Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri konusunu bu derste üç kademede kuracağız: kavramın tanımı, günlük hayattan bir örnek ve ardından sayısal uygulama. Bir kez yapılan işlemi unutmak kolaydır; kuralın nereden geldiğini bilmek zor değildir.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Doğrusal fonksiyonun genel biçimini ve katsayılarının anlamını açıklayabilme
• Kazanım 2: Eğim katsayısından monotonluk yönünü ve değişim hızını belirleyebilme
• Kazanım 3: Bir doğrusal fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları hesaplayabilme
• Kazanım 4: İki doğrusal fonksiyonun grafiklerini karşılaştırıp ilişkilerini belirleyebilme
• Kazanım 5: Doğrusal bir fonksiyonun tersini bulabilme ve nokta-eylem ilişkisini kullanabilme

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konuyu anlamanın ön koşulu Gerçek Sayılarda Fonksiyon Olma Şartları bilgisidir. Gerçek Sayılarda Fonksiyon Olma Şartları konusundaki temel kavramlar bu derste örneklerin üzerinde yeniden karşımıza çıkacak.

• Gerçek Sayılarda Fonksiyon Olma Şartları — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Rasyonel Fonksiyon ve Nitel Özellikleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Doğrusal Fonksiyon Nedir?

f(x) = a x + b biçiminde yazılabilen ve a katsayısının sıfırdan farklı olduğu fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir. Bu fonksiyonların grafikleri bir doğrudur. a katsayısı sıfır olsaydı fonksiyon sabit olur ve doğrusal sayılmazdı.

İki katsayı iki ayrı bilgi taşır. Eğim katsayısı a, grafiğin eğimini ve dolayısıyla fonksiyonun artan mı azalan mı olduğunu belirler. b ise sabit terimdir; grafiğin y eksenini kestiği noktanın ordinatını doğrudan verir.

Eğim, Monotonluk ve Değişim Hızı

a > 0 olduğunda grafik sağa doğru yukarı çıkar ve fonksiyon kesintisiz artandır. a < 0 olduğunda grafik sağa doğru aşağı iner ve fonksiyon kesintisiz azalandır. Bir doğrusal fonksiyonda değişim hızı sabittir: x bir birim arttığında çıktı da tam olarak a kadar değişir.

Bu değişim hızını göstermek için nokta-eylem ilişkisi kullanılır. f(x₀ + h) − f(x₀) yazılırsa sabit terimler ve x₀ katsayıları birbirini götürür; geriye yalnızca a · h kalır. Elde edilen sonuç h değerinden bağımsızdır, yani değişim miktarını başlangıç noktası etkilemez.

Eksen Kesişimleri ve Karşılaştırma

Eksen kesişimleri küçük hesaplamalarla bulunur. Doğrunun iki katsayısı bilindiğinde hem y ekseni hem x ekseni kesişimi tek adımda yazılabilir. İki doğrusal fonksiyon karşılaştırıldığında ise önce eğim katsayılarına, yalnızca eğimler eşit ise sabit terimlere bakılır.

İleri örnek

Bir su deposundaki su miktarının saatte 12 litre azaldığını ve başlangıçta 96 litre su bulunduğunu düşünelim. Model doğrusal olur ve f(t) = −12t + 96 biçiminde yazılır.

1. Deponun tamamen boşalması için su miktarının sıfıra eşit olması gerekir.
2. Eşitlik kurulur ve her iki taraf on ikiye bölünür; t değeri sekiz olarak bulunur.
3. Eğim negatif olduğu için fonksiyon azalandır; bu da suyun azaldığı gerçeğiyle örtüşür.
4. Başlangıç değeri doğrudan sabit terimdir, o yüzden doğrulama için t yerine sıfır yazılır.

İkinci örnek olarak f(x) = 2x + 6 kuralını ele alalım. Y ekseni kesişimi için x yerine sıfır yazılır ve ordinat altı bulunur. X ekseni kesişimi için fonksiyon sıfıra eşitlenir, ikişe bölünür ve apsis eksi üç elde edilir. Eğim iki olduğu için grafik artandır ve iki ekseni de sıfırdan farklı noktalarda keser.

Özet

Doğrusal fonksiyonun genel biçimi f(x) = a x + b olup a ≠ 0 şartı aranır. Eğim katsayısı a, grafiğin eğimini ve artanlık ya da azalanlık yönünü belirler. Sabit terim b, grafiğin y ekseni kesişiminin ordinatıdır; x ekseni kesişimi ise eksi b bölü a biçiminde bulunur. Tanım ve görüntü kümesi, özel bir aralık koşulu verilmediği sürece tüm reel sayılardır. Nokta-eylem ilişkisi, herhangi bir noktadan h kadar ilerlendiğinde çıktının tam olarak a · h kadar değiştiğini gösterir. Eğimleri eşit iki doğrusal fonksiyonun grafikleri ya çakışır ya da paraleldir; eğimleri farklı olanlar bir noktada kesişir. Doğrusal bir fonksiyonun tersi de doğrusaldır.

