Permütasyon - Kombinasyon

Konu Anlatımı

Bu Konuda Neler Öğreneceğiz?

Sayma, bir olayın kaç farklı biçimde gerçekleşebileceğini hesaplamaktır. Burada asıl soru "kaç seçenek var" değil, "seçimlerin farklı sayılıp sayılmayacağı"dır. Aynı iki kişi farklı sırayla oturduğunda düzen değişmiş sayılır; aynı kurulu seçmek ise seçim değiştirmez.

Bu konudaki kurallar kısa görünür ama uygulama alanı çok geniştir: sınav yerleşimleri, yarışma sonuçları, şifre kurulumları, görevlendirmeler ve olasılık hesaplarının tamamı bu sayma yöntemlerine dayanır.

Ön Bilgi: Çarpma Kuralı ve Faktöriyel

Birbiri ardından gelen seçimlerde, her adımdaki seçenek sayıları çarpılarak toplam sonuç bulunur. Bu çarpma kuralı, permütasyon hesabının temelidir.

Faktöriyel, bir tam sayının kendisinden bire kadar olan çarpımıdır. Bir düzenin kaç farklı hâlde yazılabileceğini göstermek için "kaç nesnenin kaç farklı sıralaması vardır" biçiminde düşünülür.

Temel Kurallar

Düzen (permütasyon): sıra önemlidir; n nesnenin n! farklı sıralaması vardır.

Seçim (kombinasyon): sıra önemsizdir; sıra farklı olsa da aynı küme bir kez sayılır.

Tekrarsız seçim: seçilenler arasında tekrar yoktur.

Tekrarlı seçim: seçilen nesneler yeniden seçilebilir, durum sayısı farklıdır.

Dağıtım: sıra önemliyse ikili çarpım, önemsizse bölüme yoluyla hesaplanır.

Kavram Karşılaştırma Tablosu

Bu tablo, iki sayım yönteminin nerede ayrıldığını gösterir. Sorudaki "kaç farklı sırayla", "kaç farklı seçim" gibi ifadeler doğru sütunu işaret eder.

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Adım 1 — Sıranın önemini belirle. Aynı nesneler farklı sırada geldiğinde sonuç değişiyorsa düzen, değişmiyorsa seçim sayılır.

Adım 2 — Kapsamı daralt. Yuvarlak masa, sınırlı koşul ya da gruplama varsa önce onu uygula.

Adım 3 — Seçenekleri çarp. Her adımdaki seçenek sayısı çarpılarak toplam düzen bulunur.

Adım 4 — Sıra önemsizse sadeleştir. Aynı kümenin farklı sıralamalarını tek sayıda birleştirmek için bölme yapılır.

Sık Yapılan Hatalar

Sayma konusundaki hatalar, sıra önemini değerlendirememe ve koşullu durumları görmezden gelmeden kaynaklanır.

• Sıra önemini atlamak: Aynı kurulu iki farklı sırayla seçmek yeni bir seçim üretmez; buna rağmen düzen sayısı verilirse hata olur.
• Aynı düzeni iki kez saymak: Yuvarlak masada tüm masayı çevirmek aynı düzendir; bir kişi sabitlenerek düzen sayısı azaltılır.
• Koşulu uygulamamak: Yanyana oturmama gibi koşullar, tüm sonuçtan koşula aykırı sonuçlar çıkarılarak uygulanır.
• Tekrarlı seçimi tekrarsız saymak: Aynı nesnenin birden çok kez seçilebildiği durumlarda seçenek sayısı değişir.
• Dağıtımda sırayı görmezden gelmek: Hangi nesnenin kime verildiği önemliyse ikili çarpım uygulanır.
• İlk sırayı sıfır saymak: Sıfırla başlamayan bir dizide ilk seçenek sayısı bir azaltılır.

Özet

Sıra önemliyse düzen, sıra önemsizse seçim sayılır. Düzen, nesnelerin sıralanmasının sonucu değiştirdiği sayımdır ve çarpma kuralıyla hesaplanır. Seçim, sıranın önemsiz olduğu sayımdır ve aynı kümenin farklı sıralamaları tek sayılır. Yuvarlak masa gibi durumlarda bir kişi sabitlenerek dönme hareketi giderilir. Yanyana oturmama gibi koşullar tüm sonuçtan aykırı durumların çıkarılmasıyla uygulanır. Dağıtım problemlerinde hangi nesnenin kime verildiği önemliyse ikili çarpım yapılır.

Kendi kendine dene: Beş kişi bir sıraya oturacaktır. Tüm düzenleri bul, ardından belirli iki kişinin yanyana oturduğu düzenleri bul ve farkı yorumla. Aynı soru için sıralamanın önemsiz olduğu hâlde kaç kurul oluşacağını da hesapla. Son olarak üç haneli, rakamları tekrarsız ve sıfırla başlamayan şifre sayısını bulurken her adımdaki seçenek sayısını yaz.

Ne Öğreneceğiz

Sıralamanın önemli olup olmamasına göre düzen ve seçim sayılarını ayırt ederek sayma problemlerini çözme becerisi. Bu konuda ögrenme çıktıları:

• Düzen ve seçim kavramlarını tanımlar ve farkını somut örneklerle belirtir.
• Tekrarlı ve tekrarsız düzen sayısını hesaplar.
• Tekrarlı ve tekrarsız seçim sayısını hesaplar.
• Sıra önemli dağıtım problemlerinde çift çarpım yöntemini uygular.
• Yuvarlak masa, yanyana oturmama gibi özel durumları çözer.
• Rakam, kelime ve nesne sayımlarında uygun yöntemi seçer.

Basit Örnek ve Günlük Yaşam

Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:

Soru: 4 farklı kitap kaç farklı sırayla dizilebilir?

1. Düzen sayımı olduğu belirlenir.
2. Seçenekler sırayla çarpılır.
3. Sonuç yazılır.

Sonuç/cevap: 24

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: 10 kişiden kaç el sıkışma yapılır?

1. Her kişi diğerleriyle sıkışır.
2. Sıra önemli değildir.
3. Sonuç yazılır.

Sonuç/cevap: 45

Kendini Dene

Soru: Beş kişinin bir sıraya oturmasıyla ilgili tüm düzenleri bulunuz. Belirli iki kişinin yanyana oturduğu düzenleri de bulup farkı yorumlayınız.

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: Beş kişinin tüm düzenleri hesaplanır (4 puan). İki kişi tek blok sayılarak o blokla düzenler hesaplanır (6 puan). Blok içi iki sıra olduğu için çarpan eklenir (4 puan). Koşula uyan düzenler farkla bulunur (4 puan). Sonuç yorumlanır (2 puan).