Cebir, geometri, olasilik ve istatistik
Veri türleri, sıklık tablosu, sütun-daire grafiği ve histogram
İstatistiğin ilk adımı, bir problemle ilgili verinin doğru biçimde toplanmasıdır. Toplanan ham veriler tek başına anlamlı değildir; bunları düzenlemek, özetlemek ve grafikle göstermek gerekir. Bu sürece veri analizi denir.
Bir araştırmada üzerinde ölçüm yapılan özelliğe değişken denir. Değişkenler iki ana gruba ayrılır:
Nicel veri de ikiye ayrılır: süreksiz (kesikli) veri sayılabilir (kardeş sayısı gibi), sürekli veri ise ölçülebilir ve iki değer arasında sonsuz ara değer alabilir (boy uzunluğu gibi).
Her veri değerinin kaç kez tekrarlandığını gösteren tabloya sıklık (frekans) tablosu denir. Sıklık değerlerinin toplamı, toplam veri sayısına eşittir. Göreli sıklık ise bir değerin sıklığının toplam veri sayısına oranıdır.
Grafikler, sayısal tablolarda gizli kalan eğilimleri görünür kılar. Ancak yanıltıcı grafiklerden kaçınmak için eksen ölçeklerinin sıfırdan başlamasına ve oranların doğru verilmesine dikkat edilmelidir.
Bir sınıfta 40 öğrencinin en sevdiği ders şöyle bulunmuştur: Matematik 12, Türkçe 10, Fen 8, Sosyal 6, Beden 4. Daire grafiğinde Matematik diliminin merkez açısını bulunuz.
Toplam veri sayısı: 40 Göreli sıklık (Matematik) = 12 ÷ 40 = 0,30 Merkez açı = 0,30 × 360° = 108° Cevap: Matematik diliminin merkez açısı 108°'dir.Bir mağazada 200 ürünün 50'si ayakkabıdır. Ayakkabıların tüm ürünlere oranı yüzde kaçtır?
Göreli sıklık = 50 ÷ 200 = 0,25 Yüzde = 0,25 × 100 = %25 Cevap: Ürünlerin %25'i ayakkabıdır.Veri, nitel veya nicel olabilir; nicel veri sürekli ya da süreksizdir. Sıklık tablosu, değerlerin kaç kez tekrarlandığını gösterir. Grafikler veriyi görselleştirir: sütun grafiği karşılaştırma, daire grafiği oran, çizgi grafiği değişim, histogram sürekli veri dağılımı için uygundur.
Aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer, açıklık ve standart sapma
Bir veri setini tek bir sayıyla özetlemek için merkezi eğilim ölçüleri, verilerin birbirine ne kadar yakın ya da uzak olduğunu görmek için ise yayılım ölçüleri kullanılır. İkisi birlikte değerlendirilmediği sürece veri hakkında eksik bilgi edinilir.
Tüm verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur. Aykırı (uç) değerlerden en çok etkilenen ölçüdür.
Ortalama = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) ÷ n
Veriler küçükten büyüğe sıralandığında ortada kalan değerdir. Aykırı değerlerden etkilenmez. Veri sayısı n tek ise ortanca (n+1)/2 sıradaki, n çift ise ortadaki iki değerin ortalamasıdır.
En çok tekrar eden değerdir. Bir veri setinde birden fazla mod bulunabilir ya da hiç bulunmayabilir. Özellikle nitel verilerde (beden numarası, renk) en anlamlı merkezi eğilim ölçüsüdür.
8, 12, 12, 15, 20, 25, 38 veri setinin ortalama, ortanca ve tepe değerini bulunuz.
Ortalama = (8+12+12+15+20+25+38) ÷ 7 = 130 ÷ 7 ≈ 18,6 n = 7 tek olduğundan ortanca 4. terimdir: 15 En çok tekrar eden değer: 12 Cevap: Ortalama ≈ 18,6; ortanca 15; tepe değer 12.5, 6, 7, 8, 9 verisine 100 değeri eklenirse ortalama nasıl değişir?
İlk ortalama: (5+6+7+8+9) ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7 Yeni ortalama: (35+100) ÷ 6 = 135 ÷ 6 = 22,5 Ortanca ise 7,5 olarak neredeyse değişmez. Sonuç: Aykırı değer ortalamayı bozar; bu durumda ortanca daha güvenilirdir.Merkezi eğilim ölçüleri veriyi temsil eder; ortalaması aykırı değerden etkilenir, ortanca ve tepe değer daha dayanıklıdır. Yayılım ölçüleri verinin dağınıklığını gösterir.
Toplama ve çarpma yoluyla sayma, ağaç diyagramı ve faktöriyel
Olasılık ve permütasyon-kombinasyon problemlerinin temeli sayma ilkelerine dayanır. Bir seçim işleminin kaç farklı şekilde yapılabileceğini bulmak için iki temel ilke kullanılır.
Birbirini engelleyen (aynı anda gerçekleşemeyen) durumların sayısı bulunurken seçenekler toplanır. "Veya" bağlacı toplama ilkesini işaret eder.
Örnek: Bir rafta 4 roman ve 3 öykü kitabı varsa roman veya öykü seçimi 4 + 3 = 7 farklı şekilde yapılır.
Bir işlem birbirini izleyen ve bağımsız adımlardan oluşuyorsa, her adımın seçenek sayısı çarpılır. "Ve" bağlacı çarpma ilkesini işaret eder.
Örnek: 3 gömlek ve 4 pantolon varsa bir gömlek ve bir pantolon 3 × 4 = 12 farklı şekilde seçilir.
Tüm olası durumları dallar hâlinde göstermeye ağaç diyagramı denir. 1'den n'e kadar doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir. Tanım gereği 0! = 1 kabul edilir.
Bir kafede 4 çeşit çorba, 5 ana yemek ve 3 tatlı vardır. Bir menü (çorba + ana yemek + tatlı) kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Adımlar ardışık ve bağımsız olduğundan çarpma ilkesi uygulanır. 4 × 5 × 3 = 60 Cevap: 60 farklı menü oluşturulabilir.Bir sporcuya 6 koşu, 4 yüzme, 3 bisiklet branşında madalya alabileceği seçenek sunulmuştur. Sporcu yalnızca bir branşta yarışacağına göre kaç seçeneği vardır?
Durumlar birbirini engellediği için toplama ilkesi uygulanır. 6 + 4 + 3 = 13 Cevap: 13 seçenek vardır.5 farklı kitap bir rafa kaç farklı sırada yerleştirilebilir?
1. sıraya 5, 2. sıraya 4, 3. sıraya 3, 4. sıraya 2, 5. sıraya 1 seçenek kalır. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Cevap: 120 farklı sıralama yapılabilir.Sayma problemlerinde iki temel ilke vardır: birbirini engelleyen durumlarda toplama, ardışık ve bağımsız adımlarda çarpma ilkesi kullanılır. Faktöriyel ise sıralama problemlerinin temelidir.
Sıralamanın önemli olduğu sayma problemleri ve faktöriyel
Bir kümedeki elemanların sıralanması ya da belirli sayıda elemanının belirli bir sıraya göre dizilmesi işlemine permütasyon denir. Permütasyonda sıralama önemlidir; aynı elemanlar farklı sırada ise farklı permütasyon sayılır.
n farklı elemandan r tanesinin sıralanma sayısı P(n, r) ile gösterilir. r = n olduğunda tüm elemanların sıralaması yapılır ve sonuç n! olur.
Elemanlar arasında birbirinin aynısı olanlar varsa, sıralamalardaki tekrarlar hesaba katılmaz. n elemanın içinde n₁, n₂, ... tanesi tekrar ediyorsa farklı sıralama sayısı, tüm sıralamaların tekrar edenlerin faktöriyellerine bölünmesiyle bulunur.
Elemanlar bir çember (masa, halka) etrafına diziliyorsa döndürmeler aynı dizilim sayılır. Bu nedenle n elemanın çember etrafında dizilim sayısı (n − 1)! olur.
Permütasyon problemlerinde "kaç farklı sırada", "kaç farklı diziliş", "sıralama" gibi ifadeler yer alır. Bu ifadeleri gördüğünde kombinasyon değil permütasyon kullanman gerektiğini hatırlamalısın.
