Kiriş ve Teğet Özellikleri

Konu Anlatımı

Kiriş ve Teğet Kavramları

Bir çemberin iki farklı noktasını birleştiren doğru parçasına kiriş denir. Kirişin uç noktaları çember üzerinde bulunur, parçanın kendisi çemberin iç bölgesinde yer alır. Merkezden geçen özel bir kiriş vardır; bu parçaya çap denir. Çap yarıçapın iki katı olduğu için bir çemberin en uzun kirişidir. Uç noktalarından yalnızca biri çember üzerinde olan doğru parçası ise teğet değildir; teğet için iki uç noktasının da çember üzerinde bulunması gerekir.

Çembere yalnızca tek bir noktada dokunan ve onu kesmeyen doğruya teğet doğru denir. Teğet doğrunun çembere değme noktasına teğet noktası adı verilir. Kiriş iki noktada çemberle ortak nokta paylaşırken teğet doğru yalnızca bir noktada ortak nokta paylaşır. Bu nedenle teğet doğru çemberin dış bölgesinde kalır, içeri girmez ve çemberi kesmez. Aynı noktadan çizilen iki farklı teğet doğru düşünülemez, çünkü her teğet için tek bir değme noktası vardır.

Teğet Doğrunun Özellikleri

Teğet doğrunun en önemli özelliği şudur: teğet noktasına çizilen yarıçap teğet doğruya diktir. Teğet noktasını A, çemberin merkezini M alalım. MA yarıçapı ile teğet doğru dik olduğundan, dış nokta P'den çizilen teğet parçası bu dik yarıçapla birlikte bir dik üçgen oluşturur. Üçgende MP hipotenüs, MA ve PA birer dik kenar olur. Pisagor bağıntısı yazıldığında PA · PA = MP · MP − MA · MA elde edilir. Teğet parçasının karesi, dış noktanın merkeze uzaklığının karesinden yarıçapın karesinin çıkarılmasıyla bulunur.

Noktanın çemberin hangi bölgesinde olduğu, çizilebilecek teğet sayısını belirler. Çemberin dış bölgesindeki bir noktadan tam olarak iki teğet çizilebilir ve bu iki teğet parçası birbirine eşittir, çünkü iki değme noktası merkeze eşit uzaklıkta bulunur. Çemberin üzerindeki bir noktada yalnızca bir teğet vardır. Çemberin iç bölgesindeki bir noktadan ise hiç teğet çizilemez. Teğet doğrunun merkeze olan uzaklığı daima yarıçapa eşittir.

Kirişin Uzunluğu ve Merkeze Uzaklık

Bir kirişin ortasından geçen doğru, merkezden de geçiyorsa o kirişe diktir. Kiriş yarıçapla birlikte bir dik üçgen oluşturur: yarıçap hipotenüs, merkezle kiriş arasındaki uzaklık ve kirişin yarısı birer dik kenardır. Kirişin yarısı bu üçgenden √(r · r − d · d) bağıntısıyla bulunur, kirişin tamamı ise bunun iki katıdır. Bu bağıntı merkeze uzaklık arttıkça içteki farkın küçülmesi nedeniyle uzunluğun azalmasını açıklar. Merkeze uzaklık sıfıra yaklaştığında uzunluk çapa yaklaşır, uzaklık yarıçapa yaklaştığında ise uzunlık sıfıra yaklaşır.

Kesişen Doğrular İçin Bağıntılar

Çemberin iç bölgesindeki bir noktadan geçen iki kiriş için parça çarpımı eşitliği vardır: PA · PB = PC · PD. Bağıntının nereden geldiği sorulursa, iki kirişin oluşturduğu benzer üçgenlerden yararlanılır. Aynı bağıntı dış bölgedeki bir nokta için teğet parçasının karesiyle yazılır: PT · PT = PA · PB. Yani bir kesişme noktasının çemberin içinde ya da dışında olmasına göre kullanılacak çarpım eşitliği değişir. İç bölgede dört parçanın çarpımları eşitlenirken dış bölgede teğetin karesi eşitliğe girer.

Teğet ve Kiriş Açısı

Teğet doğru ile kirişin değme noktasında oluşturduğu açı, kestirilen yayın yarısına eşittir; başka bir deyişle teğet ve kiriş açısı çevre açısı ölçüsüne uyar. Aynı teğet doğrunun iki farklı kirişle yaptığı açıların toplamı 180 derecedir. Dış noktadan çizilen iki teğetin değme noktalarını birleştiren parça ise dış noktanın merkezle birleştirildiği doğruya diktir ve iki teğeti eşit parçalara ayıran orta dikmedir.

Sık Yapılan Hatalar

En yaygın hata teğet doğrunun merkezden geçtiğini düşmektir; merkezden geçen doğru çemberi iki noktada kestiği için teğet olamaz. İkinci hata, teğet parçası ile teğet noktasından merkeze çizilen parçayı karıştırmaktır; teğet parçası teğet noktasından dış noktaya uzanan kenardır. Üçüncü hata, merkeze uzaklık arttıkça kirişin uzunluğunun arttığını sanmaktır; artan uzaklık uzunluğu azaltır. Dördüncü hata, iç bölgedeki bir noktadan teğet çizilebileceğini düşmektir. Beşinci hata, iki teğet parçasının uzunluklarını farklı hesaplamaktır; bu parçalar eşittir.

