
| İkizkenar yamuk | H = √(yan² − ((alt−üst)/2)²) | Bu kavram için ayrı bir hata kaydı tutulmamış; tanımıyla ilgili uyarılar aşağıdaki bölümde. |
| Yükseklik | Şekillerin dikdörtgen veya üçgene ayrılmasıyla elde edilen tabanlar üzerinde dik olarak çizilen doğru parçasıdır. | Yamukta yan kenarı yükseklik sanmak |
| Yükseklik bulunamadığında | Şekillerin dik üçgenler haline getirilmesi ve Pisagor teoremi ile yükseklikin bulunması gereklidir. | Bu kavram için ayrı bir hata kaydı tutulmamış; tanımıyla ilgili uyarılar aşağıdaki bölümde. |
Konudaki kural ve ölçüleri tek tabloda topladık. Bu tablo, tekrar anlarında ilk bakılacak yerdir.
| Ölçülen büyüklük | Derste geçen değer | Değerin geçtiği bağlam |
|---|---|---|
| alan | 96 cm² | Alanı 96 cm² ve tabanı 12 cm olan paralelkenarın yüksekliğini bulunuz. |
| uzunluk | 8 cm | h = A ÷ a = 96 ÷ 12 = 8 cm |
| uzunluk | 10 cm | Alt tabanı 10 cm, üst tabanı 6 cm ve yan kenarı 5 cm olan ikizkenar yamuğun alanını bulun… |
| uzunluk | 2 cm | Taban farkının yarısı: (10 − 6) ÷ 2 = 2 cm |
| uzunluk | 4,58 cm | Yükseklik: h = √(5² − 2²) = √21 ≈ 4,58 cm |
| alan | 36,6 cm² | A = (10 + 6) · 4,58 ÷ 2 ≈ 36,6 cm² |
| uzunluk | 12 cm | Köşegen uzunlukları 12 cm ve 16 cm olan eşkenar dörtgenin alanını hesaplayınız. |
| uzunluk | 96 cm | Adım 3: Hesaplanır: 192 ÷ 2 = 96 cm². |
Yukarıdaki ölçülerin arkasındaki kural ve formüller şunlardır:
| Kural ya da formül | Ölçü / birim | Örnek adımlarında geçiyor mu |
|---|---|---|
| Paralelkenar: h = A ÷ a | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 1: Yükseklik Bulma |
| Kare köşegen: d = a√2; A = d² ÷ 2 | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 3: Eşkenar Dörtgen Alanı |
| İkizkenar yamuk: h = √(yan² − ((alt−üst)/2)²) | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 2: İkizkenar Yamuk |
| İkizkenar yamukta alan, taban ortalaması ile yüksekliğin çarpımıdır: A = ((a + c) ÷ 2) · h. | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 1: Yükseklik Bulma |
| Dik üçgende alan (taban · yükseklik) ÷ 2 ile bulunur; yamuk bu kuralın iki üçgene bölünmesiyle doğrulanır. | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 1: Yükseklik Bulma |
Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.
Kısaca: Dörtgenlerin alanı türe özgü formüllerle hesaplanır. Ortak strateji, şekli tanıdık parçalara ayırmaktır. Yükseklik tabanlara diktir; verilmemişse Pisagor ile tamamlanır ve sonuç daima kare birimle yazılır.
Anlatımı bir cümlede özetleyeceksek, şunu söyleyebiliriz:
Bu üç soru konunun özetidir. Çözmeden önce her biri için hangi kuralı kullanıyorum diye düşün; cevap anahtarı sonda verilmiştir.
Cevap anahtarı: 1) √91 cm — Taban farkının yarısı 3 cm'dir; Pisagor'dan h = √(10² − 3²) = √91 cm bulunur.
2) 4 cm — x = (14-8)/2 = 3, h = sqrt(25-9) = 4 cm
3) 12 cm — a = A / h = 120 / 10 = 12 cm
Konunun yerine oturması için komşu başlıkları da bilmek gerekir. Şunlarla birlikte çalışmak konuyu pekiştirir:
Dörtgenlerde Alan başlığındaki her sayısal iddia elle doğrulanabilir biçimde yazıldı: soruda verilen değer, uygulanan kural ve bulunan sonuç yan yana durur. Metin özgün yazılmıştır, başka bir kaynaktan alıntı yapılmamıştır.
Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:
Bu derste Dörtgenlerde Alan başlığını ele alacağız. Önce kavramın kuralını yazacağız, sonra o kuralın sayı üzerinde nasıl işlediğini adım adım göstereceğiz.
Bu derste Dörtgenlerde Alan başlığını ele alacağız. Önce kavramın kuralını yazacağız, sonra o kuralın sayı üzerinde nasıl işlediğini adım adım göstereceğiz. Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:
Yamukta yan kenarı yükseklik sanmak: Yükseklik tabanlara diktir. Karede köşegenle alanı karıştırmak: A = d²/2'dir (d = a√2 olduğunda a²).
Paralelkenar: h = A ÷ a · Kare köşegen: d = a√2; A = d² ÷ 2 · İkizkenar yamuk: h = √(yan² − ((alt−üst)/2)²) · İkizkenar yamukta alan, taban ortalaması ile yüksekliğin çarpımıdır: A = ((a + c) ÷ 2) · h.
Dörtgen türlerinin alan formüllerini uygular. Verilmeyen yüksekliği veya kenarı bulur. İkizkenar yamukta Pisagor'dan yararlanır.
Alanı 120 cm^2 ve yüksekliği 10 cm olan paralelkenarın tabanı?
Doğru cevap: B) 12 cm
Paralelkenarda A = a · h bağıntısından taban, alanın yüksekliğe bölünmesiyle bulunur: a = 120 ÷ 10 = 12 cm. Alanı doğrudan yükseklik sanmak, kare ile paralelkenarı karıştırmaktır.
İkizkenar yamuk tabanları 8 ve 14, yan kenarları 5 cm ise yükseklik?
Doğru cevap: B) 4 cm
İkizkenar yamukta yükseklik, taban farkının yarısı ve yan kenarın oluşturduğu dik üçgenden çıkar: x = (14 − 8) ÷ 2 = 3, h = √(5² − 3²) = √16 = 4 cm. Yan kenarı yükseklik sanmak hatadır.
Tabanları 7 cm ve 13 cm, yan kenarı 10 cm olan ikizkenar yamuğun yüksekliği kaç cm'dir?
Doğru cevap: D) √91 cm
Taban farkının yarısı 3 cm'dir; Pisagor'dan h = √(10² − 3²) = √91 cm bulunur.
Konu anlatımları hesapsız okunur. Quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Matematik için çalışma yolu
Konu anlatımları hesapsız okunur; quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Bu sayfa Dörtgenlerde Alan konusunun anlatımını, kazanımlarını ve örnek sorularını içerir. Konuyla ilgili tüm sorular için testi çöz, diğer konular için DersTeders ana sayfasına geçebilirsin.
Bu konuyu çalış: hesap aç, ilerlemen kaydedilsin.
Hesap aç