Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Günlük yaşamdan bir durumu doğrusal fonksiyonla modelleyip modelin anlamını açıklar.
• Kazanım 2: İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini görsel ya da cebirsel yöntemlerle çözer.
• Kazanım 3: Doğrusal eşitsizliği çözüm kümesi biçiminde yazar ve çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterir.
• Kazanım 4: Eşitsizlikte eşitsizlik yönünün değişmesi gereken durumları doğru uygular.
• Kazanım 5: Denklem ve eşitsizlik problemlerinde denetleme yaparak çözümü sınar.
• Kazanım 6: Problem durumuna uygun olmayan çözümleri eleyerek fiziksel olarak anlamlı sonucu seçer.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konuyu anlamanın ön koşulu Mutlak Değer Fonksiyonu ve Nitel Özellikleri bilgisidir. Mutlak Değer Fonksiyonu ve Nitel Özellikleri konusundaki temel kavramlar bu derste örneklerin üzerinde yeniden karşımıza çıkacak.

• Mutlak Değer Fonksiyonu ve Nitel Özellikleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Gerçek Yaşam Durumlarını Doğrusal Fonksiyonla Modelleme

Doğrusal fonksiyonlar, bir miktarın başka bir miktarla doğru orantılı değiştiği durumları temsil eder. Örneğin bir yolculukta alınan yol, geçen süre ile hızın çarpımıdır. Sabit bir hızda y = 80t biçiminde bir doğruyla modellenir; burada y yol, t süre, 80 ise hızdır.

Doğrusal modellerde katsayının işareti öneme sahiptir. Katsayı pozitifse miktar artar, negatifse azalır. Sabit bir başlangıç değeri varsa model y = ax + b biçiminde kurulur ve b başlangıçtaki değeri verir. Kurulan modelin geçerli olduğu aralık belirtilmelidir; negatif süre ya da negatif miktar gibi fiziksel olarak anlamsız sonuçlar modelin geçerlilik alanı dışındadır.

• Değişen miktar bağımsız, ona karşılık gelen miktar bağımlı değişkendir.
• Katsayı, bir birim değişim başına bağımlı değişkenin ne kadar değiştiğini gösterir.
• Sabit terim, bağımsız değişken sıfır olduğunda bağımlı değişkenin değeridir.

Doğrusal Denklem Sistemleri

İki bilinmeyenli bir doğrusal denklem sisteminde iki doğrunun ortak noktaları denklemlerin ortak çözümüdür. Sistemler iki yöntemle çözülebilir. Yerine koyma yönteminde denklemlerden birinde bir bilinmeyen ifade edilir, diğer denklemde yerine konur. Eşitleme yönteminde ise denklemlerde katsayılar öyle çarpılır ya da toplanır ki bir bilinmeyen tek başına elde edilir.

Sistemlerin üç durumu vardır. Doğrular kesişiyorsa tek çözüm, aynı doğru ise sonsuz çözüm, paralel ise hiç çözüm yoktur. Doğruların eğimleri eşitken y eksenini kestiği noktalar karşılaştırılır; kesişmeleri durumuna göre sonuç belirlenir.

Doğrusal Eşitsizlikler ve Çözüm Kümesi

Eşitsizlik, iki ifadenin birbirinden büyük, küçük, büyük eşit ya da küçük eşit olduğunu belirten bir ilişkidir. Doğrusal eşitsizliklerde tek bir bilinmeyen bulunur. İki taraf arasında işlem yaparken eşitsizlik yönünün korunması zorunludur.

Bir eşitsizliğin iki tarafına da negatif bir sayı ile çarpma ya da bölme yapılırsa eşitsizlik yönü değişir. Örneğin 5x > 20 denkleminde 5 ile bölmek yönü değiştirmez, ancak −x < 6 denklemini −1 ile çarparken yön ters çevrilir. Bu adım atlandığında çözüm kümesi tamamen yanlış bulunur.

