Gerçek Sayılarda Fonksiyon Olma Şartları

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Gerçek Sayılarda Fonksiyon Olma Şartları konusunu çalışacağız.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını düşey doğru testiyle belirleyebilme
• Kazanım 2: Formülle verilen bir kuralın tanım kümesini koşul denetleyerek bulabilme
• Kazanım 3: Karekök, logaritma ve bölme yapılarının doğurduğu kısıtları karşılaştırabilme
• Kazanım 4: Diskriminant yardımıyla sonuç kümesinin boş olup olmadığını denetleyebilme
• Kazanım 5: Gerçek sayılarda tanımsız kalan değerleri tespit edip kümeden çıkarabilme

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu derste Rasyonel Fonksiyon ve Nitel Özellikleri konusunu hatırlayarak ilerliyoruz. İki konu arasındaki bağı kurmak, ayrı ayrı ezberlemekten daha kalıcı bir öğrenme sağlar.

• Rasyonel Fonksiyon ve Nitel Özellikleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Karekök Fonksiyonu ve Nitel Özellikleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Fonksiyon Nedir?

Bir bağıntının fonksiyon olması için tanım kümesindeki her girdiye tam olarak bir çıktı karşılık gelmelidir. Bu tekililik, fonksiyon kavramının çekirdek ölçütüdür. Aynı girdiye ikinci bir çıktı atanıyorsa kural fonksiyon değildir; buna karşılık farklı iki girdi aynı çıktıyı alabilir. Yani her çıktının bir girdiye karşılık gelmesi aranmaz.

Gerçek sayılarla çalışırken kural bir formülle verilir. Bu durumda iki şartın birlikte sağlanması gerekir: kuralın anlamlı olduğu girdi kümesi boş olmamalı ve kuralın ürettiği çıktı kümesi de boş olmamalıdır. Biri boş olduğunda kural gerçek sayılarda fonksiyon tanımlayamaz.

Tanım Kümesi Nasıl Belirlenir?

Formülle verilen bir fonksiyonda tanım kümesi ayrıca yazılmamışsa, kuralın gerçek sayılarda anlamlı olduğu en geniş küme aranır. Bu kümeden bazı girdilerin elenmesi, elemenin nedeni kuralın içinde gizlidir: karekök, logaritma, bölme ya da üslü yazım.

• Kareköklü yazım: kökün içindeki ifade sıfırdan küçük olamaz.
• Logaritmalı yazım: içteki ifade sıfır veya negatif olamaz, yani pozitif olmak zorundadır.
• Bölmeli yazım: paydayı oluşturan ifade sıfıra eşit olamaz.
• Üslü yazım: taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.

Mutlak değer içeren bir kuralda x için hiçbir kısıt yoktur, çünkü mutlak değer bütün reel sayılarda tanımlıdır. Karesel terimler ve doğrusal terimler de tüm reel sayılarda anlamlıdır. Buna karşılık bir denklemle verilen ilişkide sonuç kümesinin boş çıkmaması gerekir; çözüm kümesi boş olan bir denklem bir fonksiyon tanımlamaz.

Kuralın Parçasına Göre Koşul Tablosu

Aşağıdaki tablo, gerçek sayılarda bir ifadenin tanım kümesini belirlerken hangi parçaya bakılacağını özetlemektedir.

İleri örnek

f(x) = √(5x − 15) biçiminde verilen kuralı inceleyelim. Kareköklü bir yazım gördüğümüz için önce kökün içindeki ifadeye bakılır.

1. Kök içi sıfırdan küçük olamaz, bu yüzden 5x − 15 ≥ 0 yazılır.
2. Eşitsizlik çözülür, 5x ≥ 15 bulunur ve iki taraf beşe bölünür.
3. Sonuç x ≥ 3 elde edilir; küme {3, 4, 5,...} biçimindedir.
4. x = 2 yazılsaydı kök içi −5 olurdu ve kural tanımsız olurdu, bu yüzden 2 kümede yer almaz.

İkinci örnek olarak y = 1 / (x − 4) kuralını düşünelim. Bölme bulunduğu için paydayı sıfır yapan x = 4 değeri dışlanır. Böylece tanım kümesi boş kalmaz ve kural bir fonksiyon olarak kabul edilir.

Özet

Fonksiyon olmanın üç temel şartı vardır: tanım kümesi boş küme olmamalı, her girdi için tek bir çıktı bulunmalı ve çıktı kümesi de boş olmamalıdır. Formülle verilen gerçek sayılı fonksiyonlarda bu şartlar ifadenin yazım biçiminden okunur. Karekökte iç ≥ 0, logaritmada iç > 0, bölmede payda ≠ 0, üslü yazımda ise taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Mutlak değer ile karesel terimler kısıt getirmez. Karesel denklemle verilen ilişkilerde diskriminant negatifse sonuç kümesi boş olur ve fonksiyon oluşmaz.

