Üçgende Eşlik ve Benzerlik

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Üçgende Eşlik ve Benzerlik konusunu bu derste üç kademede kuracağız: kavramın tanımı, günlük hayattan bir örnek ve ardından sayısal uygulama. Bir kez yapılan işlemi unutmak kolaydır; kuralın nereden geldiğini bilmek zor değildir.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Eşlik ve benzerlik kavramlarını ayırt eder.
• Kazanım 2: Eşlik ve benzerlik teoremlerini uygular.
• Kazanım 3: Benzerlik oranı ile uzunluk, çevre ve alan arasındaki ilişkiyi kurar.
• Kazanım 4: Verilen şekillerde benzerlik oranını belirleyip bilinmeyen uzunlukları hesaplar.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konuya geçmeden önce Üçgenlerin Temel Özellikleri konusunu bilmemiz gerekiyor. Üçgenlerin Temel Özellikleri içindeki kavramlar bu derste doğrudan kullanılacak; aradaki bağı kurmadan sayısal işleme geçmek en sık yapılan hatadır.

• Üçgenlerin Temel Özellikleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Doğrusal ve Karesel Fonksiyonlarla Çözülen Problemler — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Üçgende Eşlik ve Benzerlik

Biçim ve büyüklüğü aynı olan üçgenlere eş, yalnızca biçimi aynı olan üçgenlere benzer üçgenler denir. Eş üçgenlerin karşılıklı tüm elemanları, benzer üçgenlerin ise karşılıklı açıları eşit, karşılıklı kenarları orantılıdır.

Eşlik ve Benzerlik Teoremleri

• Eşlik: KKK, KAK, AKA, AAK (dik üçgende hipotenüs-dik kenar).
• Benzerlik: AA (iki açı eşit), KAK (iki kenar orantılı ve aradaki açı eşit), KKK (üç kenar orantılı).

Benzer iki üçgende benzerlik oranı k ise; çevreler oranı k, alanlar oranı k², karşılıklı yükseklikler oranı da k'dır.

Günlük hayattan bir uygulama

Öğrenilen bilgi ancak bir işe yaradığında yerinde kalır. Üçgende Eşlik ve Benzerlik konusunu günlük hayattan bir durumla birleştirelim; soruyu çözerken her adımın hangi kurala dayandığını söylemeye çalışın.

Uygulama sorusu: Benzerlik oranı 3/4 olan iki üçgenden büyüğünün çevresi 40 cm olduğuna göre küçüğün çevresini hesaplayınız ve iki üçgenin alanlarının oranını yazınız.

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Sınıfta işe yarayan pratik notlar

• Şekilde paralel kenarlar varsa iç ters açılar benzerlik sağlar.
• Alan sorularında benzerlik oranının karesini kullanmayı unutma.
• Yükseklik de k oranında büyür.
• Paralel kenar görürsen iç ters açıları işaretle; AA kuralı çoğu soruyu tek adımda çözer.

Örnekleri adım adım çözelim

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Benzerlik Oranı

Soru: △ABC ∼ △DEF ve AB = 6 cm, DE = 9 cm ise benzerlik oranını bulunuz.

1. k = AB / DE = 6 / 9 = 2/3
2. Sonuç «Benzerlik oranı 2/3'tür.» olarak yazılır ve sorunun istediği büyüklüğe çevrilir.
3. Sonuç birim ve mertebe kontrolüyle doğrulanır, gerekirse işlem tekrar edilir.

Cevap: Cevap: Benzerlik oranı 2/3'tür.

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Alan Oranı

Soru: Benzerlik oranı 2/3 olan iki üçgenin alanları oranı kaçtır?

1. Alan oranı = k² = (2/3)² = 4/9
2. Sonuç «Alanlar oranı 4/9'dur.» olarak yazılır ve sorunun istediği büyüklüğe çevrilir.
3. Sonuç birim ve mertebe kontrolüyle doğrulanır, gerekirse işlem tekrar edilir.