Doğrusal eşitsizliğin çözüm kümesi her zaman bir aralıktır ve sayı doğrusunda bir yarı çizgi olarak gösterilir. Kümenin uç noktası daima denklemdeki eşitliğin sağlandığı değerdir. Eşitsizlik işaretinde eşitlik varsa uç nokta çizgiye dâhildir.

Problemlerde Model Kurma ve Denetleme

Bir doğrusal problemi çözerken izlenecek yol şöyledir: önce bilinmeyenleri tanımlanır, sonra bağımlı ve bağımsız değişkenler belirlenir, model kurulur, modelden istenen değere ulaşıldıktan sonra sonuç problem koşuluna uygunluğu açısından denetlenir.

Denetim özellikle eşitsizlik problemlerinde önemlidir. Sınırlayıcı bir koşul bulunan sorularda elde edilen değer, koşulu sağlamıyorsa modelin o aralıkta geçerli olmadığı düşünülür. Yapılan hesabın sonuçta birim tutarlılığı da denetlenmelidir; dakika ile saat, kilometre ile metre karıştırıldığında sonuç yanlış bir büyüklüğe ulaşabilir.

Örnek Soru ve Çözümü

Soru: Bir su deposuna bağlanan hortum her saat 240 litre su püskürtmektedir. Deponun 1800 litrelik kapasitesi vardır. Depo ilk kez boşken hortum çalıştırılırsa kaç saat sonra depo dolar?

Çözüm 1. adım:Değişkenleri tanımlayalım. Bağımsız değişken saat sayısı, bağımlı değişken depodaki su miktarıdır.

Çözüm 2. adım: Model kuralım: y = 240t, burada y litre, t saat cinsindendir.

Çözüm 3. adım: Depo dolduğunda y = 1800 olur. 240t = 1800 yazılır ve t = 7,5 bulunur.

Çözüm 4. adım: Denetim için 7,5 saatte püskürten su miktarı 240 × 7,5 = 1800 litre olarak hesaplanır ve sonuç doğrulanır. Depo 7,5 saat sonra dolar.

Soru: Bir sınıfın kütüphanesinde 150 kitap vardır. Her hafta 12 yeni kitap eklenmekte ve öğrenciler ortalama haftada 5 kitap ödünç almaktadır. Kaç hafta sonra kitap sayısı en az 200 olur?

Çözüm 1. adım: Haftalık net artış 12 − 5 = 7 kitaptır.

Çözüm 2. adım: Bağımlı değişken kitap sayısı olduğundan model y = 150 + 7x olur.

Çözüm 3. adım: Koşul 150 + 7x > 200 şeklinde bir eşitsizlik olarak yazılır. 7x > 50 elde edilir ve x > 50 / 7 bulunur.

Çözüm 4. adım: 50 / 7 yaklaşık 7,14 olduğundan hafta sayısının tam sayı olması koşuluna göre en küçük uygun değer 8 dir. Denetimde 7 haftada 199 kitap, 8 haftada 206 kitap bulunur. Sonuç 8 haftadan sonra kitap sayısı 200 ü geçer olur.

Sık Yapılan Hatalar

Hata 1: Eşitsizlik yönünü değiştirmeyi unutmak. Bir eşitsizliğin iki tarafı da negatif bir sayıya bölünür ya da çarpılırsa eşitsizlik yönü değişir. Bu adım atlanırsa çözüm kümesi tamamen ters çıkar.

Hata 2: Tam sayı koşulunu gözden kaçırmak. Doğrusal eşitsizliklerde çözüm bir aralıktır; ancak haftası, günü ya da kişisi sorulan durumlarda en küçük uygun tam sayı seçilmelidir.

Hata 3: Aynı doğruyu ikiye bölerek sistemi çözmek. Bir denklemin katı olan başka bir denklemle birlikte verilmesi sonsuz çözüm verir. Bu durum ayrıca belirtilmelidir.