Sık Yapılan Hatalar

• Karekök ile logaritmayı aynı koşula bağlamak: karekökte iç sıfıra eşit olabilir, logaritmada ise iç sıfır olduğunda ifade tanımsız olur.
• Paydayı sıfır yapan değeri atlamak: tek bir değeri dışlamak tanım kümesinin şeklini tamamen değiştirir.
• Boş kümeyi fark etmemek: diskriminant negatif olduğunda sonuç kümesi boş kalır ve kural fonksiyon tanımlamaz.
• Düşey doğru testini atlamak: bağıntığın fonksiyon olup olmadığı, grafiğin bir düşey doğruyla en çok bir kez kesişip kesişmediğine bakılarak anlaşılır.

Günlük hayattan bir uygulama

Şimdi konuyu kendi hayatımızdaki bir duruma uygulayacağız. Gerçek Sayılarda Fonksiyon Olma Şartları bilgisi olmadan da bu iş yapılabilir, ama nasıl yapıldığını açıklamak zorlaşır; soru tam da bu açıklamayı istiyor.

Uygulama sorusu: f(x) = √(6 − x) / (x + 2) kuralının tanım kümesini bulunuz ve bu kuralın gerçek sayılarda fonksiyon olup olmadığını gerekçesiyle açıklayınız.

Bu görev için 12 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Hızlı hatırlatma

• Önce ifadede hangi yapıların bulunduğunu sıralayın: karekök, logaritma, bölme ya da üs. Sonra her yapı için kendi koşulunu yazıp hepsini birleştirin.
• Koşulları tek tek çözün ve her birini birer küme olarak yazın; son adımda kesişim alarak tanım kümesini belirleyin.
• Sınırlarda eşitliğin olup olmadığına ayrıca dikkat edin; karekök ve bölme birbirine göre farklı davranır.
• Sonuç kümesinin boş olup olmadığını karesel denklemlerde diskriminantla denetleyin; bu adım gözden kaçırılırsa sonuç yanlış çıkar.
• Şüphede kaldığınız bir bağıntı için düşey doğru testini uygulayın; bu test fonksiyon olma durumunu kesin biçimde ortaya koyar.

İki örnek üzerinde çözüm

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Kareköklü Kuralın Tanım Kümesi

Soru: f(x) = √(9 − 4x) kuralının tanım kümesini bulunuz ve bu kuralın fonksiyon olup olmadığını belirleyiniz.

1. Kök içindeki 9 − 4x ifadesinin sıfırdan küçük olamayacağı görülür.
2. 9 − 4x ≥ 0 yazılır ve eşitsizlik çözülür.
3. Eşitsizlik 4x ≤ 9 biçimine döner ve her iki taraf dörde bölünür.
4. x = 9/4 yazıldığında kök içi sıfır olur, bu değer kümede kalır.

Cevap: Tanım kümesi (−∞, 9/4] aralığıdır. Küme boş olmadığı için bu kural bir fonksiyondur.

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Logaritmalı Kural

Soru: g(x) = log(2x − 10) kuralının tanım kümesini bulunuz.

1. Logaritma içindeki ifadenin sıfırdan büyük olması gerektiği hatırlanır.
2. 2x − 10 > 0 eşitsizliği yazılır.
3. Her iki taraf ikiye bölünür ve x > 5 bulunur.
4. x = 5 için içteki ifade sıfır olacağından bu değer dışarıda bırakılır.

Cevap: Tanım kümesi (5, +∞) aralığıdır; kalan küme boş olmadığı için kural geçerlidir.

Kavram karşılaştırma tablosu — Terimler ve aralarındaki fark

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Kurallar, formüller ve ölçüler

Bu konunun dayandığı kurallar aşağıdadır. Tabloyu ezberlemek değil, kuralın hangi soruda işe yaradığını görmek esastır.

Hangi hatalara dikkat edelim?

Bu konudaki tipik hataları gözden geçirmek, tekrar hata yapmayı en hızlı azaltan yoldur. Her hatanın gerekçesi yazılmıştır.

• Karekök ile logaritmanın koşulunu aynı saymak: Karekökte içteki ifade sıfıra eşit olabilir, logaritmada ise iç sıfır olduğunda ifade tanımsız olur. Bu tek fark karıştırıldığında aralık uçları yanlış hesaplanır.
• Paydadaki sıfır değerini atlamak: Rasyonel ifadede paydayı sıfır yapan değer, kuralın en sık unutulan kısıtıdır. Bu değer dışlanmazsa tanım kümesi eksik bulunur ve sonraki bütün adımlar kayar.
• Boş kümeyi fark etmemek: Diskriminant negatif olduğunda sonuç kümesi boş kalır ve kural gerçek sayılarda fonksiyon tanımlamaz. Kök sayısına bakılmadan geçmek bu hatayı sessizce gizler.
• Her karesel yazımı koşulsuz kabul etmek: ax² + bx + c biçimi tanım kümesini daraltmaz, ancak ilişkinin fonksiyon olup olmadığı yalnızca düşey doğru testiyle belirlenir. Bağıntı ile fonksiyon birbirine karıştırılmamalıdır.
• Üslü yazımda taban koşulunu göz ardı etmek: Taban pozitif ve 1'den farklı olmadığında üstel fonksiyonun gerçek sayılardaki tanım kümesi çok daralır ya da hiç oluşmaz.