7 farklı kitaptan 3'ü bir rafa kaç farklı sırada dizilebilir?
Sıralama önemli olduğu için permütasyon kullanılır. P(7, 3) = 7! ÷ (7−3)! = 7! ÷ 4! = 7 × 6 × 5 = 210 Cevap: 210 farklı sıralama yapılabilir."KELE" kelimesindeki harflerle kaç farklı kelime yazılabilir?
4 harf vardır, E harfi 2 kez tekrarlanıyor. 4! ÷ 2! = 24 ÷ 2 = 12 Cevap: 12 farklı kelime yazılabilir.5 kişi yuvarlak bir masaya kaç farklı şekilde oturabilir?
Döndürmeler aynı sayıldığından (n − 1)! kullanılır. (5 − 1)! = 4! = 24 Cevap: 24 farklı şekilde oturulur.Permütasyon, sıralamanın önemli olduğu sayma problemlerini çözer. P(n, r) = n! ÷ (n−r)! temel formüldür. Tekrar eden elemanlar varsa bölme yapılır, dairesel dizilimlerde (n−1)! kullanılır.
Sıralamanın önemsiz olduğu seçme problemleri
Bir kümeden belirli sayıda elemanın sıra gözetilmeden seçilmesine kombinasyon denir. Kombinasyonda yalnızca hangi elemanların seçildiği önemlidir; seçilenlerin kendi aralarındaki sırası sonucu değiştirmez.
n elemandan r tanesinin seçim sayısı C(n, r) ile gösterilir. Permütasyon ile kombinasyon arasındaki ilişki, seçilen r elemanın kendi içindeki sıralamasının (r!) bölünmesiyle kurulur.
n elemandan r tanesini seçmek, geriye kalan (n − r) tanesini seçmekle aynıdır. Bu nedenle C(n, r) = C(n, n − r) eşitliği geçerlidir. Örneğin 10 kişiden 8 kişi seçmek ile 2 kişi seçmek aynı sayıdadır.
Kombinasyon değerleri Pascal üçgeninde düzenlenebilir. Üçgenin her sayısı, üstündeki iki sayının toplamına eşittir: C(n, r) = C(n−1, r−1) + C(n−1, r).
10 kişilik bir sınıftan 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
Seçimde sıra önemsiz olduğundan kombinasyon kullanılır. C(10, 3) = 10! ÷ (3! · 7!) = (10 × 9 × 8) ÷ (3 × 2 × 1) = 720 ÷ 6 = 120 Cevap: 120 farklı komite seçilebilir.C(12, 10) değerini hesaplayınız.
C(12, 10) = C(12, 12−10) = C(12, 2) C(12, 2) = (12 × 11) ÷ (2 × 1) = 132 ÷ 2 = 66 Cevap: C(12, 10) = 66C(6, 2) ile P(6, 2) değerlerini karşılaştırınız.
P(6, 2) = 6 × 5 = 30 C(6, 2) = 30 ÷ 2! = 30 ÷ 2 = 15 İlişki: P(6, 2) = C(6, 2) × 2! eşitliği sağlanır.Kombinasyon, sıralamanın önemsiz olduğu seçme problemlerini çözer. C(n, r) = n! ÷ [r!·(n−r)!] temel formüldür ve C(n, r) = C(n, n−r) simetri özelliği geçerlidir.
(a+b)ⁿ açılımı, terim sayısı ve katsayılar
İki terimli ifadelerin (binomların) kuvvetlerinin açılımına binom açılımı denir. Kombinasyon sayıları, bu açılımın katsayılarını oluşturur. Bu bağlantı, cebir ile sayma arasındaki en güzel köprülerden biridir.
(a + b)ⁿ ifadesi açıldığında her terim, a'nın bir kuvveti ile b'nin bir kuvvetinin çarpımıdır. Katsayılar ise C(n, k) değerleridir. Açılımda terim sayısı n + 1'dir.
Örneğin (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ açılımındaki 1, 3, 3, 1 katsayıları Pascal üçgeninin dördüncü satırıdır. (a − b)ⁿ açılımında ise negatif terimlerin işaretleri dönüşümlü olarak değişir.
(x + 2)⁴ ifadesinin açılımını yazınız.
Katsayılar: C(4,0)=1, C(4,1)=4, C(4,2)=6, C(4,3)=4, C(4,4)=1 (x+2)⁴ = x⁴ + 4x³·2 + 6x²·2² + 4x·2³ + 2⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16 Cevap: x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16(x + 3)⁵ açılımında x³'lü terimin katsayısını bulunuz.
x'in kuvveti 3 ise 3'ün kuvveti 5−3 = 2'dir; k = 2. Katsayı = C(5, 2) · 3² = 10 · 9 = 90 Cevap: x³'lü terimin katsayısı 90'dır.(2x + 1)⁴ açılımının tüm katsayılarının toplamını bulunuz.
Katsayılar toplamı için x = 1 alınır. (2·1 + 1)⁴ = 3⁴ = 81 Cevap: Katsayılar toplamı 81'dir.Binom açılımı, kombinasyon sayılarını kullanarak (a+b)ⁿ ifadesini terim terim açar. Terim sayısı n+1, katsayılar C(n,k), katsayılar toplamı 2ⁿ'dir.
Olay, örnek uzay ve olasılık hesaplamaları
Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansının sayısal ölçüsüdür. Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında bir sayıdır; 0 imkânsızlığı, 1 kesinliği ifade eder. Bir olayın olasılığı, istenen durumların sayısının tüm olası durumların sayısına oranıdır (eş olasılıklı örnek uzayda).
Eş olasılıklı bir örnek uzayda bir A olayının olasılığı P(A), A'nın eleman sayısının örnek uzayın eleman sayısına bölünmesiyle bulunur. Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı her zaman 1'dir.
Hilesiz bir zar atıldığında 4'ten büyük bir sayı gelme olasılığı kaçtır?
Örnek uzay: E = {1,2,3,4,5,6}, s(E) = 6 İstenen olay: A = {5,6}, s(A) = 2 P(A) = 2 ÷ 6 = 1/3 Cevap: Olasılık 1/3'tür.Bir torbada 4 kırmızı ve 6 mavi top vardır. Rastgele çekilen topun kırmızı olmama olasılığını bulunuz.
P(kırmızı) = 4 ÷ 10 = 2/5 P(kırmızı değil) = 1 − 2/5 = 3/5 Cevap: Kırmızı olmama olasılığı 3/5'tir.52'lik desteden çekilen bir kartın as olma olasılığı kaçtır?
Destede 4 as vardır, toplam 52 kart vardır. P(as) = 4 ÷ 52 = 1/13 Cevap: Olasılık 1/13'tür.Olasılık, eş olasılıklı örnek uzayda istenen durumların tüm durumlara oranıdır. Değeri 0 ile 1 arasındadır. P(A) + P(A') = 1 bağıntısı çok kullanışlıdır.
Bir olayın gerçekleştiği bilinirken diğerinin olasılığı
Bazı durumlarda bir olayın olasılığı, başka bir olayın gerçekleşip gerçekleşmemesine bağlıdır. B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının olasılığına koşullu olasılık denir ve P(A | B) ile gösterilir.
B olayı gerçekleştiğinde örnek uzay B'ye daralır. Bu nedenle P(A | B), A ∩ B olayının B olayına göre olasılığı olarak hesaplanır. Eğer B olayının gerçekleşmesi A'nın olasılığını değiştirmiyorsa iki olay bağımsızdır.
Bir sınıfta 12 kız, 18 erkek vardır. Kızların 6'sı, erkeklerin 4'ü gözlüklüdür. Rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olduğu bilindiğine göre gözlüklü olma olasılığı kaçtır?
Öğrencinin erkek olması örnek uzayı 18'e daraltır. Erkek ve gözlüklü sayısı: 4 P(gözlüklü | erkek) = 4 ÷ 18 = 2/9 Cevap: Olasılık 2/9'dur.Hilesiz bir zar ve madeni para birlikte atılıyor. Zarın çift ve paranın tura gelme olasılığı kaçtır?