Cevap: Cevap: Alanlar oranı 4/9'dur.

Kavram karşılaştırma tablosu — Kavramları birbirinden ayırma tablosu

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Bu dersten çıkan kurallar

Kuralları tek yerde görmek, karışık gelen bilgileri düzene sokar. Aşağıdaki tablo bu konuda geçen kural ve ölçüleri içerir.

Yukarıdaki ölçülerin arkasındaki kural ve formüller şunlardır:

Sık yapılan hatalar ve nedenleri

Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.

• Eşlik ile benzerliği karıştırmak: Eşlikte boyut da aynıdır.
• Alan oranını k sanmak: Alan oranı k²'dir.
• Benzerlikte karşılıklı kenarları eşleştirmemek: Oranlar aynı sıraya göre yazılmalıdır.
• AA benzerliğinde üçüncü açıyı aramak: İki açı yeterlidir.

Kısaca özet

Kısaca: Eş üçgenlerde tüm karşılıklı elemanlar eşit, benzer üçgenlerde açılar eşit ve kenarlar orantılıdır. Benzerlikte çevre k, alan k² oranındadır. Yükseklikler de k oranında olduğundan alan sorularında kare ilişki ayrıca kontrol edilir.

Kısaca bu derste öğrendiklerimizi toparlayalım:

• Eşlik: △ABC ≅ △DEF
• Benzerlik: △ABC ∼ △DEF
• Kenar oranı: AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
• Çevre oranı = k; Alan oranı = k²
• Benzerlikte karşılıklı kenarlar aynı sıraya yazılır; yanlış eşleştirme yanlış oran verir.

Kendini dene

Bu üç soru konunun özetidir. Çözmeden önce her biri için hangi kuralı kullanıyorum diye düşün; cevap anahtarı sonda verilmiştir.

1. Benzerlik oranı 2 olan iki üçgenin alanları arasındaki oran kaçtır? (Şıklar: 2 · 4 · 8 · 16)
2. İki üçgenin tüm kenar uzunlukları eşit ise hangi eşlik teoremi kullanılır? (Şıklar: KAK (SAS) · KKK (SSS) · AKA (AAS) · AA)
3. Benzer üçgenlerde çevre oranı kaç ile ifade edilir? (Şıklar: k^2 · k · k^3 · 2k)

Cevap anahtarı: 1) 4 — Alanlar benzerlik oranının karesine orantılıdır: k^2 = 2^2 = 4

2) KKK (SSS) — Tüm kenar uzunlukları eşit ise eşlik için KKK (SSS) teoremi kullanılır.

3) k — Çevre oranı k ile orantılıdır.

Bu dersten sonra neler var?

Konunun yerine oturması için komşu başlıkları da bilmek gerekir. Şunlarla birlikte çalışmak konuyu pekiştirir:

• Dörtgenler ve Özellikleri — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Dörtgenlerde Alan — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Çokgenler — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Dik Prizma ve Piramit — aynı ünitede, bir sonraki adım.

Bu anlatım hakkında

Üçgende Eşlik ve Benzerlik başlığındaki her sayısal iddia elle doğrulanabilir biçimde yazıldı: soruda verilen değer, uygulanan kural ve bulunan sonuç yan yana durur. Metin özgün yazılmıştır, başka bir kaynaktan alıntı yapılmamıştır.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Benzerlik oranı 3/4 olan iki üçgenden büyüğünün çevresi 40 cm olduğuna göre küçüğün çevresini hesaplayınız ve iki üçgenin alanlarının oranını yazınız. (15 puan)
• KAK ve KKK benzerlik kurallarını ayrı ayrı açıklayıp bir üçgen çiftinde bu kurallardan birini uygulayarak benzerliği doğrulayınız. (10 puan)
• Kenarları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan üçgenle kenarları 9 cm, 12 cm ve 15 cm olan üçgenin benzerliğini gösteriniz; benzerlik oranını ve alanlar oranını hesaplayıp yorumlayınız. (10 puan)