Önermeler ve Bileşik Önermeler

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Önermeler ve Bileşik Önermeler konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Önermeyi ve doğruluk değerini tanımlayarak önerme olmayan cümleleri ayırt eder.
• Kazanım 2: Bileşik önermeleri 've', 'veya' ve 'değil' bağlaçlarıyla kurar ve doğruluk tablosunu adım adım oluşturur.
• Kazanım 3: De Morgan kurallarını kullanarak verilen bileşik önermenin eşdeğerini bulur.
• Kazanım 4: Totoloji ile çelişkiyi doğruluk tablosu üzerinden ayırt eder.
• Kazanım 5: Sınav sorularında karmaşık önermeleri parantez önceliğine göre değerlendirerek sonuca ulaşır.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu, dersin başlangıç adımlarından biri; öncesinde ayrı bir kavram birikimi yok. Yine de konuyu anlamak için gereken temel terimleri ilk bölümde tanımlayacağız. Kavramları tek tek öğrenmek, sonra birlikte kullanmak daha sağlıklıdır.

Önerme ve Doğruluk Değeri

Doğru ya da yanlış olduğu kesin olarak anlaşılabilen, hüküm bildiren cümlelere önerme denir. Bir önerme yalnızca iki doğruluk değerinden birine sahiptir: doğru (D) ya da yanlış (Y). Bir cümle aynı anda hem doğru hem yanlış olamaz; ikisi birden olamayacağı için ikili seçenek yeterlidir.

Soru cümleleri, emir bildirenler, dilek bildirenler ve ünlemler yargı taşımadığı için önerme sayılmaz. Örneğin Ankara Türkiye'nin başkentidir önermesi doğrudur, 2 + 3 = 6 önermesi yanlıştır, bu soruyu çöz ise bir emir olduğu için önerme değildir.

Bir önermenin doğruluk değeri kişisel görüşe göre değil, nesnel gerçekliğe ve mantık kurallarına göre belirlenir. İfade içindeki kavramlar kesinleştikçe önermenin doğruluk değeri de kesinleşir.

Bileşik Önermeler ve Bağlaçlar

İki ya da daha fazla önermenin bağlaçlarla birleştirilmesiyle oluşan önermeye bileşik önerme denir. Bağlaçlar önermeler arasındaki ilişkiyi belirler ve sonucun doğruluk değerini bu ilişki yönetir.

Ve (∨ yerine ∧) bağlacı yalnızca her iki bileşen de doğruysa önermeyi doğru yapar. Veya (∨) bağlacı en az biri doğru olduğunda yeterlidir; ikisi birden doğruysa da sonuç doğrudur. Değil (¬) işareti ise önermenin doğruluk değerini tam tersine çevirir: doğruyu yanlışa, yanlışı doğruya dönüştürür.

Doğruluk Tablosu Nasıl Kurulur?

Doğruluk tablosu, bileşik önermenin alabileceği tüm durumları satır satır gösteren çizelgedir. İki önerme için dört durum vardır: (D, D), (D, Y), (Y, D), (Y, Y). Üç önermede durum sayısı sekize çıkar.

Tablodaki her satır bir olası dünya gibidir; o satırdaki değerler yerine konarak bileşik önermenin değeri hesaplanır. Parantez içindeki işlem önce, ardından dıştaki işlem değerlendirilir.

De Morgan Kuralları

Bir bileşik önermenin değili alınırken iki şey birlikte değişir: bağlaç tersine döner ve her bileşen ayrı ayrı değillenir. Bu kural, uzun ifadeleri tek adımda sadeleştirmek için kullanılır.

Örneğin ¬(p ∧ q) ifadesinde 've' bağlacı 'veya'ya dönüşür ve sonuç ¬p ∨ ¬q olur. Aynı şekilde ¬(p ∨ q) ifadesi ¬p ∧ ¬q biçiminde yazılır. Bu eşdeğerlikler doğruluk tablosuyla her zaman sınanabilir.

Totoloji ve Çelişki

Bir bileşik önerme tablonun tüm satırlarında doğru çıkarsa buna totoloji, tüm satırlarında yanlış çıkarsa çelişki denir. Totolojiler her koşulda doğru oldukları için kanıt aracı, çelişkiler ise hiçbir koşulda gerçek olamadıkları için karşı örnek aracı olarak kullanılır.