Hata 4: Birimi modele doğru yansıtmamak. Saatte litre cinsinden kurulan bir modelde t saniye verilirse sonuç binlerce kat yanlış çıkar. Birimler baştan yazılmalıdır.

Hata 5: Eksen kesişim noktalarını karıştırmak. x ekseninde y sıfır, y ekseninde x sıfırdır. Bu iki nokta karıştırıldığında modelin taban yorumu değişir.

Hata 6: Denetim yapmadan sonucu kabul etmek. Bulunan değer problem koşulunu sağlamıyorsa ya da modelin geçerlilik aralığı dışındaysa sonuç geçersizdir. Sonuç mutlaka sınanmalıdır.

Özet

Doğrusal fonksiyonlar, iki miktar arasında sabit oran bulunan gerçek yaşam durumlarını modeller. Model y = ax + b biçiminde kurulur; a katsayısı değişim hızını ve yönünü, b başlangıç değerini gösterir. İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemleri yerine koyma ya da eşitleme yöntemiyle çözülür. Doğrular kesişirse tek çözüm, aynı doğru ise sonsuz çözüm, paralelse hiç çözüm yoktur. Doğrusal eşitsizliklerde iki tarafın da negatif sayıya bölünmesi ya da çarpılması eşitsizlik yönünü değiştirir. Çözüm kümesi bir aralıktır; tam sayı istenen durumlarda en küçük uygun tam sayı seçilir. Problemlerde bilinmeyenler tanımlanır, model kurulur, sonuç bulunur ve birimler ile koşullara uygunluk açısından denetlenir.

Günlük hayattan bir uygulama

Konuyu pekiştirmek için günlük hayattan bir uygulamaya bakmak gerekir. Aşağıdaki görev, Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler bilgisini gerçek bir işin içinde kullandırmak için hazırlandı; çözerken hangi adımı nerede kullandığımızı not etmek faydalıdır.

Uygulama sorusu: Bir su deposu 1200 litre su alabilmektedir. Hortum her dakikada 20 litre su püskürtmektedir. Depo yarısına kadar doluyken hortum çalıştırılırsa kaç dakika sonra depo dolar? Modeli kurunuz, denklemle çözünüz ve sonucu denetleyiniz.

Bu görev için 20 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Bu konuyu çalışırken işinize yarayacak notlar

• Doğrusal problem çözerken önce hangi sayının bilinmediğini yazın; denklemin kurulması bu yazımdan sonra kolaylaşır.
• Eşitsizlikte eşitsizlik yönü değişecekse o adımı ayrı bir satırda göstererek denetleme imkânı bırakın.
• Doğrusal denklem sisteminde denklemleri toplamadan önce hangi bilinmeyenin hedef olduğuna karar verin; katsayıları buna göre seçin.
• Zaman ve yol problemlerinde hızı y = hız × süre biçiminde kurup çözümü tekrar çarparak denetleyin.
• Eşitsizlik problemlerinde sonuç kesirli çıkarsa, soruda istenen büyüklüğün tam sayı olup olmadığını kontrol edin.
• Modellerde başlangıç değeri b denklemde sabit terim olarak bulunur; bu değeri doğrudan modelden okuyabilirsiniz.

Adım adım çözülmüş örnekler

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Doğrusal Model Kurma

Soru: Bir taksi şoförünün metresi 6 birim olan bir bölümde aldığı yol ile kat ettiği mesafe arasındaki ilişkiyi doğrusal fonksiyonla ifade ediniz.

1. Adım 1: Bağımsız değişken yol uzunluğu, bağımlı değişken kat edilen mesafe seçilir.
2. Adım 2: Başlangıçta yol sıfır olduğundan modelde sabit terim bulunmaz.
3. Adım 3: Metresi 6 birim olan bölümde kat edilen mesafe yol ile doğru orantılıdır, yani model y = 6x olur.
4. Adım 4: 40 birim yol kat edildiğinde y = 6 × 40 = 240 birim mesafe kat edilmiş olur.

