Müfredata uyumlu ders anlatımları Simülatörler tarayıcıda çalışır, kurulum yok 1-12. sınıf, TYT-AYT ve meslek dersleri tek yerde Hesap aç, ilerlemen kaydedilir Konu anlatımları, testler ve simülatörler tek yerde

TYTMatematik

Oran-Orantı ve Problemler

Matematik · TYT · Cebir

Konu Anlatımı

Oran ve Orantının Temelleri

İki çokluğun birbirine oranına oran, iki ya da daha fazla çokluğun eşit oranlarla ilişkilendirilmesine orantı denir. a/b = c/d biçimindeki eşitlikte içler dışlar çarpımı yapılır: a × d = b × c. Bir çokluk artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa doğru orantı, biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ters orantı vardır.

Doğru orantıda bölüm sabittir (y/x = k), ters orantıda çarpım sabittir (x × y = k). Örneğin işçi sayısı ile gün sayısı doğru orantılı değildir: işçi artınca gün azalır, bu yüzden işçi × gün çarpımı sabit kalır. Orantı türünü belirlemek, sorunun ilk ve en kritik adımıdır; yanlış tür seçildiğinde formül ne olursa olsun sonuç yanlıştır.

Yüzde Problemleri

Yüzde, sayının 100'e oranıdır. Bir çokluğun yüzde p kadarını almak için sayı ile p/100 çarpılır; artırım ve indirimlerde ise çarpan kullanılması hataları önler.

DurumFormülÖrnek
%p artışx × (1 + p/100)400 birime %25 zam → 500 birim
%p indirimx × (1 − p/100)800 birime %20 indirim → 640 birim
Kar ile satışmaliyet × (1 + k/100)800 birime %25 kar → 1000 birim
Ardışık işlemlerçarpanların çarpımı1,20 × 0,80 = 0,96 → %4 kayıp

Ardışık yüzdeler toplanmaz: önce %20 artış, ardından %20 indirim %40 değil %4 kayıp verir, çünkü ikinci işlem küçülmüş sayı üzerinden yapılır. Bu durum, sınavın en sık sorduğu yüzde tuzağıdır.

Faiz, Hız ve Mesafe Problemleri

Basit faizde kazanç, ana para ile oran ve sürenin çarpımının yüzeye bölünmesiyle bulunur. Yol problemlerinde ise mesafe = hız × zaman bağıntısı esastır; biri bilinmiyorsa diğer ikisiyle hesaplanır.

Faiz = (Ana para × Oran × Süre) ÷ 100; Mesafe = Hız × Zaman

Örneğin 2000 birim, yıllık %15 faizle 2 yılda 2000 × 15 × 2 ÷ 100 = 600 birim kazandırır. Hız problemlerinde birim kontrolü şarttır: 60 km/saat ile 2,5 saat süren yol 150 km'dir; saat ile saat sadeleşir, geriye yalnız km kalır.

Yaş, İş ve Karışım Problemleri

Yaş problemlerinde her iki kişinin yaşı da aynı miktar arttığı için yaş farkı sabittir; bu, çözümün anahtarıdır. İş problemlerinde kişi başına düşen iş miktarı günlere bölünür: bir işi A 6 günde bitiriyorsa günde 1/6'sını, B 12 günde bitiriyorsa günde 1/12'sini yapar; birlikte günde 1/6 + 1/12 = 1/4 yapar ve iş 4 günde biter.

Karışım problemlerinde yüzdelerin basit ortalaması yalnız eşit miktarlarda karıştırma için geçerlidir: %20 ve %50'lik iki çözeltinin eşit miktarları karıştırılırsa sonuç %35 olur. Miktarlar farklıysa ters orantı ağırlıklı ortalama yöntemi kullanılır.

Orantı Modeliyle Çözülen Klasik Sorular

Boy, harita ölçeği, nüfus yoğunluğu ve birim dönüşümleri orantı modeliyle çözülür. Harita ölçeğinde 1/50000 oranı, haritadaki 1 cm'nin gerçekte 50000 cm yani 500 m olduğunu söyler. Ölçek sorularında ilk yapılacak iş, iki değeri aynı birime çevirmektir; birim karışınca hem süre hem sonuç kayar.

Çözüm Tekniği ve Sınav Odaklı Yaklaşım

Problemin çözüm tekniği şudur: bilinmeyene harf ver, verilenleri birimleriyle yaz, orantı türünü belirle, denklemi kur ve sonucu birim kontrolüyle onayla. İşçi-gün, hız-zaman gibi ikili ilişkilerde çarpımın sabit olup olmadığını test etmek, doğru formülü seçmenin en hızlı yoludur.