Olaylar bağımsızdır: P = P(çift) · P(tura) P(çift) = 3/6 = 1/2 ; P(tura) = 1/2 P = (1/2) · (1/2) = 1/4 Cevap: Olasılık 1/4'tür.3 kırmızı, 5 mavi topun bulunduğu torbadan geri konulmadan iki top çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?
İlk çekilişte P(kırmızı) = 3/8 Geri konulmadığı için ikinci çekilişte P(kırmızı) = 2/7 P = (3/8) · (2/7) = 6/56 = 3/28 Cevap: Olasılık 3/28'dir.Koşullu olasılık, bir olayın gerçekleştiği bilinirken diğerinin olasılığıdır ve P(A|B) = P(A∩B)/P(B) ile hesaplanır. Bağımsız olaylarda çarpma kuralı geçerlidir.
Olayların birleşimi, kesişimi ve ayrık olaylar
İki veya daha fazla olayın birlikte ele alındığı olaylara bileşik olay denir. "A veya B" anlamına gelen birleşim (A ∪ B), "A ve B" anlamına gelen kesişim (A ∩ B) ile ifade edilir. Bileşik olayların olasılığı Venn şemasıyla görselleştirilebilir.
Ortak elemanı bulunmayan, yani aynı anda gerçekleşemeyen olaylara ayrık olaylar denir. Ayrık olaylarda birleşim olasılığı, olasılıkların toplamına eşittir.
Olaylar ayrık değilse, birleşim olasılığını bulurken kesişimin iki kez sayılmasını önlemek için kesişim olasılığı çıkarılır.
Bir zar atıldığında 2 veya 5 gelme olasılığı kaçtır?
A = {2} ve B = {5} olayları ayrıktır. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3 Cevap: Olasılık 1/3'tür.Bir zar atıldığında çift veya 3'ten büyük gelme olasılığı kaçtır?
A = {2,4,6} (çift), B = {4,5,6} (3'ten büyük) A ∩ B = {4,6}, P(A) = 3/6, P(B) = 3/6, P(A∩B) = 2/6 P(A ∪ B) = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6 = 2/3 Cevap: Olasılık 2/3'tür.P(A ∪ B) = 0,7 ise P(A' ∩ B') değerini bulunuz.
A' ∩ B' = (A ∪ B)' olduğundan tümleyendir. P(A' ∩ B') = 1 − 0,7 = 0,3 Cevap: 0,3Bileşik olaylar birleşim ve kesişimle ifade edilir. Ayrık olaylarda birleşim olasılığı toplam, genel durumda ise P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) formülü kullanılır.
Tanım, tanım kümesi, görüntü kümesi ve gösterim türleri
Bir A kümesinin her elemanını, bir B kümesinin yalnızca bir elemanına eşleyen kurala fonksiyon denir. Fonksiyonun en kritik özelliği, tanım kümesindeki hiçbir elemanın boşta kalmaması ve hiçbir elemanın birden fazla elemana eşlenmemesidir.
Bir fonksiyon; liste (sıralı ikililer), grafik, cebirsel ifade (f(x) = ...) veya Venn şeması ile gösterilebilir. Bu gösterimler aynı fonksiyonun farklı yüzleridir.
f = {(1,2), (2,3), (3,4), (2,5)} bağıntısı fonksiyon mudur?
1, 2 ve 3 girdileri incelenir. x = 2 değeri hem 3'e hem 5'e eşlenmiştir. Sonuç: Bir x iki farklı y'ye gittiğinden bu bağıntı fonksiyon değildir.f(x) = 2x² − 3x + 1 ise f(2) değerini bulunuz.
f(2) = 2·2² − 3·2 + 1 = 8 − 6 + 1 = 3 Cevap: f(2) = 3Fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki tek bir elemana eşler. Tanım, değer ve görüntü kümeleri temel kavramlardır; fonksiyon dört farklı biçimde gösterilebilir.
Lineer, karesel, üstel, köklü, rasyonel ve mutlak değer fonksiyonları
Fonksiyonlar cebirsel biçimlerine ve grafiklerinin şekline göre sınıflandırılır. Her türün tanım kümesi ve grafik davranışı farklıdır.
| Tür | Biçim | Grafik / Özellik |
|---|---|---|
| Lineer | f(x) = ax + b | Doğru; a > 0 artan, a < 0 azalan |
| Karesel | f(x) = ax² + bx + c | Parabol; tepe noktası x = −b/2a |
| Üstel | f(x) = aˣ | f(0) = 1, her zaman pozitif |
| Köklü | f(x) = √x | Tanım: x ≥ 0 |
| Rasyonel | f(x) = P(x)/Q(x) | Paydanın sıfır olduğu x'ler tanımda yok |
| Mutlak değer | f(x) = |x| | V şeklinde grafik |
f(x) = 3x − 5 için f(4) ve f(−2) değerlerini bulunuz.
f(4) = 3·4 − 5 = 12 − 5 = 7 f(−2) = 3·(−2) − 5 = −6 − 5 = −11 Cevap: f(4) = 7, f(−2) = −11f(x) = 1/(x − 3) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
Payda sıfır olamaz: x − 3 ≠ 0 x ≠ 3 Cevap: Tanım kümesi ℝ − {3}'tür.Fonksiyonlar cebirsel biçim ve grafik özelliklerine göre lineer, karesel, üstel, köklü, rasyonel ve mutlak değer olarak sınıflandırılır. Tanım kümesi kısıtları kök ve payda ifadelerinden doğar.
Değer tablosu, eksen kesişimleri ve grafik çizimi
Bir fonksiyonun grafiği, tanım kümesindeki x değerlerine karşılık gelen (x, f(x)) noktalarının düzlemde işaretlenmesiyle elde edilir. Grafik çizmenin en güvenli yolu değer tablosu kullanmaktır.
f(x) = x² − 4x + 3 fonksiyonunun x-kesişimlerini bulunuz.
f(x) = 0 → x² − 4x + 3 = 0 (x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 ve x = 3 Cevap: x-kesişimleri (1,0) ve (3,0)'dır.f(x) = 2x + 6 fonksiyonunun y-kesişimini bulunuz.
x = 0 için f(0) = 2·0 + 6 = 6 Cevap: y-kesişimi (0, 6)'dır.Grafik, fonksiyonun görsel temsilidir. Değer tablosu, eksen kesişimleri ve simetri kullanılarak isabetli çizilir.
Fonksiyon türleri ve ters fonksiyonun bulunması
Her fonksiyonun tersi yoktur. Ters fonksiyonun var olabilmesi için fonksiyonun birebir ve örten olması gerekir.
Bir fonksiyonun tersi, x ile y'nin yer değiştirilmesiyle bulunur. f(x) = y yazılır, x yalnız bırakılır ve elde edilen ifade f⁻¹(x) olarak yazılır. Ters fonksiyonun grafiği, asıl grafiğin y = x doğrusuna göre simetriğidir.
f(x) = 2x + 3 fonksiyonunun tersini bulunuz.
y = 2x + 3 yazılır. x yalnız bırakılır: x = (y − 3) / 2 Cevap: f⁻¹(x) = (x − 3) / 2f(x) = 3x − 1 ise f⁻¹(8) değerini bulunuz.
f⁻¹(8), f(x) = 8 yapan x'tir. 3x − 1 = 8 → 3x = 9 → x = 3 Cevap: f⁻¹(8) = 3Ters fonksiyon yalnızca birebir örten fonksiyonlar için tanımlanır. x ile y yer değiştirilerek bulunur; grafiği y = x'e göre simetriktir.
İki fonksiyonun birleştirilmesi ve bileşke özellikleri
Bir fonksiyonun çıktısını başka bir fonksiyonun girdisi yapmaya bileşke işlemi denir. f ve g fonksiyonlarının bileşkesi (f ∘ g)(x) = f(g(x)) ile gösterilir; burada önce g, sonra f uygulanır.
f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x² ise (f ∘ g)(3) değerini bulunuz.
