Açısal Momentum

Konu Anlatımı

Ne Öğreneceğiz?

Bu konuda dönen cisimlerin hareketini açısal momentum kavramıyla tanımlayacağız. Açısal momentum, bir cismin seçilen dönme eksenine göre ölçülen ve tork ile değişimi doğrudan ilişkili olan bir büyüklüktür. Konunun üç omurgası vardır: açısal momentumun nasıl tanımlandığı, tork ile arasındaki bağıntı ve dış tork yokken korunması.

Önceki konularda çizgisel momentum p = m · v, tork ise τ = F · d biçiminde tanımlanmıştı. Burada aynı mantığı dönme hareketine taşıyoruz: açısal momentum L = I · ω, açısal ivme ise α = τ_net / I biçiminde yazılır. Bu iki bağıntı, çizgisel hareket yasalarının dönme karşılıklarıdır.

Ön Bilgi: Dönme Ekseni ve Eylemsizlik Momenti

Açısal momentum tanımlanırken önce bir dönme ekseni seçilir. Eksen, cismin çevresinde döndüğü düz çizgidir ve cisim farklı eksenlere göre farklı açısal momentum değerlerine sahip olabilir. Eksene uzaklığı d olan ve kütlesi m olan parçaların eylemsizlik momentleri toplanır: I = Σ m · d². Eylemsizlik momenti, kütlenin dönme eksenine yerleşimini özetleyen bir ölçüdür; eksen kütlenin toplandığı yere yaklaştıkça küçülür.

Bir nokta kütle için eylemsizlik momenti I = m · r², düz bir disk ya da çember halkası için ise I = ½ m · R² bağıntısıyla bulunur. Aynı kütlede düz diskin eylemsizlik momenti, aynı yarıçaptaki noktasal kütlelerin toplamından küçüktür; çünkü diskin kütlesinin bir bölümü eksene daha yakın konumdadır. Bu ayrım, karşılaştırmalı sorularda sıkça karıştırılır.

Basit Örnek

Eylemsizlik momenti 4 kg·m² olan bir cisim 5 rad/s açısal hızla dönüyorsa açısal momentum L = I · ω = 4 · 5 = 20 kg·m²/s olur. Açısal momentumun birimi kg·m²/s'dir; bu değer eylemsizlik momenti birimi kg·m² ile açısal hız biriminin çarpımından gelir.

Açısal momentumun diğer yazımı L = r · p · sinθ biçimindedir. Burada θ, konum vektörü ile momentum vektörü arasındaki açıdır. Momentum yarıçap doğrultusuna dik olduğunda açısal momentum en büyük değerine ulaşır; iki vektör aynı yönlü olduğunda ise θ = 0 ve açısal momentum sıfırdır. Bu yüzden sorularda önce vektörlerin yön ilişkisi kurulmalıdır.

İleri Örnek: Korunumun Kullanımı

Bir patenci kollarını gövdesine doğru çektiğinde kütlesi eksene yaklaşır ve eylemsizlik momenti küçülür. Buna karşılık açısal hızı büyür. Bu hızlanma beklenmedik bir durum değildir; açısal momentum korunumu sonucudur, çünkü buz gibi sürtünmesiz bir ortamda cisme etkiyen net dış tork sıfırdır.

Aynı mantık çark üzerindeki yükün yarıçaptan uzaklaştırılmasında da geçerlidir. Bir uydu ise Dünya çevresindeki çembersel yörüngesinde yerçekimi kuvveti merkeze yönelik olduğu için kuvvet kolu sıfırdır ve tork oluşmaz; açısal momentumun büyüklüğü sabit kalır. Yörüngesi elips olan bir uydu ise açısal momentumunu korurken kütlesi perijede en hızlı, afojede en yavaş hareket eder.