Sık çıkan kalıp, ters orantıda çarpanın sabit, doğru orantıda bölümün sabit olmasıdır. Zaman kazandıran yol, şıklara bakıp ölçek kontrolü yapmaktır: 8 işçi 12 günden az gün istiyorsa 7,5 ve 9,6 seçeneklerinden 9,6 anında elenir. Sınavın klasik tuzağı, ardışık yüzdeleri toplamaktır; %20 artış ile %20 indirim birbirini götürmez, %4 kayıp bırakır.

Ne Öğreneceğiz

Oran, orantı, yüzde problemleri ve hareket-işçi-yaş problemleri Bu konuda ögrenme çıktıları:

  • Oran ve orantı kavramlarını doğru–ters orantı ile ayırt eder.
  • Verilen orantı modeliyle bilinmeyen terimi hesaplar.
  • Yüzde artırım, indirim ve kar-zarar problemlerini çözer.
  • Hız-zaman-mesafe, yaş, iş ve karışım problemlerini modelleyerek çözer.
  • Basit faiz formülünü gerçek hayat problemlerinde uygular.

Ön Bilgi

Bu konuya başlamadan önce temel kavram ve ön koşulları kavramanız yardımcı olacaktır. Konunun çerçevesinde şu kavramlar dikkat ister:

  • Orantı türü önce belirlenir; doğru orantıda bölüm, ters orantıda çarpım sabittir.
  • İşçi sayısı ile süre ters orantılıdır, doğru orantılı değildir.
  • Ardışık yüzdeler toplanmaz, çarpanlar çarpılır.
  • Yaş problemlerinde yaş farkı hiçbir koşulda değişmez.
  • Karışım problemlerinde basit ortalama yalnız eşit miktarlarda geçerlidir.
  • Birim dönüşümlerinde önce aynı birime çevirmek hata payını sıfırlar.

Basit Örnek ve Günlük Yaşam

Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:

Soru: 3 kalem 45 birim ise 7 kalem kaç birim olur?

  1. Adım 1: Kalem sayısı ile fiyat doğru orantılıdır; birim fiyat bulunur: 45 / 3 = 15 birim.
  2. Adım 2: Birim fiyat 7 ile çarpılır: 15 × 7.
  3. Adım 3: Sonuç 105 birim olur.

Sonuç/cevap: 7 kalem 105 birimdir.

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Örnek 1: Doğru Orantı konusunun adımları:

  1. Adım 1: Kalem sayısı ile fiyat doğru orantılıdır; birim fiyat bulunur: 45 / 3 = 15 birim.
  2. Adım 2: Birim fiyat 7 ile çarpılır: 15 × 7.
  3. Adım 3: Sonuç 105 birim olur.

Karşılaştırma Tablosu

KavramAçıklama
Orantı türü önce belirlenir; doğru orantOrantı türü önce belirlenir; doğru orantıda bölüm, ters orantıda çarpım sabittir.
İşçi sayısı ile süre ters orantılıdır, dİşçi sayısı ile süre ters orantılıdır, doğru orantılı değildir.
Ardışık yüzdeler toplanmaz, çarpanlar çaArdışık yüzdeler toplanmaz, çarpanlar çarpılır.
Yaş problemlerinde yaş farkı hiçbir koşuYaş problemlerinde yaş farkı hiçbir koşulda değişmez.
Karışım problemlerinde basit ortalama yaKarışım problemlerinde basit ortalama yalnız eşit miktarlarda geçerlidir.
Birim dönüşümlerinde önce aynı birime çeBirim dönüşümlerinde önce aynı birime çevirmek hata payını sıfırlar.

Sık Yapılan Hatalar

İşçi-gün ilişkisini doğru orantı sanmak: İşçi artınca süre azalır; sabit kalan çarpımdır, bölüm değil.

Ardışık yüzdeleri toplamak: %20 artış ve %20 indirim toplamda %0 değil %4 kayıp verir.

İndirimi eski fiyat yerine yeni fiyat üzerinden hesaplamak: İkinci işlem her zaman o anki fiyat üzerinden yapılır.

Yaş problemünde yaşları sabit sanmak: Her iki taraf da artar; sabit olan yalnız yaş farkıdır.

Birimleri çevirmeden hesap yapmak: km ile saat, cm ile metre karışınca sonuç on bin kat sapabilir.

Özet

Doğru orantıda bölüm, ters orantıda çarpım sabittir. Yüzde problemleri çarpanla, faiz ve yol problemleri ilgili formülle, yaş problemleri yaş farkının sabitliğiyle çözülür. İş problemlerinde günlük iş payları toplanır, karışımlarda eşit miktar şartıyla ortalama alınır. Birim dönüşümleri ve ardışık yüzde mantığı, sınavın en sık kaybedilen puanlarıdır.

Kendini Dene

Soru: Mağazada 600 birim etiketli bir ürüne önce %25 indirim yapılmaktadır. İndirimli fiyat üzerinden %20 kâr eklenerek ürün yeniden satılmaktadır. (a) İndirimli satış fiyatını, (b) yeni satış fiyatını, (c) satıcının elde ettiği kâr miktarını hesaplayarak yüzde işlemlerinin sırasını açıklayınız.