Önce g(3) = 3² = 9 bulunur. Sonra f(9) = 2·9 + 1 = 19 Cevap: (f ∘ g)(3) = 19Aynı f ve g için (g ∘ f)(3) değerini bulunuz.
f(3) = 2·3 + 1 = 7 g(7) = 7² = 49 Sonuç: 19 ≠ 49 olduğundan f ∘ g ≠ g ∘ f.Bileşke, bir fonksiyonun çıktısını diğerine girdi yapar. (f ∘ g)(x) = f(g(x)) olup değişme özelliği yoktur, birleşme özelliği vardır.
Derece, katsayı, baş katsayı ve sabit terim
Bir değişkenin negatif olmayan tam sayı kuvvetlerinin gerçek katsayılı toplamına polinom denir. Biçimsel olarak P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ ifadesidir. Burada en büyük kuvvet polinomun derecesidir.
Bir ifadenin polinom olması için değişkenin üssünün doğal sayı olması, katsayıların gerçek sayı olması ve değişkenin paydada ya da kök içinde bulunmaması gerekir. Örneğin 1/x ve √x ifadeleri polinom değildir.
P(x) = 3x⁴ − 2x³ + 5x − 7 polinomunun derecesini, baş katsayısını ve sabit terimini bulunuz.
En büyük üs: 4 → der P = 4 Baş katsayı: 3 Sabit terim: −7 Cevap: derece 4, baş katsayı 3, sabit terim −7P(x) = 2x³ + 1/x + 4 ifadesi polinom mudur?
1/x = x⁻¹ negatif üslüdür. Sonuç: Negatif üs içerdiğinden polinom değildir.Polinom, doğal sayı üslü terimlerin gerçek katsayılı toplamıdır. Derece, baş katsayı ve sabit terim en çok kullanılan kavramlardır.
Toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri
Polinomlarda toplama ve çıkarma işlemleri, benzer terimlerin katsayılarının toplanmasıyla yapılır. Çarpma işleminde ise her terim diğer polinomun her terimiyle çarpılır ve benzer terimler birleştirilir.
P(x) = 2x² + 3x − 1, Q(x) = x² − 5x + 4 ise P(x) + Q(x) ve P(x) − Q(x) işlemlerini yapınız.
Toplama: (2x²+x²) + (3x−5x) + (−1+4) = 3x² − 2x + 3 Çıkarma: (2x²−x²) + (3x+5x) + (−1−4) = x² + 8x − 5 Cevap: P+Q = 3x² − 2x + 3 ; P−Q = x² + 8x − 5(x + 2)(x² − 3x + 1) çarpımını bulunuz.
x·(x²−3x+1) = x³ − 3x² + x 2·(x²−3x+1) = 2x² − 6x + 2 Toplam: x³ − x² − 5x + 2 Cevap: x³ − x² − 5x + 2Polinomlarda toplama-çıkarma benzer terimler üzerinden, çarpma ise dağılma özelliğiyle yapılır. Çarpımın derecesi derecelerin toplamıdır.
Bölme algoritması ve kalan bulma yöntemleri
Bir polinomun başka bir polinoma bölünmesinde bölüm ve kalan bulunur. Bölenin derecesi 1 olan (x − a) biçimindeki bölmelerde kalan, kalan teoremi sayesinde kolayca hesaplanır.
P(x) polinomunun (x − a) ile bölümünden kalan, P(a) değerine eşittir. Eğer P(a) = 0 ise (x − a) polinomun bir çarpanıdır. Bu ifade çarpan teoremi olarak bilinir.
P(x) = x³ − 4x + 5 polinomunun (x − 2) ile bölümünden kalanı bulunuz.
Kalan = P(2) P(2) = 2³ − 4·2 + 5 = 8 − 8 + 5 = 5 Cevap: Kalan 5'tir.P(x) = x² + kx − 6 polinomu (x − 2) ile tam bölünüyorsa k kaçtır?
Tam bölünüyorsa P(2) = 0 olmalıdır. 4 + 2k − 6 = 0 → 2k = 2 → k = 1 Cevap: k = 1Polinom bölmesinde P(x) = B(x)·Q(x) + K(x) ilişkisi geçerlidir. (x − a) ile bölümden kalan P(a)'dır; P(a) = 0 ise (x − a) bir çarpandır.
Ortak çarpan, özdeşlikler ve gruplandırma yöntemleri
Bir polinomu, kendisinden daha basit polinomların çarpımı biçiminde yazmaya çarpanlara ayırma denir. Çarpanlara ayırma, denklem çözme ve sadeleştirme işlemlerinin temel aracıdır.
x² − 25 ifadesini çarpanlara ayırınız.
25 = 5² olduğundan iki kare farkıdır. x² − 5² = (x − 5)(x + 5) Cevap: (x − 5)(x + 5)x² + 6x + 9 ifadesini çarpanlara ayırınız.
6x = 2·x·3 ve 9 = 3² olduğundan tam karedir. Cevap: (x + 3)²x³ + x² + x + 1 ifadesini çarpanlara ayırınız.
(x³ + x²) + (x + 1) = x²(x + 1) + 1(x + 1) = (x + 1)(x² + 1) Cevap: (x + 1)(x² + 1)Çarpanlara ayırmada önce ortak çarpan, sonra özdeşlikler, en sonunda gruplandırma yöntemi denenir. İki kare farkı ve tam kare en sık kullanılan özdeşliklerdir.
Diskriminant ve kök bulma yöntemleri
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) biçimindeki denklemlere ikinci dereceden denklem denir. Bu denklemlerin kök sayısı ve niteliği diskriminant (Δ) ile belirlenir.
Denklem çözülürken önce çarpanlara ayırma denenir; uygun değilse kök formülü kullanılır.
x² − 5x + 6 = 0 denklemini çözünüz.
(x − 2)(x − 3) = 0 x = 2 veya x = 3 Cevap: Kökler {2, 3}x² − 4x + 1 = 0 denkleminin köklerini bulunuz.
Δ = (−4)² − 4·1·1 = 16 − 4 = 12 > 0 x = (4 ± √12) ÷ 2 = (4 ± 2√3) ÷ 2 = 2 ± √3 Cevap: x = 2 + √3 ve x = 2 − √3x² + 2x + 5 = 0 denkleminin kaç gerçek kökü vardır?
Δ = 2² − 4·1·5 = 4 − 20 = −16 < 0 Cevap: Δ < 0 olduğundan gerçek kökü yoktur.İkinci dereceden denklemlerde kök sayısı ve niteliği Δ = b² − 4ac ile belirlenir. Kökler çarpanlara ayırma veya kök formülüyle bulunur.
Köklerin toplamı, çarpımı ve denklem kurma
İkinci dereceden bir denklemin kökleri x₁ ve x₂ olsun. Kökleri bulmadan yalnızca katsayılar yardımıyla köklerin toplamı ve çarpımı hesaplanabilir. Bu ilişkilere Vieta bağıntıları denir.
Kökleri x₁ ve x₂ olan denklem x² − (x₁ + x₂)x + x₁·x₂ = 0 biçiminde yazılabilir. Bu yöntem, kökleri bilinen denklemi hızlıca oluşturmayı sağlar.
x² − 7x + 10 = 0 denkleminin kökler toplamı ve çarpımını bulunuz.
Toplam = −b/a = 7/1 = 7 Çarpım = c/a = 10/1 = 10 Cevap: Toplam 7, çarpım 10Kökler toplamı 5, çarpımı 6 olan denklemin köklerinin kareleri toplamını bulunuz.
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 5² − 2·6 = 25 − 12 = 13 Cevap: 13Kökleri 3 ve −4 olan ikinci dereceden denklemi yazınız.
Toplam = 3 + (−4) = −1 ; çarpım = 3·(−4) = −12 x² − (−1)x + (−12) = 0 Cevap: x² + x − 12 = 0Vieta bağıntıları, kökleri bulmadan toplam ve çarpımı katsayılardan elde etmeyi sağlar: x₁+x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a. Tersi yönde köklerden denklem kurulabilir.