Sınav Odaklı Yöntem

Sınavda uzun önerme sorularında önce parantez içi, sonra değil alma, en son bağlaç değerlendirilir. Değil işareti tek başına bir bileşenin değerini çevirir; yalnızca parantezin tamamını kapsıyorsa De Morgan kuralı uygulanır. Tablo kurmak yerine seçilen değerleri doğrudan yerine koyarak ilerlemek zaman kazandırır, ancak sonuç iki kez kontrol edilmelidir.

Günlük hayattan bir uygulama

Konuyu pekiştirmek için günlük hayattan bir uygulamaya bakmak gerekir. Aşağıdaki görev, Önermeler ve Bileşik Önermeler bilgisini gerçek bir işin içinde kullandırmak için hazırlandı; çözerken hangi adımı nerede kullandığımızı not etmek faydalıdır.

Uygulama sorusu: Doğruluk tablosu hazırlayarak p ∧ q, p ∨ q ve ¬p bileşik önermelerinin doğruluk değerlerini adım adım göster.

Bu görev için 20 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Dersi tekrar ederken bakacağınız notlar

• Doğruluk tablosuna p ve q sütunlarını sırayla D-D, D-Y, Y-D, Y-Y yazarak hiç durumu atlamadan ilerle.
• 'veya' bağlacında yalnızca (Y, Y) durumunda sonuç yanlıştır; bu ayrıntı soruları hızla çözdürür.
• De Morgan kuralını uygularken önce bağlacı değiştir, sonra her bileşeni tek tek değille.
• Karmaşık ifadelerde parantez içini önce değerlendirip sonucu tek bir önermeye indirge.
• Totoloji sorularının tüm satırlarını kontrol et; tek bir yanlış satır ifadeyi totoloji olmaktan çıkarır.

Adım adım çözülmüş örnekler

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Doğruluk Değeri Belirleme

Soru: p: '8 asal sayıdır.' ve q: '8 çift sayıdır.' önermeleri için p ∧ q ile p ∨ q ifadelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.

1. Adım 1: 8 yalnızca 1 ve kendisine bölünmediğinden p önermesi yanlıştır, yani p ≡ Y.
2. Adım 2: 8 ikiye bölünebildiğinden q önermesi doğrudur, yani q ≡ D.
3. Adım 3: 've' bağlacı iki doğruyu gerektirdiğinden p ∧ q ≡ Y ∧ D ≡ Y olur.
4. Adım 4: 'veya' bağlacı tek doğruyla yettiğinden p ∨ q ≡ Y ∨ D ≡ D bulunur.

Cevap: p ∧ q ≡ Y, p ∨ q ≡ D

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Doğruluk Tablosu Satır Sayısı

Soru: p, q, r ve s olmak üzere dört önermenin doğruluk tablosunda kaç satır vardır? İlk iki satırı yazınız.

1. Adım 1: Satır sayısı 2ⁿ kuralıyla bulunur ve burada n = 4 önerme vardır.
2. Adım 2: 2⁴ = 16 olduğundan tabloda 16 satır bulunur.
3. Adım 3: İlk satır tüm bileşenlerin doğru olduğu (D, D, D, D), ikinci satır s bileşeninin yanlış olduğu (D, D, D, Y) durumdur.

Cevap: 16 satır; ilk iki satır (D, D, D, D) ve (D, D, D, Y)

Kavram karşılaştırma tablosu

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Kural, formül ve ölçü tablosu

Aşağıdaki tablo bu konudaki kuralları tek bakışta toplar. Karar verirken önce bu tabloya bakmak, kuralı hatırlamakta işe yarar.

Sık Yapılan Hatalar

Aşağıdaki hatalar bu konuda en sık görülenlerdir. Her biri için önce hatanın kendisi, sonra neden yanlış olduğu ve doğrusu anlatılmıştır.

• Soru cümlesini önerme saymak: 'Bugün hava nasıl?' sorusu yargı bildirmediği için önerme değildir.
• 'veya' ile 've'yi karıştırmak: p ∨ q tek doğruyla doğrudur, p ∧ q ise iki doğruyu da şart koşar.
• Değili alırken bağlacı değiştirmemek: ¬(p ∧ q) ifadesinin eşdeğeri ¬p ∧ ¬q değil, ¬p ∨ ¬q'dır.
• Doğruluk tablosunu eksik kurmak: n önermenin tablosunda 2ⁿ satır vardır; dört satırlık tablo yalnızca iki önermeye yeter.
• Totoloji ile çelişkiyi tersine almak: Tüm satırda doğru olana totoloji, tüm satırda yanlış olana çelişki denir.

