Çemberin Elemanları ve Çemberin Açı

Konu Anlatımı

Ne Öğreneceğiz?

Bu konuda çemberin elemanlarını tanıyacak, merkez açı ile çevre açı arasındaki bağıntıyı kuracak ve teğet, kordon, yay gibi parçalarla ilgili açı problemlerini çözeceksiniz. Çemberin Elemanları başlığı altında öğrendiğiniz yarıçap, kiriş ve teğet bilgisi, Çemberin Açı kavramıyla birleştiğinde çok sayıda sorunun tek bağıntıyla çözülebildiğini göreceksiniz. Konunun sonunda verilen tablo, merkez açı, çevre açı ve teğet açı kavramlarını tek bakışta ayırt etmenizi sağlayacak.

Ön Bilgi: Çember, Merkez, Yarıçap ve Kiriş

Çember, düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların oluşturduğu kapalı eğridir. Sabit noktaya merkez (O), merkez ile çember arasındaki uzaklığa yarıçap (r) denir. Merkezden geçen ve çemberi iki noktada kesen en uzun doğru parçası çap olup uzunluğu 2r kadardır. Çemberin iki noktasını birleştiren doğru parçasına kiriş, merkezden geçmeyen kirişe ise kiriş parçası adı verilir. Kirişin orta dikmesi daima merkezden geçer ve kirişi iki eşit parçaya böler; bu nedenle merkeze yakın duran kiriş daha uzundur.

Çember üzerinde ardışık iki nokta arasında kalan eğri parçasına yay denir. Yay uzunluğu ile yaygınlık ölçüsü farklı kavramlardır: yay uzunluğu bir birim cinsinden olup π içerir, yaygınlık ölçüsü ise derece cinsinden merkez açıya eşittir. Yay uzunluğu, merkez açının 360'a bölünmüş payı ile çemberin çevresinin çarpımıdır. Bu ayrım sınavlarda en sık karıştırılan noktalardan biridir.

Çemberin tek bir noktasına değen doğruya teğet, değme noktasına ise teğet noktası denir. Teğet noktasında teğet doğru ile merkeze götürülen yarıçap daima dik açı oluşturur ve çember üzerindeki her noktadan yalnızca bir teğet çizilebilir. Çemberin içinde kalan bölge iç bölge, dışında kalan bölge dış bölge, çemberin kendisi ise çevre bölgedir. Teğet, kiriş ve yay arasındaki bu ilişkiler çemberde açı sorularının temelini oluşturur.

Basit Örnek: Merkez Açı ve Çevre Açı İlişkisi

Tepe noktası merkezde olan açıya merkez açı, tepesi çemberin üzerinde olup kolları çemberi iki farklı noktada kesen açıya çevre açı denir. Bir yayı gören merkez açının ölçüsü, aynı yayı gören çevre açının ölçüsünün iki katıdır. Yani çevre açı = merkez açı ÷ 2 bağıntısı vardır. Merkez açısı 100° olan bir yayı gören çevre açı 50°, çevre açısı 36° olan bir yayın yaygınlık ölçüsü ise 72° olur. Burada hangi açının verildiğini ayırt etmek, sonucu iki katına çıkarmak ya da yarıya indirmek bakımından belirleyicidir.

Aynı yayı gören çevre açılar eşittir. A ve B noktalarının ayırdığı iki yayın birinde C, diğerinde D noktası bulunduğunda bu iki çevre açının toplamı daima 90°'dir. Ayrıca çemberde bir çapı gören çevre açı daima 90°'dir; çünkü yarım çember iki eşit parçaya bölünür. Bu iki kalıcı sonuç, verilmeyen açıyı bulmak için sık sık kullanılır.

İleri Örnek: Teğet, Kordon ve Açı Teoremleri

Teğet ile teğet noktasındaki kordon arasındaki açının ölçüsü, kordonun göndüğü yayın yarısına eşittir. Çemberin dışındaki bir noktadan çizilen iki teğetin oluşturduğu açı ile merkez açının toplamı 180°'dir. Teğat parçası, teğet noktasından geçen bir kordonla birlikte düşünüldüğünde yine aynı yarı yay kuralı kullanılır. Kesişen iki çemberde ortak iç teğetlerin oluşturduğu açı ise merkezler arası açının yarısından 180° eksi kadar farklıdır.