Tepe noktası, simetri ekseni ve grafik yorumu
f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) biçimindeki fonksiyona ikinci dereceden fonksiyon, grafiğine ise parabol denir. Parabolün en yüksek ya da en düşük noktasına tepe noktası denir ve bu noktadan geçen düşey doğru simetri eksenidir.
f(x) = x² − 6x + 5 parabolünün tepe noktasını bulunuz.
x = −b/(2a) = 6/2 = 3 f(3) = 9 − 18 + 5 = −4 Cevap: Tepe noktası (3, −4)'tür.f(x) = −2x² + 8x − 3 fonksiyonunun maksimum değerini bulunuz.
a = −2 < 0 olduğundan tepe noktası maksimumdur. x = −8 / (2·(−2)) = 2 f(2) = −8 + 16 − 3 = 5 Cevap: Maksimum değer 5'tir.İkinci dereceden fonksiyonun grafiği paraboldür. Tepe noktası x = −b/(2a)'da oluşur; a > 0 ise minimum, a < 0 ise maksimumdur.
İki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözümü
İki bilinmeyen içeren iki denklemden oluşan sistemlerin çözümü, iki doğrunun kesişim noktasını bulmakla eşdeğerdir. En sık kullanılan yöntemler yerine koyma ve yok etme yöntemleridir.
x + y = 5 ve x − y = 1 sistemini çözünüz.
Denklemleri taraf tarafa topla: 2x = 6 → x = 3 x + y = 5 → 3 + y = 5 → y = 2 Cevap: (x, y) = (3, 2)y = 2x + 1 ve x + y = 7 sistemini çözünüz.
y yerine yaz: x + (2x + 1) = 7 3x = 6 → x = 2 ; y = 2·2 + 1 = 5 Cevap: (x, y) = (2, 5)İki bilinmeyenli denklem sistemleri yerine koyma veya yok etme yöntemiyle çözülür. Çözüm, doğruların kesişim noktasıdır; çözüm sayısı doğruların durumuna bağlıdır.
Birinci ve ikinci dereceden eşitsizlikler, mutlak değer
İçinde <, >, ≤ veya ≥ sembollerinden birini bulunduran ifadelere eşitsizlik denir. Eşitsizliklerin çözümü bir aralık veya aralıklar birleşimidir.
−2x + 6 > 0 eşitsizliğini çözünüz.
−2x > −6 Negatif sayıya bölünürken yön değişir: x < 3 Cevap: Çözüm kümesi (−∞, 3)x² − 5x + 6 > 0 eşitsizliğini çözünüz.
Kökler: (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2, x = 3 İşaret tablosu: 2'nin solunda +, arasında −, 3'ün sağında + Cevap: x < 2 veya x > 3|x − 2| < 4 eşitsizliğini çözünüz.
−4 < x − 2 < 4 Her tarafa 2 ekle: −2 < x < 6 Cevap: Çözüm kümesi (−2, 6)Eşitsizliklerin çözümü aralıklarla ifade edilir. Birinci dereceden eşitsizliklerde yön kuralına, ikinci derecedekilerde işaret tablosuna, mutlak değerlilerde iki duruma dikkat edilir.
İç açılar, dış açılar, üçgen eşitsizliği ve sınıflandırma
Üçgen, doğrusal olmayan üç noktanın ikişer ikişer birleştirilmesiyle oluşan kapalı geometrik şekildir. Geometrinin en temel yapı taşıdır; birçok teorem üçgenler üzerine kuruludur.
Bir üçgende A = 50°, B = 70° ise C açısı kaç derecedir?
A + B + C = 180° 50 + 70 + C = 180 → C = 60° Cevap: C = 60°5 cm, 7 cm, 13 cm kenarlı bir üçgen çizilebilir mi?
En büyük kenar 13 cm'dir; 5 + 7 = 12 < 13 Cevap: 12 < 13 olduğundan üçgen çizilemez.A = 40°, B = 60° olan üçgende C köşesinin dış açısını bulunuz.
Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamıdır. Dış açı = 40 + 60 = 100° Cevap: 100°Üçgende iç açılar toplamı 180°, dış açılar toplamı 360°'dir. Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamıdır. Kenarlar üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır.
Eşlik ve benzerlik teoremleri, oran bağıntıları
Biçim ve büyüklüğü aynı olan üçgenlere eş, yalnızca biçimi aynı olan üçgenlere benzer üçgenler denir. Eş üçgenlerin karşılıklı tüm elemanları, benzer üçgenlerin ise karşılıklı açıları eşit, karşılıklı kenarları orantılıdır.
Benzer iki üçgende benzerlik oranı k ise; çevreler oranı k, alanlar oranı k², karşılıklı yükseklikler oranı da k'dır.
△ABC ∼ △DEF ve AB = 6 cm, DE = 9 cm ise benzerlik oranını bulunuz.
k = AB / DE = 6 / 9 = 2/3 Cevap: Benzerlik oranı 2/3'tür.Benzerlik oranı 2/3 olan iki üçgenin alanları oranı kaçtır?
Alan oranı = k² = (2/3)² = 4/9 Cevap: Alanlar oranı 4/9'dur.△ABC ∼ △DEF, AB = 4 cm, DE = 6 cm, BC = 8 cm ise EF kaç cm'dir?
AB/DE = BC/EF → 4/6 = 8/EF 4·EF = 48 → EF = 12 cm Cevap: EF = 12 cmEş üçgenlerde tüm karşılıklı elemanlar eşit, benzer üçgenlerde açılar eşit ve kenarlar orantılıdır. Benzerlikte çevre k, alan k² oranındadır.
Paralelkenar, dikdörtgen, kare, eşkenar dörtgen ve yamuk
Dört kenarı ve dört köşesi olan kapalı şekillere dörtgen denir. Dörtgenler kenar ve açı özelliklerine göre sınıflandırılır; iç açılarının toplamı her zaman 360°'dir.
| Dörtgen | Özellik | Alan |
|---|---|---|
| Paralelkenar | Karşılıklı kenarlar paralel ve eşit | a·h |
| Dikdörtgen | Tüm açılar 90°, köşegenler eşit | a·b |
| Kare | Tüm kenarlar eşit, açılar 90° | a² |
| Eşkenar dörtgen | Tüm kenarlar eşit, köşegenler dik | (d₁·d₂)/2 |
| Yamuk | Bir çift kenar paralel | (a+c)·h/2 |
Kare, aynı zamanda dikdörtgen ve eşkenar dörtgendir. Tüm dikdörtgenler paralelkenardır ancak tersi doğru değildir. Köşegenler paralelkenarda birbirini ortalar; kare ve eşkenar dörtgende dik kesişir; yalnızca kare ve dikdörtgende uzunlukları eşittir.
Uzunluğu 12 cm, genişliği 5 cm olan dikdörtgenin çevresi ve alanını bulunuz.
Çevre = 2(12 + 5) = 34 cm Alan = 12 · 5 = 60 cm² Cevap: Çevre 34 cm, alan 60 cm²Alt tabanı 12 cm, üst tabanı 8 cm ve yüksekliği 5 cm olan yamuğun alanını bulunuz.
A = (12 + 8) · 5 ÷ 2 = 20 · 5 ÷ 2 = 50 cm² Cevap: Alan 50 cm²'dir.Köşegenleri 6 cm ve 8 cm olan eşkenar dörtgenin alanını bulunuz.
A = (6 · 8) ÷ 2 = 24 cm² Cevap: Alan 24 cm²'dir.Dörtgenlerin iç açıları toplamı 360°'dir. Paralelkenar, dikdörtgen, kare, eşkenar dörtgen ve yamuk temel türlerdir; her birinin kendine özgü kenar, açı, köşegen ve alan bağıntıları vardır.
Alan formülleri ve yükseklik hesaplamaları
Dörtgenlerin alanı, şeklin türüne göre farklı formüllerle hesaplanır. Temel fikir, şekli dikdörtgenlere veya üçgenlere ayırarak alanı bulmaktır.
İkizkenar yamukta yükseklik, taban farkının yarısı ile yan kenar arasındaki dik üçgenden Pisagor ile bulunur.
Alanı 96 cm² ve tabanı 12 cm olan paralelkenarın yüksekliğini bulunuz.
h = A ÷ a = 96 ÷ 12 = 8 cm Cevap: Yükseklik 8 cm'dir.Alt tabanı 10 cm, üst tabanı 6 cm ve yan kenarı 5 cm olan ikizkenar yamuğun alanını bulunuz.