Özet

Kısaca: Önerme, doğru ya da yanlış hüküm bildiren cümledir ve doğruluk değeri D ile Y arasında seçimdir. Bileşik önermeler 've', 'veya' ve 'değil' bağlaçlarıyla kurulur; p ∧ q iki doğruyu, p ∨ q tek doğruyu gerektirir. De Morgan kuralları değili alırken bağlacı değiştirmemizi söyler. Tüm satırda doğru olan ifade totoloji, tüm satırda yanlış olan ifade çelişkidir ve her ikisi de doğruluk tablosuyla sınanır.

Derste gördüğümüz ana fikirler şunlar:

• Bir önermenin doğruluk değeri yalnızca doğru (D) veya yanlış (Y) olabilir, ikisi birden olamaz.
• Soru, emir, dilek ve ünlemler yargı bildirmediği için önerme olarak değerlendirilmez.
• n önermenin doğruluk tablosunda 2ⁿ satır bulunur; dört önermede 16 satır vardır.
• 've' bağlacında tek bir yanlış bileşen önermeyi tamamen yanlış yapar.
• De Morgan kuralında bağlaç ile tüm bileşenler birlikte değişir, yalnızca biri değil.
• Her satırda doğru çıkan bileşik önerme totoloji, her satırda yanlış çıkan çelişkidir.

Kendini dene

Aşağıdaki sorular konunun farklı yönlerini yoklar. Önce kendin çöz, sonra cevap anahtarına bak; eğer bir soruyu yanlış yaptıysan yukarıdaki ilgili bölüme geri dön.

1. x = 3 için (x > 2) ⇒ (x > 5) koşullu önermesinin doğruluk değeri nedir? (Şıklar: D · Y · Belirsiz · x değerine göre değişir)
2. ¬(p ∨ q) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? (Şıklar: ¬p ∨ ¬q · ¬p ∧ ¬q · p ∧ q · p ∨ ¬q)
3. Aşağıdaki cümlelerden hangisi bir önermedir? (9. sınıf)? (Şıklar: Sınavı kazanabilir miyim? · Lütfen kapıyı kapat. · 5 çift bir sayıdır. · Keşke yağmur yağsa.)

Cevap anahtarı: 1) Y — x = 3 için x > 2 doğru, x > 5 yanlıştır; doğru bir öncülden yanlış sonuç çıktığı için önerme yanlıştır.

2) ¬p ∧ ¬q — De Morgan kuralına göre değili alırken bağlaç değişir ve her bileşen ayrı ayrı değillenir; sonuç ¬p ∧ ¬q olur.

3) 5 çift bir sayıdır. — Yalnızca '5 çift bir sayıdır' cümlesi kesin bir hüküm bildirir; diğerleri soru, emir ve dilek cümleleri olduğu için önerme değildir.

İlgili konular

Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:

• Koşullu Önermeler ve Niceleyiciler — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Algoritma Temelli Problemler — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Mantık Bağlaçları ve Niceleyicilerin Algoritmik Problemlerde Kullanımı — aynı ünitede, bir sonraki adım.

Kaynak notu

Bu derste Önermeler ve Bileşik Önermeler konusu için kullanılan sayısal değerlerin tamamı adım adım gösterilerek hesaplandı; yaklaşık değer gereken yerde yaklaşık ifadesi açıkça yazıldı. Bu anlatım başka bir kitaptan cümle aktarmadan, konunun tanım ve kural düzeni yeniden yazılarak hazırlandı.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Doğruluk tablosu hazırlayarak p ∧ q, p ∨ q ve ¬p bileşik önermelerinin doğruluk değerlerini adım adım göster. (20 puan)
• Totoloji ile çelişkiyi birer örnek üzerinden karşılaştır ve bu örnekleri doğruluk tablosuyla doğrula. (10 puan)
• Önermeyi ve doğruluk değerini tanımlayarak önerme olmayan cümleleri ayırt eder. Bu bağlamda, 'Bir gün güneşin altında yürüyüş yapmak isterim' cümlesini önerme olmayan cümle olarak ayırt ederek nedeni… (15 puan)