10. SınıfMatematik
Gerçek Sayılarda Fonksiyon Olma Şartları — Çalışma Sayfası
Kazanımlar, önemli noktalar ve sık yapılan hatalar tek sayfada.
Bu konuda öğrenecekleriniz
- Bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını düşey doğru testiyle belirleyebilme
- Formülle verilen bir kuralın tanım kümesini koşul denetleyerek bulabilme
- Karekök, logaritma ve bölme yapılarının doğurduğu kısıtları karşılaştırabilme
- Diskriminant yardımıyla sonuç kümesinin boş olup olmadığını denetleyebilme
- Gerçek sayılarda tanımsız kalan değerleri tespit edip kümeden çıkarabilme
Önemli noktalar
- Bir bağıntının fonksiyon olup olmadığı düşey doğru testiyle belirlenir; grafik bir düşey doğruyla en çok bir kez kesişiyorsa bağıntı fonksiyondur.
- Tanım kümesi yazılmayan kuralda en geniş reel küme esas alınır; kısıt yalnızca ifadenin içinde saklıysa uygulanır.
- Karekök içi ile logaritma içi arasındaki fark, karekökte sıfırın kabul edilmesi, logaritmada ise reddedilmesidir.
- Paydası sıfır olan bir yazımda o değer dışlanır; dışlama sonrasında kümenin boşalıp boşalmadığı ayrıca denetlenmelidir.
- Sonuç kümesi de boş olan bir kural gerçek sayılarda fonksiyon tanımlamaz; karesel denklemde diskriminantın negatif olması bu duruma yol açar.
- Mutlak değer, karesel terim ve doğrusal terimler bütün reel sayılarda tanımlı olduğundan tanım kümesini daraltmaz.
Formüller ve kurallar
- f: A → B ve her x ∈ A için tam olarak tek bir y ∈ B vardır
- y = f(x), x ∈ D ⊆ R, f(x) ∈ R
- √g(x) ∈ R ⇔ g(x) ≥ 0
- log g(x) ∈ R ⇔ g(x) > 0 ve taban > 0, taban ≠ 1
- 1 / g(x) ∈ R ⇔ g(x) ≠ 0
- ax² + bx + c = 0 çözümlü ⇔ Δ = b² − 4ac ≥ 0
Sık yapılan hatalar
- Karekök ile logaritmanın koşulunu aynı saymak: Karekökte içteki ifade sıfıra eşit olabilir, logaritmada ise iç sıfır olduğunda ifade tanımsız olur. Bu tek fark karıştırıldığında aralık uçları yanlış hesaplanır.
- Paydadaki sıfır değerini atlamak: Rasyonel ifadede paydayı sıfır yapan değer, kuralın en sık unutulan kısıtıdır. Bu değer dışlanmazsa tanım kümesi eksik bulunur ve sonraki bütün adımlar kayar.
- Boş kümeyi fark etmemek: Diskriminant negatif olduğunda sonuç kümesi boş kalır ve kural gerçek sayılarda fonksiyon tanımlamaz. Kök sayısına bakılmadan geçmek bu hatayı sessizce gizler.
- Her karesel yazımı koşulsuz kabul etmek: ax² + bx + c biçimi tanım kümesini daraltmaz, ancak ilişkinin fonksiyon olup olmadığı yalnızca düşey doğru testiyle belirlenir. Bağıntı ile fonksiyon birbirine karıştırılmamalıdır.
- Üslü yazımda taban koşulunu göz ardı etmek: Taban pozitif ve 1'den farklı olmadığında üstel fonksiyonun gerçek sayılardaki tanım kümesi çok daralır ya da hiç oluşmaz.
Hızlı tekrar ipuçları
- Önce ifadede hangi yapıların bulunduğunu sıralayın: karekök, logaritma, bölme ya da üs. Sonra her yapı için kendi koşulunu yazıp hepsini birleştirin.
- Koşulları tek tek çözün ve her birini birer küme olarak yazın; son adımda kesişim alarak tanım kümesini belirleyin.
- Sınırlarda eşitliğin olup olmadığına ayrıca dikkat edin; karekök ve bölme birbirine göre farklı davranır.
- Sonuç kümesinin boş olup olmadığını karesel denklemlerde diskriminantla denetleyin; bu adım gözden kaçırılırsa sonuç yanlış çıkar.
- Şüphede kaldığınız bir bağıntı için düşey doğru testini uygulayın; bu test fonksiyon olma durumunu kesin biçimde ortaya koyar.
Kendini dene
Bu sayfayı okuduktan sonra Gerçek Sayılarda Fonksiyon Olma Şartları konusunun çözümlü sorularını çöz.