Taban farkının yarısı: (10 − 6) ÷ 2 = 2 cm Yükseklik: h = √(5² − 2²) = √21 ≈ 4,58 cm A = (10 + 6) · 4,58 ÷ 2 ≈ 36,6 cm² Cevap: Alan yaklaşık 36,6 cm²'dir.Dörtgenlerin alanı türe özgü formüllerle hesaplanır. Ortak strateji, şekli tanıdık parçalara ayırmaktır.
İç ve dış açılar, düzgün çokgenler ve köşegen sayısı
En az üç kenarı olan kapalı düzlemsel şekillere çokgen denir. Kenar sayısı n ile gösterilirse, iç açılar toplamı ve köşegen sayısı yalnızca n'e bağlıdır.
n kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamı (n − 2)·180°'dir. Dış açıları toplamı ise kenar sayısından bağımsız olarak her zaman 360°'dir. Düzgün çokgende tüm iç açılar eşit olduğundan bir iç açı toplamın n'e bölünmesiyle bulunur.
Bir köşeden çizilebilen köşegen sayısı (n − 3), toplam köşegen sayısı ise n(n − 3)/2'dir.
10 kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamını bulunuz.
(n − 2)·180 = (10 − 2)·180 = 8 · 180 = 1440° Cevap: 1440°Düzgün beşgenin bir iç açısını bulunuz.
İç açılar toplamı = (5 − 2)·180 = 540° Bir iç açı = 540 ÷ 5 = 108° Cevap: 108°Köşegen sayısı 20 olan çokgen kaç kenarlıdır?
n(n − 3) ÷ 2 = 20 → n(n − 3) = 40 n = 8 için 8·5 = 40 sağlanır. Cevap: Çokgen 8 kenarlıdır (sekizgen).n kenarlı çokgenin iç açıları toplamı (n−2)·180°, dış açıları toplamı 360°, köşegen sayısı n(n−3)/2'dir. Düzgün çokgende açılar eşit paylaşılır.
Yüzey alanı ve hacim bağıntıları
Dik prizma, birbirine paralel ve eş iki çokgen taban ile dikdörtgen yan yüzlerden oluşur. Piramit ise bir çokgen taban ile ortak bir tepe noktasında birleşen üçgen yan yüzlerden oluşur.
Piramidin hacmi, aynı taban ve yükseklikteki prizmanın hacminin üçte biridir.
Taban kenarı 4 cm ve yüksekliği 10 cm olan kare prizmanın hacmini ve toplam yüzey alanını bulunuz.
Taban alanı = 4² = 16 cm² Hacim = 16 · 10 = 160 cm³ Yanal alan = 4·4·10 = 160 cm² ; toplam = 160 + 2·16 = 192 cm² Cevap: Hacim 160 cm³, toplam alan 192 cm²Taban kenarı 6 cm ve yüksekliği 9 cm olan kare piramidin hacmini bulunuz.
Taban alanı = 6² = 36 cm² Hacim = 36 · 9 ÷ 3 = 108 cm³ Cevap: Hacim 108 cm³'tür.Dik prizmada hacim taban alanı × yükseklik, piramitte ise bunun üçte biridir. Yüzey alanı taban ve yan yüzlerin toplamıdır.
Çevre, alan, yay, merkez ve çevre açı
Daire, merkeze eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir. Yarıçapı r olan dairenin çevresi 2πr, alanı πr²'dir. Merkez açı, tepesi merkezde olan açıdır ve gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
Yarım daireyi gören çevre açı 90°'dir (Thales teoremi).
Yarıçapı 7 cm olan dairenin çevresini ve alanını bulunuz (π = 22/7).
Çevre = 2 · (22/7) · 7 = 44 cm Alan = (22/7) · 7² = 154 cm² Cevap: Çevre 44 cm, alan 154 cm²Bir merkez açının ölçüsü 80° ise aynı yayı gören çevre açının ölçüsü kaçtır?
Çevre açı = merkez açı ÷ 2 = 80 ÷ 2 = 40° Cevap: 40°Yarıçapı 6 cm olan dairede 60°'lik merkez açının dilim alanını bulunuz (π ≈ 3,14).
Dilim alanı = (60/360) · π · 6² = (1/6) · 3,14 · 36 ≈ 18,84 cm² Cevap: Yaklaşık 18,84 cm²Dairede çevre 2πr, alan πr²'dir. Merkez açı gördüğü yaya, çevre açı ise yayın yarısına eşittir. Yay ve dilim, θ/360 oranıyla hesaplanır.
Dik üçgende kenar bağıntısı ve uzaklık hesabı
Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Bu bağıntı geometrinin en çok kullanılan teoremlerinden biridir.
Bir üçgende kenarlar arasında a² + b² = c² bağıntısı sağlanıyorsa üçgen dik üçgendir. Bu özelliğe teoremin tersi denir. Pisagor teoremi, koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklığın hesabında da kullanılır.
Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan dik üçgenin hipotenüsünü bulunuz.
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 c = 10 cm Cevap: Hipotenüs 10 cm'dir.Hipotenüsü 13 cm, bir dik kenarı 5 cm olan dik üçgenin diğer dik kenarını bulunuz.
b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 b = 12 cm Cevap: Diğer dik kenar 12 cm'dir.A(1, 2) ve B(4, 6) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.
|AB| = √[(4−1)² + (6−2)²] = √(9 + 16) = √25 = 5 birim Cevap: Uzaklık 5 birimdir.Dik üçgende a² + b² = c² bağıntısı geçerlidir. Bu teorem, kenar bulma ve iki nokta arası uzaklık hesabında kullanılır; yalnızca dik üçgenlerde geçerlidir.
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant
Bir dik üçgende bir dar açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranına sinüs, komşu kenarın hipotenüse oranına kosinüs, karşı kenarın komşu kenara oranına tanjant denir. Bu oranlar yalnızca açıya bağlıdır, üçgenin büyüklüğüne bağlı değildir.
Özel açıların değerleri trigonometride sık kullanılır: 30°, 45° ve 60°.
Bir dik üçgende A açısı 30° ve hipotenüs 10 cm ise A'nın karşısındaki kenar kaç cm'dir?
sin A = karşı ÷ hipotenüs karşı = 10 · sin30° = 10 · (1/2) = 5 cm Cevap: 5 cmA açısı 60°, hipotenüs 12 cm ise komşu kenar kaç cm'dir?
cos A = komşu ÷ hipotenüs komşu = 12 · cos60° = 12 · (1/2) = 6 cm Cevap: 6 cmKarşı kenarı 5 cm, komşu kenarı 5 cm olan bir dik üçgende A açısı kaç derecedir?
tan A = 5 ÷ 5 = 1 tan45° = 1 olduğundan A = 45° Cevap: A = 45°Dik üçgende sinüs, kosinüs ve tanjant oranları kenarlar arasındaki ilişkiyi açı üzerinden kurar. Bu oranlar yalnızca açıya bağlıdır ve özel açılarda belirli değerler alır.
Merkezde bir, yarıçapı bir olan çember ve açıların ölçümü
Merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir. Bir açının bitiş kenarının birim çemberi kestiği noktanın koordinatları (cos θ, sin θ) olur. Bu gerçek, trigonometriyi koordinat düzlemine taşır.
Çember çevresinin yarıçapa oranı 2π olduğundan tam tur 360° = 2π radyandır. Buna göre 180° = π radyan olur.
120°'yi radyana çeviriniz.
120 · (π/180) = 120π/180 = 2π/3 Cevap: 2π/3 radyan90°'nin birim çember üzerindeki noktasını bulunuz.
P(cos90°, sin90°) = P(0, 1) Cevap: Nokta (0, 1)'dir.150° açı için sinüs ve kosinüsün işaretini belirtiniz.
150°, II. bölgededir. Cevap: sin150° > 0, cos150° < 0Birim çember, trigonometrik fonksiyonları koordinat düzleminde tanımlar. P(cosθ, sinθ) noktası, derece-radyan dönüşümü ve işaret kuralları bu konunun temelidir.
