Denklem ve Eşitsizlikler

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Denklem ve Eşitsizlikler başlığını ele alacağız. Önce kavramın kuralını yazacağız, sonra o kuralın sayı üzerinde nasıl işlediğini adım adım göstereceğiz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Eşitsizlik kavramını açıklar ve sayı ekseninde gösterir.
• Kazanım 2: Eşitsizliğin iki tarafında yapılan işlemlerde işlem yönünü doğru kullanır.
• Kazanım 3: Birinci dereceden eşitsizlikleri adım adım çözer.
• Kazanım 4: Cümle ya da durumları tek bir denklemle ifade eder ve çözer.
• Kazanım 5: Gerçek hayat durumlarını eşitsizlik kurarak modeller.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konu, Birinci Dereceden Denklemler başlığında öğrendiklerimizin üzerine kurulur. Önceki konudaki kavram burada yeniden kullanılıyor; bu yüzden o adımı atlamamak önemlidir.

• Birinci Dereceden Denklemler — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Cebirsel İfadeler — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Eşitsizlik Nedir?

Bir sayının başka bir sayıdan büyük, küçük, büyük eşit ya da küçük eşit olduğunu belirten ilişkiye eşitsizlik denir. Eşitlik iki tarafın aynı olduğunu söylerken eşitsizlik iki tarafın birbirinden farklı olduğunu ve hangisinin büyük ya da küçük olduğunu söyler. Sayının yerine harf konduğunda x < 5, x ≥ 2 gibi biçimler yazılır.

Sayı Ekseninde Eşitsizlikler

Sayı ekseninde bir noktanın solu küçük sayıları, sağı büyük sayıları gösterir. Eşitsizlik işareti ile birlikte noktanın kendisi kullanılıyorsa o değer çözüme dâhildir, kullanılmıyorsa dışarıda bırakılır. Örneğin x ≤ 3 ifadesinde 3 sayısı çözüme dâhilken x < 3 ifadesinde 3 sayısı dışarıdadır. Bu ayrım sınavlarda en sık atlanan noktadır.

Eşitsizliklerde İşlem Yönü

Eşitsizliğin iki tarafına aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa işlem yönü değişmez. Ancak iki taraf çarpılır veya bölünürken çarpılan ya da bölünen sayının negatif olup olmadığına bakılır. Sayı pozitifse yön korunur, negatifse ters çevrilir. Bu kural denklemlerdeki yön değiştirmeyi bilenler için de önemlidir.

• Her iki tarafa pozitif sayı eklendiğinde eşitsizlik yönü aynı kalır.
• Eşitsizliğin iki tarafı negatif sayıya bölünürse yön değişir.
• Bir eşitsizliği çarpma ya da bölme dışındaki işlemle değiştirmek yönü bozmaz.
• Bileşik eşitsizliklerde her iki koşulun da sağlanması gerekir.

Eşitsizlik Çözüm Adımları

Birinci dereceden bir eşitsizlik dört adımda çözülür. 1. adımda bilinmeyeni tek tarafa toplanır, 2. adımda sayısal terimler karşıya alınır, 3. adımda denklemde yapılan işlem yapılır ve 4. adımda sonuç sınır olarak yazılır. Son adımda bulunan sınırın doğru bölüm yönüyle elde edildiği mutlaka denetlenmelidir.

Denklem ve Eşitsizlik İlişkisi

Bir cümlede büyüklük, küçüklük, en az, en çok, fazla ya da eksik gibi karşılaştırma sözcükleri varsa denklem yerine eşitsizlik kurulur. Örneğin bir sınıftaki kız sayısı erkek sayısından fazladır ve toplam 30 öğrenci vardır cümlesinde iki koşul birden vardır; bu koşullar tek bir eşitsizlikle birleştirilerek çözülebilir. Eşitsizlikler de denklemler gibi cebirsel ifadelerle gösterilir.

Özet: Eşitsizlik iki büyüklüğün birbirinden farklı olduğunu ve hangisinin büyük ya da küçük olduğunu gösterir. Sayı ekseninde sol küçük, sağ büyük değerleri temsil eder. Çözümde iki tarafa sayı eklenip çıkarılırken yön değişmez, çarpma ve bölmede sayının negatifliğine göre yön korunur ya da ters çevrilir. Cümlede karşılaştırma sözcüğü varsa denklem yerine eşitsizlik kurulur.