Sık Yapılan Hatalar

• Sabit terimi eğim sanmak: grafik yukarı aşağı hareket ettiğinde değişen b değil, a değeridir. b yalnızca başlangıç yüksekliğidir.
• Eğim ile x ekseni kesişimini karıştırmak: eğim a iken x ekseni kesişiminin apsisi eksi b bölü a'dır. Bu ikisi aynı sayı değildir.
• Sabit fonksiyonu doğrusal saymak: a sıfır olduğunda grafik yatay bir doğru olur ve bu bir sabit fonksiyondur; doğrusal fonksiyon tanımına girmez.
• Paralel ile aynı doğruyu karıştırmak: eğimler eşit olup sabit terimler farklıysa grafikler paraleldir; sabit terimler de eşitse aynı doğru üzerinde çakışır.

Günlük hayattan bir uygulama

Öğrenilen bilgi ancak bir işe yaradığında yerinde kalır. Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri konusunu günlük hayattan bir durumla birleştirelim; soruyu çözerken her adımın hangi kurala dayandığını söylemeye çalışın.

Uygulama sorusu: Bir kütüphaneye giriş ücreti 20 birim, kitap başına ödünç ücreti 6 birim olan bir doğrusal fonksiyonla modellenmiştir. Buna göre kütüphaneye 4 kitapla giren bir kişinin ödediği toplam ücreti bulunuz ve fonksiyonun kuralını yazınız.

Bu görev için 12 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Bu konuyu çalışırken işinize yarayacak notlar

• Bir doğrusal fonksiyon sorusunda önce katsayıları ayırın: artan mı azalan mı, y eksenini nerede kesiyor, x eksenini nerede kesiyor.
• Doğrusal fonksiyonların tanım ve görüntü kümesi, aralık koşulu verilmedikçe tüm reel sayılardır; bunu akılda tutmak küçük hataları önler.
• Nokta-eylem sorularında kuralı iki kez yazıp çıkarma yapmak, sabit terimlerin götürüldüğünü gözle görmek için en güvenli yoldur.
• Grafik karşılaştırmalarında önce eğimlere, eğimler eşitse sabit terimlere bakmayı unutmayın; ters sırada gitmek yanlış sonuç verir.
• Günlük hayat durumlarında sabit kısmı ve değişen kısmı ayırın; sabit kısım b, değişen kısım ise a katsayısıdır.

Örnekleri adım adım çözelim

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Sabit Ücretli Faturayı Modelleme

Soru: Bir abonelik için aylık 45 birim sabit ücret ve ayda birim başına 7 birim mal bedeli vardır. Ayda 4 birim mal alındığında toplam ödeme kaç birim olur?

1. Doğrusal modelde b sabit ücreti, a ise birim fiyatı olacak şekilde seçilir.
2. Kural f(x) = 7x + 45 biçiminde yazılır.
3. x yerine dört yazılarak 7 · 4 + 45 hesaplanır.
4. Çarpım yirmi sekiz bulunur ve sabit ücrete eklenir.

Cevap: Toplam ödeme yetmiş üç birim olarak hesaplanır.

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Geçilen Noktadan Eğimi Bulma

Soru: f(x) = a x + 3 doğrusal fonksiyonunun grafiği (2, 11) noktasından geçmektedir. Buna göre a kaçtır?

1. Doğrunun bir noktadan geçmesi, noktanın koordinatlarının kuralda yerine yazılmasıyla anlaşılır.
2. Apsis iki, ordinat on bir olacak şekilde yazılır.
3. Eşitlik 2a + 3 = 11 biçimine döner.
4. Sabit terim çıkarılır ve iki katsayısına bölünür.

Cevap: Eşitlikten a değerinin dört olduğu bulunur.

Kavram karşılaştırma tablosu — Kavramları birbirinden ayırma tablosu

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Bu dersten çıkan kurallar

Kuralları tek yerde görmek, karışık gelen bilgileri düzene sokar. Aşağıdaki tablo bu konuda geçen kural ve ölçüleri içerir.

Sık yapılan hatalar ve nedenleri

Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.

• Sabit terimi eğim sanmak: Grafiğin yukarı aşağı hareket etmesini sağlayan katsayı a'dır. b ise yalnızca başlangıç yüksekliğini belirler ve değişim hızıyla ilgisi yoktur.
• Eğim ile x ekseni kesişimini karıştırmak: Eğim doğrudan a katsayısıdır; x ekseni kesişiminin apsisi ise eksi b bölü a olarak bulunur. Bu iki değer çoğu zaman birbirine eşit değildir.
• Sabit fonksiyonu doğrusal kabul etmek: Eğim katsayısı sıfır olduğunda grafik yatay bir doğru olur ve bu kural sabit fonksiyon olarak adlandırılır, doğrusal fonksiyon tanımına girmez.
• Paralel ile aynı doğruyu karıştırmak: Eğimleri eşit olup sabit terimleri farklı olan iki fonksiyonun grafikleri paraleldir ve kesişmez. Sabit terimler de eşitse ancak o zaman grafikler aynı doğruyu gösterir.
• Ters fonksiyonda bölme işlemini atlamak: Ters kural bulunurken eğim sıfır olmadığı için payda mutlaka eğim katsayısı olmalıdır; bölme yapılmadan ters yazılırsa hata oluşur.