Periyot, genlik ve grafik davranışı
Bir açıya karşılık gelen sinüs, kosinüs ve tanjant değerleri birer fonksiyon oluşturur. Bu fonksiyonlar periyodiktir; yani belirli bir aralık sonunda değerlerini tekrarlar.
sin 390° değerini bulunuz.
390° = 360° + 30° sin390° = sin30° = 1/2 Cevap: 1/2y = 3sin x fonksiyonunun alabileceği en büyük değeri bulunuz.
sin x en fazla 1 olur. y = 3 · 1 = 3 Cevap: En büyük değer 3'tür.Trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir. sinüs ve kosinüsün periyodu 2π, tanjantınki π'dir. sinüs ve kosinüs [−1,1] aralığında değer alır.
Temel özdeşlikler ve indirgeme bağıntıları
Birim çember üzerindeki (cosθ, sinθ) noktası x² + y² = 1 denklemini sağladığından sin²θ + cos²θ = 1 temel özdeşliği elde edilir. Bu özdeşlik, trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesinde merkezi rol oynar.
sin θ = 3/5 ise cos θ değerini bulunuz (θ dar açı).
sin²θ + cos²θ = 1 (3/5)² + cos²θ = 1 → 9/25 + cos²θ = 1 cos²θ = 16/25 → cos θ = 4/5 Cevap: cos θ = 4/5sin 120° değerini bulunuz.
120° = 180° − 60° sin120° = sin60° = √3/2 Cevap: √3/2(sin²x + cos²x) ÷ cos x ifadesini sadeleştiriniz.
sin²x + cos²x = 1 İfade = 1 ÷ cos x Cevap: 1/cos xTrigonometrik özdeşlikler, ifadeleri sadeleştirmeyi ve değerleri bulmayı sağlar. En temel özdeşlik sin²θ + cos²θ = 1'dir; indirgeme bağıntıları açıları dar açılara indirger.
Bölgeler, iki nokta arası uzaklık ve orta nokta
Birbirine dik iki sayı doğrusunun oluşturduğu düzleme koordinat düzlemi denir. Yatay eksen x, düşey eksen y'dir; kesişim noktası orijin O(0,0)'dır. Düzlem dört bölgeye ayrılır ve her nokta (x, y) sıralı ikilisiyle gösterilir.
A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki uzaklık, Pisagor teoremi kullanılarak elde edilir. Ayrıca bir doğru parçasının orta noktası, uç noktaların koordinatlarının ortalamasıdır.
A(1, 2) ve B(4, 6) arasındaki uzaklığı bulunuz.
|AB| = √[(4−1)² + (6−2)²] = √(9 + 16) = √25 = 5 birim Cevap: 5 birimA(−2, 3) ve B(4, 7) doğru parçasının orta noktasını bulunuz.
x = (−2 + 4)/2 = 1 y = (3 + 7)/2 = 5 Cevap: Orta nokta (1, 5)'tir.Koordinat düzleminde noktalar (x, y) ile gösterilir. İki nokta arası uzaklık Pisagor'dan, orta nokta ise koordinat ortalamalarından bulunur.
Eğim kavramı ve doğru denkleminin yazılması
Bir doğrunun x-ekseniyle yaptığı açının tanjantına eğim denir. Eğim, doğrunun ne kadar dik olduğunu gösterir. İki noktası bilinen doğrunun eğimi, y'lerdeki değişimin x'lerdeki değişime oranıdır.
Eğim pozitifse doğru sağa yükselir, negatifse sağa alçalır. Yatay doğrunun eğimi 0, düşey doğrunun eğimi tanımsızdır.
A(1, 2) ve B(3, 8) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.
m = (8 − 2) ÷ (3 − 1) = 6 ÷ 2 = 3 Cevap: Eğim 3'tür.Eğimi 2 olan ve (1, 3) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız.
y − 3 = 2(x − 1) y = 2x + 1 Cevap: y = 2x + 12x + 3y − 6 = 0 doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz.
x-kesişimi: y = 0 → 2x = 6 → x = 3 → (3, 0) y-kesişimi: x = 0 → 3y = 6 → y = 2 → (0, 2) Cevap: (3, 0) ve (0, 2)Doğrunun eğimi m = Δy/Δx'tir ve doğrunun dikliğini gösterir. Doğru denklemi eğim-kesim veya nokta-eğim biçiminde yazılabilir.
Paralellik, diklik ve kesişim
İki doğru düzlemde ya paraleldir, ya çakışıktır ya da tek noktada kesişir. Bu durumlar doğruların eğimleri ve sabit terimleri karşılaştırılarak belirlenir.
Kesişim noktası, iki doğru denkleminin ortak çözümüyle bulunur.
y = 2x + 1 ve y = 2x − 3 doğrularının durumunu belirtiniz.
Eğimler eşit: m₁ = m₂ = 2 Sabitler farklı: 1 ≠ −3 Sonuç: Doğrular paraleldir, kesişmez.y = 3x + 1 doğrusuna dik olan doğrunun eğimini bulunuz.
m₁ · m₂ = −1 3 · m₂ = −1 → m₂ = −1/3 Cevap: Dik doğrunun eğimi −1/3'tür.y = x + 1 ve y = −x + 5 doğrularının kesişim noktasını bulunuz.
x + 1 = −x + 5 → 2x = 4 → x = 2 y = 2 + 1 = 3 Cevap: Kesişim noktası (2, 3)'tür.İki doğrunun durumu eğimlerine bağlıdır: m₁ = m₂ ise paralel, m₁·m₂ = −1 ise diktir. Kesişim noktası iki denklemin ortak çözümüdür.
Bir noktanın doğruya dik uzaklığı
Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı, noktadan doğruya inilen dikmenin uzunluğudur. Bu uzaklık, doğrunun genel denklemi ve noktanın koordinatları kullanılarak hesaplanır.
Eğimleri eşit olan iki paralel doğru arasındaki uzaklık, sabit terimlerin farkı ve katsayıların normu kullanılarak bulunur. İşlem için doğruların aynı katsayılarla yazılması gerekir.
(0, 0) noktasının 3x + 4y − 12 = 0 doğrusuna uzaklığını bulunuz.
d = |3·0 + 4·0 − 12| ÷ √(9 + 16) = 12 ÷ 5 = 2,4 birim Cevap: Uzaklık 2,4 birimdir.3x + 4y − 6 = 0 ve 3x + 4y + 4 = 0 doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz.
d = |−6 − 4| ÷ √(9 + 16) = 10 ÷ 5 = 2 birim Cevap: Uzaklık 2 birimdir.Nokta-doğru uzaklığı d = |ax₀+by₀+c| / √(a²+b²) formülüyle, paralel doğrular arası uzaklık ise sabit terimler farkı üzerinden hesaplanır.
Merkez, yarıçap ve genel denklem
Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çemberin denklemi, çember üzerindeki her noktanın merkeze uzaklığının r olmasından elde edilir. Çember denklemi analitik düzlemde daireyi tanımlar.
Genel denklem x² + y² + Dx + Ey + F = 0 biçimindedir. Bu denklem tam kareye tamamlanarak merkez ve yarıçap okunur. Merkez (−D/2, −E/2), yarıçap r = √((D/2)² + (E/2)² − F) olur.
Merkezi (2, 3) ve yarıçapı 4 olan çemberin denklemini yazınız.
(x − a)² + (y − b)² = r² (x − 2)² + (y − 3)² = 16 Cevap: (x − 2)² + (y − 3)² = 16x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.
Merkez: (−D/2, −E/2) = (2, −3) r = √(2² + (−3)² − (−12)) = √(4 + 9 + 12) = √25 = 5 Cevap: Merkez (2, −3), yarıçap 5Merkezi (a,b), yarıçapı r olan çember (x−a)² + (y−b)² = r² ile gösterilir. Genel denklemden merkez ve yarıçap tam kareye tamamlayarak bulunur.
Dik prizma çeşitleri, yüzey alanı ve hacim
Birbirine paralel ve eş iki çokgen tabanı, dikdörtgen yan yüzleri olan katı cisimlere prizma denir. Tabanı dikdörtgen olana dikdörtgenler prizması, kare olana kare prizma, altıgen olana altıgen prizma denir.