Sınav Odaklı Çözüm Notu

Teğet ve kiriş içeren bir soruda ilk iş noktanın yerini belirlemektir. Nokta dış bölgedeyse iki teğet vardır ve teğet parçaları eşittir; nokta çember üzerindeyse tek teğet vardır; nokta iç bölgedeyse teğet çizilemez. Teğet parçası soruluyorsa yarıçap ile dış noktanın merkeze uzaklığı verilir ve karekörtür çıkarılır. Kiriş soruluyorsa merkezle kiriş arasındaki uzaklık verilir ve önce kirişin yarısı bulunur, sonra iki katına alınır. Parça çarpımı soruluyorsa iç bölgede dört parçanın çarpımı, dış bölgede teğetin karesi eşitliği kullanılır. Açı sorularında teğet ve kiriş açısının kestirilen yayın yarısına eşit olduğu hatırlanır. Ondalık sonuç çıkacaksa değer virgüllü yazılır ve yaklaşık olarak belirtilir.

Özet

Kiriş çemberin iki noktasını birleştiren parçadır, en uzun kiriş olan çap yarıçapın iki katıdır. Teğet çembere tek noktada dokunan doğrudur ve teğet noktasındaki yarıçap teğete diktir. Dış noktadan iki teğet çizilir ve teğet parçaları eşittir. Teğet parçasının karesi, merkez uzaklığının karesinden yarıçapın karesinin çıkarılmasıyla bulunur. Kirişin yarısı da yarıçap karesinden uzaklık karesinin çıkarılmasıyla bulunur. İç bölgede parça çarpımları, dış bölgede teğetin karesi eşitlik kurar. Kendini dene: bir dış noktadan teğet ve bir merkezden uzaklık verilip hem teğet parçası hem de kiriş uzunluğu istenen soruları çözerek bağıntıları pekiştir.

Ne Öğreneceğiz

Kiriş ve teğet bağıntıları, dış teğet uzunluğu, temel kavramlar ve sınav soru tipleri. Bu konuda ögrenme çıktıları:

• Kiriş, çap ve teğet doğru kavramlarını tanımlayarak aralarındaki farkı açıklar.
• Teğet noktasındaki yarıçapın teğete dik olduğu özelliğini uygular.
• Dış noktadan çizilen teğet parçasının uzunluğunu karekök bağıntısıyla hesaplar.
• Merkeze olan uzaklık ile kiriş uzunluğu arasındaki bağıntıyı kurar ve sonucu yorumlar.
• İç bölgede parça çarpımı, dış bölgede teğetin karesi eşitliklerini karşılaştırır.
• Teğet ile kirişin oluşturduğu açının ölçüsünü kestirilen yayla ilişkilendirir.
• Öğrencinin teğet ve kiriş ilişkisini karıştıran hatalarını teşhis edip düzeltir.

Ön Bilgi

Bu konuya başlamadan önce temel kavram ve ön koşulları kavramanız yardımcı olacaktır. Konunun çerçevesinde şu kavramlar dikkat ister:

• Teğet doğru çemberi kesmez, yalnızca tek bir noktada dokunur.
• Teğet noktasındaki yarıçap teğet doğruya her zaman diktir.
• Aynı dış noktadan çizilen iki teğet parçasının uzunlukları eşittir.
• Çember üzerinde tek teğet vardır, iç bölgede ise hiç teğet çizilemez.
• Merkeze uzaklık arttıkça aynı çemberde kirişin uzunluğu azalır.
• Kirişin ortasından geçen doğru merkezden de geçiyorsa kirişe diktir.
• Çap yarıçapın iki katı olduğu için en uzun kiriştir.
• Teğet ve kirişin oluşturduğu açı, kestirilen yayın yarısına eşittir.

Basit Örnek ve Günlük Yaşam

Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:

Soru: Yarıçapı 6 birim olan bir çemberin dışındaki bir nokta, merkezden 10 birim uzaklıktadır. Bu noktadan çizilen teğet parçası kaç birimdir?

1. Adım 1: Teğet parçası, yarıçap ve merkez uzaklığı bir dik üçgen oluşturur; teğet parçası hipotenüs değildir, birer dik kenar olur.
2. Adım 2: Hipotenüs merkez uzaklığıdır, bu yüzden teğetin karesi = 10 · 10 − 6 · 6.
3. Adım 3: 100 − 36 = 64 sonucunu bul ve karekökü al.
4. Adım 4: Karekök 64 = 8 olduğundan teğet parçası 8 birimdir.

Sonuç/cevap: Teğet parçası 8 birimdir.

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Örnek 1: Teğet Parçasının Uzunluğu konusunun adımları:

1. Adım 1: Teğet parçası, yarıçap ve merkez uzaklığı bir dik üçgen oluşturur; teğet parçası hipotenüs değildir, birer dik kenar olur.
2. Adım 2: Hipotenüs merkez uzaklığıdır, bu yüzden teğetin karesi = 10 · 10 − 6 · 6.
3. Adım 3: 100 − 36 = 64 sonucunu bul ve karekökü al.
4. Adım 4: Karekök 64 = 8 olduğundan teğet parçası 8 birimdir.

Karşılaştırma Tablosu