Sık Yapılan Hatalar: Eşitlik ile eşitsizlik işaretini karıştırmak, negatif sayıya bölerken işlem yönünü ters çevirmemek, uç değerin çözüme dâhil olup olmadığını gözden kaçırmak ve bulunan sınırı denetlememek en sık görülen hatalardır. Ayrıca cümledeki koşulların hepsini tek bir eşitsizlikte birleştirmemek sonucun eksik kalmasına yol açar.

Günlük hayattan bir uygulama

Bu derste öğrendiklerimizi günlük hayatta görmek, konuyu kalıcı hale getirir. Aşağıdaki görevde Denklem ve Eşitsizlikler bilgisi bir işin içinde kullanılıyor; çözümü kendiniz yazmayı deneyin.

Uygulama sorusu: Kendi günlük hayatınızdan en az ve en çok ifadelerini içeren iki cümle yazar mısınız? Her cümleyi tek bir eşitsizlikle ifade edip çözünüz.

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Dersi tekrar ederken bakacağınız notlar

• Önce cümlede karşılaştırma sözcüğü ara, varsa eşitsizlik kur.
• Bölme yapmadan önce bölenecek sayının pozitif mi negatif mi olduğunu yaz.
• Uç değerin çözüme dâhil olup olmadığını sayı ekseninde nokta ile belirt.
• Bileşik eşitsizliklerde iki koşulu ayrı ayrı çözüp sonra birleştir.
• Bulduğun sınırı sorudaki bir ya da iki sayıyı yerine koyarak denetle.

Çözülmüş örnek adımları

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Temel Eşitsizlik Çözümü

Soru: 3x + 1 > 7 eşitsizliğini çözünüz.

1. Adım 1: Her iki taraftan 1 çıkarılır: 3x > 6.
2. Adım 2: İki taraf 3 sayısına bölünür, 3 pozitif olduğu için yön korunur.
3. Adım 3: Bölme sonucunda x > 2 sınırı elde edilir.
4. Adım 4: Sayı ekseninde 2'nin sağı işaretlenir.

Cevap: x > 2

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: İki Tarafı da Kayan Denklem

Soru: 6x − 4 > 3x + 8 eşitsizliğini çözünüz.

1. Adım 1: 3x çarpımı diğer tarafa alınır: 6x − 3x > 8 + 4.
2. Adım 2: Benzer terimler toplanır: 3x > 12.
3. Adım 3: 3 sayısına bölünür ve yön korunur.
4. Adım 4: Sonuç x > 4 olarak bulunur.

Cevap: x > 4

Kavram, anlam ve sık karıştırılan karşılık

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Konudaki kural ve ölçü özeti

Konudaki kural ve ölçüleri tek tabloda topladık. Bu tablo, tekrar anlarında ilk bakılacak yerdir.

Sık karşılaşılan yanlışlar

Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.

• Eşitlik ile eşitsizlik işaretini karıştırmak: Denklemde eşitlik, eşitsizlikte büyüklük ya da küçüklük işareti kullanılır; yanlış işaret sonucu tümden değiştirir.
• Negatif sayıya bölerken yönü korumak: Negatif sayıya bölme işlem yönünü ters çevirir, atlanırsa sınır yanlış tarafta kalır.
• Uç değeri almak ya da almamak: Eşitlik işareti varsa uç değer çözüme dâhildir, yalnızca büyüklük ve küçüklük varsa dışarıdadır.
• Karşılaştırma cümlesine denklem kurmak: En az, en çok, fazla ve eksik sözcükleri varsa eşitsizlik kurulmalıdır.
• Sonucu denetlememek: Bulunan sınır sorudaki koşullarla karşılaştırılmazsa hatalı çözüm fark edilemez.