Prizmanın yanal alanı, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır. Toplam yüzey alanına iki taban alanı eklenir. Hacim ise taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır.
Ayrıtları 3, 4 ve 5 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacmini bulunuz.
V = a · b · c = 3 · 4 · 5 Cevap: Hacim 60 cm³'tür.Bir ayrıtı 6 cm olan küpün toplam yüzey alanını bulunuz.
Toplam alan = 6a² = 6 · 36 Cevap: 216 cm²Prizmada yanal alan taban çevresi × yükseklik, toplam alan yanal alan + 2·taban alanı, hacim taban alanı × yüksekliktir.
Yan yüzler, yüzey alanı ve hacim
Tabanı bir çokgen, yan yüzleri ortak bir tepe noktasında birleşen üçgenlerden oluşan katı cisimlere piramit denir. Tabanına göre kare piramit, üçgen piramit gibi adlar alır. Tepeden tabana inilen dik uzaklık piramidin yüksekliğidir.
Piramidin yanal alanı, yan yüz üçgenlerinin alanları toplamıdır. Düzgün piramitte yan yüzler eş olduğundan yanal alan, taban çevresi ile yan yüz yüksekliğinin çarpımının yarısıdır.
Taban kenarı 8 cm, yüksekliği 6 cm olan kare piramidin hacmini bulunuz.
Taban alanı = 8² = 64 cm² V = 64 · 6 ÷ 3 = 128 cm³ Cevap: 128 cm³Taban kenarı 6 cm, yüksekliği 4 cm olan kare piramidin yan yüz yüksekliğini bulunuz.
Yarıçap = 6 ÷ 2 = 3 cm ℓ = √(4² + 3²) = √25 = 5 cm Cevap: 5 cmPiramidin hacmi taban alanı × yükseklik ÷ 3'tür. Yanal alan yan yüz üçgenlerinden, toplam alan yanal alan + taban alanından oluşur.
Yanal yüzey, toplam alan ve hacim
Paralel ve eş iki daire tabanı ile bunları birleştiren dikdörtgen biçimli yan yüzeyden oluşan katı cisme dik silindir denir. Bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında döndürülmesiyle de elde edilir.
Silindirin yan yüzeyi açıldığında bir dikdörtgen oluşur; bu dikdörtgenin bir kenarı taban çevresi (2πr), diğeri yüksekliktir. Hacim ise taban alanı (πr²) ile yüksekliğin çarpımıdır.
Yarıçapı 3 cm, yüksekliği 10 cm olan silindirin hacmini bulunuz (π ≈ 3,14).
V = πr²h = 3,14 · 9 · 10 Cevap: Hacim yaklaşık 282,6 cm³'tür.Aynı silindirin yanal alanını bulunuz.
Yanal alan = 2πrh = 2 · 3,14 · 3 · 10 Cevap: Yaklaşık 188,4 cm²'dir.Silindirde yanal alan 2πrh, toplam alan 2πrh + 2πr², hacim πr²h'dir. Yan yüzey açıldığında taban çevresi × yükseklik ölçülerinde bir dikdörtgen olur.
Ana doğru, yanal alan ve hacim
Bir dik üçgenin bir dik kenarı etrafında döndürülmesiyle oluşan katı cisme dik koni denir. Daire biçimindeki tabanın merkezini tepeye birleştiren dik doğru yükseklik, tepe ile taban çevresindeki bir noktayı birleştiren doğru ise ana doğrudur.
Koninin yan yüzeyi açıldığında bir daire dilimi oluşur. Yanal alan, taban çevresi ile ana doğrunun çarpımının yarısıdır. Hacim, aynı taban ve yükseklikteki silindirin üçte biridir.
Yarıçapı 3 cm, yüksekliği 4 cm olan koninin hacmini bulunuz (π ≈ 3,14).
V = πr²h ÷ 3 = 3,14 · 9 · 4 ÷ 3 Cevap: Hacim yaklaşık 37,68 cm³'tür.Aynı koninin ana doğrusunu ve yanal alanını bulunuz.
ℓ = √(3² + 4²) = √25 = 5 cm Yanal alan = πrℓ = 3,14 · 3 · 5 = 47,1 cm² Cevap: ℓ = 5 cm, yanal alan ≈ 47,1 cm²Konide yanal alan πrℓ, toplam alan πrℓ + πr², hacim πr²h/3'tür. Ana doğru, yarıçap ve yükseklikle Pisagor bağıntısı kurar.
Yüzey alanı ve hacim
Uzayda sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesine küre denir. Merkeze uzaklık yarıçaptır. Yarıçapı r olan kürenin yüzey alanı 4πr², hacmi ise (4/3)πr³'tür.
Bir düzlemle kesilen kürenin ara kesiti bir dairedir. Merkezden geçen düzlemin oluşturduğu kesite büyük daire denir; yarıçapı kürenin yarıçapına eşittir.
Yarıçapı 3 cm olan kürenin hacmini bulunuz (π ≈ 3,14).
V = (4/3) · π · r³ = (4/3) · 3,14 · 27 Cevap: Hacim yaklaşık 113,04 cm³'tür.Yarıçapı 5 cm olan kürenin yüzey alanını bulunuz.
A = 4πr² = 4 · 3,14 · 25 Cevap: Yüzey alanı 314 cm²'dir.Yarıçapı r olan kürenin yüzey alanı 4πr², hacmi (4/3)πr³'tür. Merkezden geçen kesit büyük daire olup yarıçapı r'dir.
Tüm cisimlerin formülleri ve karşılaştırma tablosu
Uzay geometrisinde prizma, piramit, silindir, koni ve küre en sık karşılaşılan katı cisimlerdir. Bu cisimlerin alan ve hacim bağıntılarını birlikte görmek, problem çözümünde doğru formülü seçmeyi kolaylaştırır.
| Cisim | Yanal / Yüzey Alanı | Hacim |
|---|---|---|
| Dik prizma | Ç·h + 2S | S·h |
| Piramit | Ç·ℓ/2 + S | S·h/3 |
| Silindir | 2πrh + 2πr² | πr²h |
| Koni | πrℓ + πr² | πr²h/3 |
| Küre | 4πr² | (4/3)πr³ |
Benzerlik oranı k olan iki katı cisimde alanlar k², hacimler k³ oranındadır. Bu özellik ölçekleme problemlerinde çok kullanılır.
Benzerlik oranı 2 olan iki küpün hacimleri oranı kaçtır?
Hacim oranı = k³ = 2³ Cevap: Hacimler oranı 8'dir.Yarıçapı 6 cm, yüksekliği 10 cm olan silindir ile aynı taban ve yükseklikteki koninin hacimlerini karşılaştırınız.
Silindir: V = π·36·10 = 360π cm³ Koni: V = 360π ÷ 3 = 120π cm³ Sonuç: Koni hacmi, silindirin üçte biridir.Katı cisimlerin alan ve hacim formülleri taban ve yükseklik üzerine kuruludur. Benzer cisimlerde alan k², hacim k³ oranındadır.
Sınavda zaman yönetimi, hata önleme ve hızlı başvuru
Matematik sınavlarında başarı, yalnızca konu bilgisine değil; zaman yönetimine, soru seçimine ve dikkatli işleme de bağlıdır. Bu bölüm, edinilen bilgiyi sınav ortamında en verimli biçimde kullanmayı amaçlar.
x² − 5x + 6 = 0 denkleminin kökleri için hangi seçenek elenebilir?
Δ = 25 − 24 = 1 > 0 olduğundan iki farklı kök vardır. Sonuç: "Tek kök" diyen seçenek elenir.x = 3'ün x² − 5x + 6 = 0 denkleminin kökü olup olmadığını kontrol ediniz.
3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 Sonuç: x = 3 bir köktür.Sınavda başarı; bilgiyi doğru yönetmekten geçer. Turlama tekniği, zaman kontrolü, işlem doğrulaması ve formül kartları en etkili araçlardır.
Adım adım slaytlar, notlar ve tam ekran sunum modu ile konuları bilgisayarında rahatça takip et.