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: İndirim tutarı 600 x 25/100 = 150 birim, indirimli fiyat 450 birim bulunur (7 puan). %20 kâr 450 x 20/100 = 90 birim, yeni fiyat 540 birim hesaplanır (7 puan). Kârın 90 birim olduğu ve yüzdelerin önceki tutar üzerinden alındığı belirtilir (4 puan). Düzen ve para birimi kullanımı (2 puan). Toplam 20 puan.

Oran-Orantı ve Problemler — Sık Sorulan Sorular

Oran-Orantı ve Problemler nedir?

İki çokluğun birbirine oranına oran, iki ya da daha fazla çokluğun eşit oranlarla ilişkilendirilmesine orantı denir. a/b = c/d biçimindeki eşitlikte içler dışlar çarpımı yapılır: a × d = b × c. Bir çokluk artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa doğru orantı, biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ters orantı…

Oran-Orantı ve Problemler konusunda ne öğrenilir?

Orantı türü önce belirlenir; doğru orantıda bölüm, ters orantıda çarpım sabittir.

Oran-Orantı ve Problemler konusunda sık yapılan hatalar nelerdir?

İşçi-gün ilişkisini doğru orantı sanmak: İşçi artınca süre azalır; sabit kalan çarpımdır, bölüm değil. Ardışık yüzdeleri toplamak: %20 artış ve %20 indirim toplamda %0 değil %4 kayıp verir.

Oran-Orantı ve Problemler için hangi formüller ve kurallar kullanılır?

a/b = c/d → içler dışlar çarpımı: a × d = b × c · Doğru orantı: y/x = k (bölüm sabit) · Ters orantı: x × y = k (çarpım sabit) · Faiz = (Ana para × Oran × Süre) / 100

Oran-Orantı ve Problemler kazanımları nelerdir?

Oran ve orantı kavramlarını doğru–ters orantı ile ayırt eder. Verilen orantı modeliyle bilinmeyen terimi hesaplar. Yüzde artırım, indirim ve kar-zarar problemlerini çözer.

Oran-Orantı ve Problemler Kazanımları

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1 kolay

3 kalemi 45 birim olan birinden 7 kalem alan kişi kaç birim öder?

  1. A) 105 birim
  2. B) 60 birim
  3. C) 90 birim
  4. D) 120 birim
Cevabı göster

Doğru cevap: A) 105 birim

Birim fiyat 45 / 3 = 15 birimdir; 7 × 15 = 105 birim hesaplanır.

Örnek Soru 2 orta

5 işçinin 12 günde bitirdiği işi 8 işçi kaç günde bitirir?

  1. A) 6 gün
  2. B) 8 gün
  3. C) 9,6 gün
  4. D) 7,5 gün
Cevabı göster

Doğru cevap: D) 7,5 gün

Ters orantı vardır: 5 × 12 = 60 işçi-gün; 60 / 8 = 7,5 gün bulunur.

Örnek Soru 3 zor

2000 birim, yıllık %15 faizle 2 yıl bankada kalırsa elde edilen faiz kaç birim olur?

  1. A) 300 birim
  2. B) 400 birim
  3. C) 450 birim
  4. D) 600 birim
Cevabı göster

Doğru cevap: D) 600 birim

Yalın faiz hesabında faiz = anapara × faiz oranı × süre / 100 formülü uygulanır: 2000 × 15 × 2 / 100 = 600 birim. 300 birim yalnız bir yılın, 400 birim eksik çarpım, 450 ise oran hatasıdır. İki yılda elde edilen faiz 600 birimdir.

Sıradaki adım

1 · Soru çözümüBu konunun sorularını çözÖnce kendin dene, sonra çözümle karşılaştır.2 · QuizQuiz ile pekiştirQuiz için hesap gerekir.3 · DersDersin tüm konularıMatematik · TYT

Konu anlatımları hesapsız okunur. Quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.

DersTeders ile devam et

Matematik için çalışma yolu

  1. OkuKonu anlatımını bu sayfada bitir.
  2. Soru çözÖrnekleri çöz, cevabı açıklamayla karşılaştır.
  3. Quiz ile pekiştirHesapla kendini ölç.

Slaytla adım adım öğren · Tüm dersler · Ana sayfa

Hesap açTüm dersleri keşfet

Konu anlatımları hesapsız okunur; quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.

Bu sayfa Oran-Orantı ve Problemler konusunun anlatımını, kazanımlarını ve örnek sorularını içerir. Konuyla ilgili tüm sorular için testi çöz, diğer konular için DersTeders ana sayfasına geçebilirsin.

Bu konunun öğretmen materyallerini (ders planı, çalışma kâğıdı, çözümlü soru bankası, rubrik) yazdırabilirsin: Yazıcı çıktısı modülünü aç