Kısaca özet

Kısaca: Eşitsizlik, iki büyüklüğün birbirinden farklı olduğunu ve hangisinin büyük ya da küçük olduğunu gösteren ilişkidir. Sayı ekseninde sol küçük, sağ büyük değerleri belirtir; eşitlik işareti kullanılan uç değer çözüme dâhildir. Çözüm denklem çözümüyle aynı dört adımda yapılır, ancak çarpma ve bölmede sayının negatifliğine göre işlem yönü korunur ya da ters çevrilir. Cümlede en az, en çok, fazla ve eksik sözcükleri varsa denklem yerine eşitsizlik kurulur. Bulunan sınır mutlaka soru koşullarıyla karşılaştırılarak denet…

Anlatımı bir cümlede özetleyeceksek, şunu söyleyebiliriz:

• Eşitsizlik işaretleri >, <, ≥ ve ≤ dört tanedir ve yönleri farklıdır.
• Eşitlik işareti kullanılırsa uç değer çözüme dâhildir.
• Eşitsizlik çözümü sonucu tek bir sayı değil bir sınırdır.
• İki tarafa aynı sayı eklemek ya da çıkarmak yönü değiştirmez.
• Çarpma ve bölmede sayının negatif olması yönü ters çevirir.
• Cümlede en az, en çok, fazla, eksik sözcükleri varsa eşitsizlik kurulur.
• Bileşik eşitsizliklerde iki koşulun da sağlanması gerekir.

Kendin dene: üç soru

Bu üç soru konunun özetidir. Çözmeden önce her biri için hangi kuralı kullanıyorum diye düşün; cevap anahtarı sonda verilmiştir.

1. Çevreleri eşit olan bir kare ve dikdörtgende karenin bir kenarı 9 birim, dikdörtgenin kenarları 3 birim ve x birim ise x kaçtır? (Şıklar: 12 · 15 · 16 · 14)
2. 4x − 3 ≤ 9 eşitsizliği çözüldüğünde x için hangi sınır bulunur? (Şıklar: x ≥ 3 · x ≤ 3 · x ≥ 12 · x ≤ 12)
3. Aşağıdaki eşitsizliklerden hangisi doğrudur? (Şıklar: 7 > 4 · 2 > 5 · 0 > 2 · 3 > 6)

Cevap anahtarı: 1) 15 — Çevreler eşit olduğundan 4 · 9 = 2 · (3 + x) yazılır. 4 · 9 = 36 ve 2 · 3 = 6 bulunur. 36 − 6 = 30 ve 30 ÷ 2 = 15 sonucu elde edilir, x = 15 olur.

2) x ≤ 3 — Eşitsizliğin iki tarafına 3 eklenir ve 4x ≤ 12 elde edilir. 4 sayısı pozitif olduğu için bölmede işlem yönü değişmez ve x ≤ 3 bulunur.

3) 7 > 4 — Büyükten küçüğe sıralama yapılır. 4 sayısının 7 sayısından küçük olduğu görülür, yani 7 > 4 eşitsizliği doğrudur.

Yakın konular

Konunun yerine oturması için komşu başlıkları da bilmek gerekir. Şunlarla birlikte çalışmak konuyu pekiştirir:

• İspat — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Oran ve Orantı — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Yüzde Problemleri — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Orantılı Durumlar — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Bu anlatım hakkında

Denklem ve Eşitsizlikler başlığındaki her sayısal iddia elle doğrulanabilir biçimde yazıldı: soruda verilen değer, uygulanan kural ve bulunan sonuç yan yana durur. Metin özgün yazılmıştır, başka bir kaynaktan alıntı yapılmamıştır.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Kendi günlük hayatınızdan en az ve en çok ifadelerini içeren iki cümle yazar mısınız? Her cümleyi tek bir eşitsizlikle ifade edip çözünüz. (15 puan)
• 6 − 2x ≥ 11 eşitsizliğini adım adım çözerek hangi adımda işlem yönünün değiştiğini açıklar mısınız? Sonucun doğruluğunu bir sayı seçerek denetleyiniz. (10 puan)
• Bir sınıfta 8 kişilik sıralar vardır. Sınıfa yeni öğrenciler katıldıktan sonra öğrenci sayısının sıra sayısının 6 katından fazla olduğu biliniyor. Öğrenci sayısı en az kaç olduğuna göre sınıfın dolu… (25 puan)

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: Bir kurumda 8 kişilik odalar vardır. 34 kişi yerleştirilecek. En az kaç oda gerekir?

1. Adım 1: Oda sayısına x denir ve her oda en fazla 8 kişi alır.
2. Adım 2: Toplam kişi oda sayısının 8 katını aşmamalıdır.
3. Adım 3: 8x ≥ 34 yazılır ve 8 sayısına bölünür.
4. Adım 4: x ≥ 4,25 olduğundan en az tam sayı 5 olarak bulunur.

Sonuç/cevap: 5 oda

Karşılaştırma Tablosu