Kısaca özet

Kısaca: Doğrusal fonksiyonlar f(x) = a x + b biçiminde yazılır ve a katsayısının sıfırdan farklı olması gerekir. Grafikleri bir doğrudur ve eğimleri a katsayısına eşittir; bu katsayı artanlık ile azalanlık yönünü belirler. Sabit terim b, grafiğin y ekseni kesişiminin ordinatıdır, x ekseni kesişimi ise eksi b bölü a olarak bulunur. Nokta-eylem ilişkisi f(x₀ + h) − f(x₀) = a · h biçimindedir ve değişim hızının sabit olduğunu gösterir. Eğ…

Kısaca bu derste öğrendiklerimizi toparlayalım:

• Doğrusal fonksiyonda a katsayısı sıfır olamaz; a sıfır olduğunda kural sabit bir fonksiyona dönüşür ve grafik yatay doğru olur.
• Eğim katsayısı a hem grafiğin eğimini hem de artanlık ya da azalanlık yönünü tek başına belirler.
• Grafiğin y eksenini kestiği noktanın ordinatı doğrudan sabit terim b değeridir; apsis daima sıfırdır.
• İki doğrusal fonksiyonun grafikleri için önce eğim katsayıları karşılaştırılır, eğimler eşitse sabit terimlere bakılır.
• Doğrusal fonksiyonların bileşkesi ve tersi de doğrusaldır; bu yüzden bu sınıf özelliklerinin tümü korunur.
• Değişim hızı sabittir; girdideki her birimlik artış için çıktıdaki artış eğim katsayısına eşittir.

Kendini dene

Bu üç soru konunun özetidir. Çözmeden önce her biri için hangi kuralı kullanıyorum diye düşün; cevap anahtarı sonda verilmiştir.

1. Bir doğrusal fonksiyonun grafiği y eksenini (0, 9) noktasında kesiyor ve eğimi beş olarak veriliyor. Bu fonksiyonun x ekseniyle kesiştiği noktanın apsisi kaçtır? (Şıklar: −9/5 · 9/5 · −5 · 5)
2. Bir abonelik için aylık sabit ücret 45 birim, ayda bir birim mal bedeli 7 birimdir. Ayda dört birim mal alındığında toplam ödeme kaç birim olur? (Şıklar: 73 · 52 · 28 · 49)
3. Bir doğrusal fonksiyonun y ekseni kestiği nokta (0, 6) olduğuna göre fonksiyonun sabit terimi kaçtır? (Şıklar: 6 · 0 · −6 · 12)

Cevap anahtarı: 1) −9/5 — Doğrunun genel biçimi ax + b olup a eğimi, b ise y ekseni kesişiminin ordinatıdır. Buna göre katsayılar belirlenir. Grafiğin x eksenini kesmesi için fonksiyonun sıfıra eşit olması gerekir; çözüldüğün…

2) 73 — Doğrusal bir modelde sabit ücret b, birim fiyat ise a katsayısı olur. Dört birim malın bedeli birim fiyatla çarpılarak bulunur ve elde edilen tutar sabit ücrete eklenir. Toplam ödeme yetmiş üç birim…

3) 6 — Doğrusal fonksiyonun genel biçimi f(x) = ax + b şeklindedir. Grafiğin y eksenini kestiği nokta, kuralda x yerine sıfır yazıldığında elde edilir ve ordinatı doğrudan b değeridir. Verilen nokta (0, 6)…

Bu dersten sonra neler var?

Konunun yerine oturması için komşu başlıkları da bilmek gerekir. Şunlarla birlikte çalışmak konuyu pekiştirir:

• Karesel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Doğrusal ve Karesel Fonksiyonlarla Çözülen Problemler — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Üçgenlerin Temel Özellikleri — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Üçgende Eşlik ve Benzerlik — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Bu anlatım hakkında

Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri başlığındaki her sayısal iddia elle doğrulanabilir biçimde yazıldı: soruda verilen değer, uygulanan kural ve bulunan sonuç yan yana durur. Metin özgün yazılmıştır, başka bir kaynaktan alıntı yapılmamıştır.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Bir kütüphaneye giriş ücreti 20 birim, kitap başına ödünç ücreti 6 birim olan bir doğrusal fonksiyonla modellenmiştir. Buna göre kütüphaneye 4 kitapla giren bir kişinin ödediği toplam ücreti bulunuz… (12 puan)
• f(x) = −2x + 12 fonksiyonunun eğimini, monotonluk yönünü, y ekseni kesişimini ve x ekseni kesişimini bulunuz. Bulduğunuz sonuçları grafik üzerinde gösterecek şekilde açıklayınız. (14 puan)
• İki doğrusal fonksiyonun grafikleri birbirine paraleldir. Bu fonksiyonlardan biri f(x) = 3x − 4 diğeri ise g(x) = mx + 7 biçiminde verildiğine göre m için hangi değerler söz konusu olabilir? Gerekçen… (10 puan)