Cevap: Model y = 6x biçimindedir; 40 birim yolda 240 birim mesafe kat edilir.

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Doğrusal Denklem Sistemi Çözümü

Soru: 2x + 3y = 12 ve x − y = 1 denklemlerinin ortak çözüm kümesini bulunuz.

1. Adım 1: İkinci denklemden y ifadesi çıkarılır: y = x − 1.
2. Adım 2: Bu ifade birinci denklemde yerine konur: 2x + 3(x − 1) = 12.
3. Adım 3: Denklem açılır: 2x + 3x − 3 = 12 ve buradan 5x = 15 bulunur, x = 3 olur.
4. Adım 4: x yerine konur: y = 3 − 1 = 2 elde edilir ve çözüm kümesi (3, 2) olur.

Cevap: Ortak çözüm kümesi (3, 2) dir.

Kavram karşılaştırma tablosu

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Kural, formül ve ölçü tablosu

Aşağıdaki tablo bu konudaki kuralları tek bakışta toplar. Karar verirken önce bu tabloya bakmak, kuralı hatırlamakta işe yarar.

Yukarıdaki ölçülerin arkasındaki kural ve formüller şunlardır:

Sık Yapılan Hatalar

Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.

• Eşitsizlik yönünü değiştirmeyi unutmak Bir eşitsizliğin iki tarafı da negatif bir sayıya bölünür ya da çarpılırsa eşitsizlik yönü değişir. Bu adım atlanırsa çözüm kümesi tamamen ters çıkar.
• Tam sayı koşulunu gözden kaçırmak Doğrusal eşitsizliklerin çözümü bir aralıktır. Gün, hafta, kişi ya da adet sorulan durumlarda en küçük uygun tam sayı seçilmelidir.
• Aynı doğruyu ikiye bölerek sistemi çözmek Bir denklemin katı olan başka bir denklemle birlikte verilmesi sonsuz çözüm verir. Bu durum ayrıca belirtilmelidir.
• Birimi modele doğru yansıtmamak Model kurulurken kullanılan birimler yazılmalıdır. Saatte litre cinsinden kurulan bir modelde saniye kullanmak sonucu kat kat değiştirir.
• Eksen kesişim noktalarını karıştırmak x ekseninde y sıfır alınır, y ekseninde ise x sıfır alınır. Bu iki nokta karıştırıldığında modelin taban yorumu yanlış olur.
• Denetim yapmadan sonucu kabul etmek Bulunan değer problem koşulunu sağlamıyorsa ya da modelin geçerlilik aralığı dışındaysa sonuç geçersizdir; sınama yapılmadan cevaplanmamalıdır.

Kısaca özet

Kısaca: Doğrusal fonksiyonlar, iki miktar arasında sabit oran bulunan gerçek yaşam durumlarını modeller ve y = ax + b biçiminde kurulur. Katsayı değişim hızını ve yönünü, sabit terim başlangıç değerini gösterir. İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemleri yerine koyma ya da eşitleme yöntemiyle çözülür; kesişen doğrular tek, aynı doğrular sonsuz, paralel doğrular ise hiç çözüm verir. Çözüm kümesi bir aralıktır v…

Derste gördüğümüz ana fikirler şunlar:

• Doğrusal modelde katsayının işareti artan ya da azalan değişimi, mutlak değeri ise birim başına değişimi gösterir.
• Eşitsizliğin iki tarafı da negatif bir sayıya bölünür veya çarpılırsa eşitsizlik yönü değişir.
• Doğrusal denklem sistemlerinde kesişen doğrular tek, aynı doğrular sonsuz, paralel doğrular hiç çözüm verir.
• Doğrusal eşitsizliğin çözüm kümesi bir aralıktır; tam sayı istenen durumlarda en küçük uygun tam sayı seçilir.
• x ekseninde y sıfır, y ekseninde x sıfırdır; bu iki kesişim noktası karıştırılmamalıdır.
• Kurulan modelde birimler baştan yazılmalıdır; birim hatası sonucu kat kat değiştirir.
• Bulunan çözüm problem koşuluna ve modelin geçerlilik aralığına uygunluğu açısından denetlenmelidir.