Dış noktadan çizilen teğat parçasının karesi, o noktadan geçen kesitin dış parçası ile kesitin tamamının çarpımına eşittir. Çemberin içindeki bir noktadan geçen iki kordonda ise çarpılan parçaların çarpımları birbirine eşittir. Dıştan değen iki çemberde merkezler arası uzaklık iki yarıçapın toplamına, içten değen çemberlerde ise iki yarıçapın farkına eşittir. Bu bağıntılar, uzunluk bilgisi verilen çember sorularını çözeceğiniz adımlardır.

Adım Adım Çözülmüş Örnek

Yarıçapı 9 birim olan bir çemberde merkez açısı 60° olan sektörün yay uzunluğunu bulalım. Önce çemberin çevresini hesaplarız: 2 · π · 9 = 18π birim. Ardından merkez açının tam çevredeki payını alıyoruz: 60 ÷ 360 = 1/6. Yay uzunluğu ise 18π · (1/6) = 3π birim olur.

İkinci örnek olarak merkeze uzaklığı 25 birim, yarıçapı 7 birim olan bir çemberin dış noktasından çizilen teğat parçasını bulalım. Merkez, teğet noktası ve dış nokta bir dik üçgen oluşturur. Teğat karesi merkez uzaklığının karesinden yarıçap karesinin çıkarılmasıyla bulunur: 25 · 25 − 7 · 7 = 625 − 49 = 576. √576 = 24 birim sonucu elde edilir.

Üçüncü örnekte aynı yayı gören iki çevre açıdan biri 55° ise diğeri kaç derecedir? C ve D noktaları farklı yay üzerinde olduğu için toplam 90° olmalıdır. 90 − 55 = 25° bulunur. Gördüğünüz gibi eşitlik yerine tamamlayıcılık devreye girer.

Kavram Karşılaştırma Tablosu

Aşağıdaki tablo merkez açı, çevre açı, teğet açı ve çap gören açıyı tek tabloda karşılaştırır. Sınavda hangi kavramın sorulduğunu ayırt etmek için önce açının tepe noktasının nerede olduğuna bakmak yeterlidir.

Tabloyu kullanırken önce tepe noktasına bakın: tepesi merkezde ise yaygınlık ölçüsünün kendisi, tepesi çember üzerindeyse ise yaygınlık ölçüsünün yarısı aranır. Tepe noktası teğet noktası olduğunda kordon hangi yayı gösteriyorsa yine o yayın yarısı alınır.

Sık Yapılan Hatalar

• Merkez açı ile çevre açının büyüklüklerini ters almak: çevre açı daima daha küçüktür.
• Yay uzunluğu ile yaygınlık ölçüsünü aynı sayı sanmak: yay uzunluğu π içerir, yaygınlık ölçüsü ise derecedir.
• Çember üzerindeki bir noktadan iki teğet çizilebileceğini düşünmek: orada yalnızca bir teğet vardır.
• Çevre açının gördüğü yayı, açının kollarının oluşturduğu küçük yay yerine yanlış seçmek.
• Merkeze uzaklık arttıkça kirişin uzunacağını sanmak: ilişki tam tersidir.

Sınav Odaklı Ek Not

Yayın merkez açısı verilmişse önce yay uzunluğunu, çevre açısı verilmişse önce yaygınlık ölçüsünü bulun. Teğet içeren sorularda teğet noktasına dik inilen yarıçap mutlaka çizilir; iki teğetin oluşturduğu açı soruluyorsa merkez açıyla toplamı 180° olacak şekilde ters açı kullanılır. Kiriş sorularında merkez ile kiriş arasındaki uzaklık verilmişse dik üçgen kurulur. Kuvvet noktası gerektiren sorularda ise önce dış noktadan mı iç noktadan mı bahsedildiğine bakılır.

Özet ve Kendini Dene

Çemberde yarıçap merkez ile çember arasındaki uzaklıktır ve çap onun iki katıdır. Merkez açı çevre açının iki katı, çevre açı ise gördüğü yayın yarısıdır. Kendinizi denerken yarıçapı 10 birim olan bir çemberde merkez açısı 54° olan yayın uzunluğunu ve bu yayı gören çevre açının ölçüsünü bulmayı deneyin.