Bu dersten akılda kalması gerekenler

Kısaca: Gerçek sayılarda bir kuralın fonksiyon sayılması için üç koşul birlikte aranır: tanım kümesinin boş küme olmaması, her girdi için tam olarak bir çıktı üretilmesi ve çıktı kümesinin de boş olmaması. Formülle verilen kuralda tanım kümesi ifadenin yazım biçiminden belirlenir; karekök içi sıfırdan küçük olamaz, logaritma içi sıfırdan büyük olmak zorundadır, paydayı oluşturan ifade sıfır olamaz, üslü yazımda taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Mutlak değer ve karesel terimler kısıt getirmez. Karesel denklemle veri…

Sınav öncesi şu maddeleri tekrar etmek yeterli olacaktır:

• Bir bağıntının fonksiyon olup olmadığı düşey doğru testiyle belirlenir; grafik bir düşey doğruyla en çok bir kez kesişiyorsa bağıntı fonksiyondur.
• Tanım kümesi yazılmayan kuralda en geniş reel küme esas alınır; kısıt yalnızca ifadenin içinde saklıysa uygulanır.
• Karekök içi ile logaritma içi arasındaki fark, karekökte sıfırın kabul edilmesi, logaritmada ise reddedilmesidir.
• Paydası sıfır olan bir yazımda o değer dışlanır; dışlama sonrasında kümenin boşalıp boşalmadığı ayrıca denetlenmelidir.
• Sonuç kümesi de boş olan bir kural gerçek sayılarda fonksiyon tanımlamaz; karesel denklemde diskriminantın negatif olması bu duruma yol açar.
• Mutlak değer, karesel terim ve doğrusal terimler bütün reel sayılarda tanımlı olduğundan tanım kümesini daraltmaz.

Kendini dene

Kendi kendine dene: çözümü sen yaz, sonra anahtarla karşılaştır. Doğru yaptığın soruların altını çizmek, sınav öncesi hızlı tekrar sağlar.

1. y = x² + 1 ile y = x² − 5 kurallarının sonuç kümeleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? (Şıklar: ikisi de tüm reel sayıları içerir · ikisi de boş kümedir · birincisi 1'den küçük olmayan, ikincisi −5'ten küçük olmayan sayıları içerir · ikisi de yalnızca sıfırı içerir)
2. Üstel bir fonksiyonun tabanı için sağlanması gereken koşul hangisidir? (Şıklar: taban negatif olabilir · taban sıfır olabilir · taban 1 olabilir · taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır)
3. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiyon tanımlamaz? (Şıklar: y = 5x + 2 · y = x² + 1 · x² + y² = 25 · y = |3x − 4|)

Cevap anahtarı: 1) birincisi 1'den küçük olmayan, ikincisi −5'ten küçük olmayan sayıları içerir — Bir karesel ifadenin sonuç kümesi, tepe değerinden küçük veya ona eşit sayılardır. x² + 1 için en küçük değer 1 olduğundan sonuç kümesi 1 ve daha büyük sayılardır; x² − 5 için ise en küçük değer −5't…

2) taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır — Üstel fonksiyonda tabanın pozitif olması ve 1'den farklı olması gerekir. Negatif tabanın reel üslü değeri bütün x için tanımlı değildir, sıfır taban negatif üslerde sorun yaratır, taban 1 ise anlamlı…

3) x² + y² = 25 — Seçeneklerdeki üçüncü bağıntı bir çemberin denklemidir. Bu bağıntıda x sıfır alındığında y² = 25 olur ve beş ile eksi beş olmak üzere iki çözüm elde edilir. Aynı girdiye iki çıktı karşılık geldiği iç…

Komşu konular

Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:

• Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Karesel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Doğrusal ve Karesel Fonksiyonlarla Çözülen Problemler — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Üçgenlerin Temel Özellikleri — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Kaynak ve doğruluk notu

Bu konuda ölçü, birim ve kural iddiaları hesapla doğrulanmıştır. Gerçek Sayılarda Fonksiyon Olma Şartları için kullanılan her kural, konunun kendi örneklerinde gösterilerek verilmiştir; anlatım kendi ifadelerimizle yeniden düzenlenmiştir.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• f(x) = √(6 − x) / (x + 2) kuralının tanım kümesini bulunuz ve bu kuralın gerçek sayılarda fonksiyon olup olmadığını gerekçesiyle açıklayınız. (12 puan)
• Aşağıdaki dört bağıntının hangilerinin gerçek sayılarda fonksiyon tanımladığını belirleyiniz ve her biri için birer gerekçe yazınız: y = x + 4, y² = x + 9, y = 1/(5 − x), y = ln(3x). (14 puan)
• a ve b reel sayılar olmak üzere f(x) = √(x − a) ile g(x) = √(b − x) fonksiyonlarının ortak tanım kümesi [2, 7] aralığı olduğuna göre a + b kaçtır? Çözümünüzü adım adım yazınız. (10 puan)