Kendin dene: üç soru

Bu üç soru konunun özetidir. Çözmeden önce her biri için hangi kuralı kullanıyorum diye düşün; cevap anahtarı sonda verilmiştir.

1. Bir kitapta 320 sayfa vardır ve bir öğrenci günde 24 sayfa okumaktadır. Kitabı en az kaç günde bitirir? (Şıklar: 13 gün · 14 gün · 15 gün · 12 gün)
2. Bir su tüketiminin bugünkü değeri 12 birimdir ve her ay 1 birim artmaktadır. Bu durumu modelleden doğrusal fonksiyon ile 8. aydaki değer nedir? (Şıklar: y = 12x ve 20 birim · y = 8x + 12 ve 34 birim · y = 12 − x ve 4 birim · y = 12 + x ve 20 birim)
3. y = 3x − 4 doğrusunda x = 1 için y kaçtır? (Şıklar: 7 · -1 · 1 · -7)

Cevap anahtarı: 1) 14 gün — Günlük 24 sayfa okunduğunda 13 günde 13 × 24 = 312 sayfa okunur ve bu kitap bitmeye yetmez. 14 günde 14 × 24 = 336 sayfa okunduğu için kitap tamamlanır. Tam sayı koşulu nedeniyle cevap 14 gündür.

2) y = 12 + x ve 20 birim — Artış sabit olduğundan modelin eğimi 1, başlangıç değeri 12 dir ve y = 12 + x olarak kurulur. x = 8 yazıldığında y = 12 + 8 = 20 birim bulunur.

3) -1 — Değer yerine konur: 3 × 1 − 4 = 3 − 4 = −1 bulunur. Doğrusal fonksiyonlarda bağımsız değişken negatif ya da sıfır olsa da geçerli bir çıkış değeri elde edilebilir.

Bu anlatım hakkında

Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler başlığındaki her sayısal iddia elle doğrulanabilir biçimde yazıldı: soruda verilen değer, uygulanan kural ve bulunan sonuç yan yana durur. Metin özgün yazılmıştır, başka bir kaynaktan alıntı yapılmamıştır.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Bir su deposu 1200 litre su alabilmektedir. Hortum her dakikada 20 litre su püskürtmektedir. Depo yarısına kadar doluyken hortum çalıştırılırsa kaç dakika sonra depo dolar? Modeli kurunuz, denklemle… (20 puan)
• Bir sınıfın kütüphanesinde 150 kitap vardır. Her hafta 12 kitap eklenmekte ve öğrenciler ortalama haftada 5 kitap ödünç almaktadır. Kaç hafta sonra kitap sayısının en az 200 olacağını eşitsizlik kura… (20 puan)
• 2x + 3y = 12 ve x − y = 1 doğrusal denklem sistemini çözünüz. Bulduğunuz çözüm kümesini her iki denklemde yerine koyarak denetleyiniz ve çözüm kümesinin nokta mı doğru parçası mı olduğunu açıklayınız. (10 puan)

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: 2x + 3y = 12 ve 4x + 6y = 24 denklemlerinin kaç çözümü vardır?

1. Adım 1: İkinci denklemin katsayıları incelenir ve iki ile çarpıldığında birinci denklem elde edilir.
2. Adım 2: Bu nedenle ikinci denklem birincinin katıdır ve ikisi aynı doğruyu tanımlar.
3. Adım 3: Aynı doğrunun her noktası iki denklemi de sağladığı için doğrusal denklem sisteminde sonsuz çözüm bulunur.
4. Adım 4: Bu sonuç ikinci durum olarak adlandırılır.

Sonuç/cevap: Sistemde sonsuz sayıda çözüm vardır.