Cebirsel Düşünme: Eşitlik ve İşlem Özellikleri

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu konuda sayıların yerine harf ya da kutu koyarak cebirsel ifadeler kurmayı, eşitliğin iki tarafına aynı işlemi uygulayarak bilinmeyeni bulmayı ve toplama ile çarpmada işlem özelliklerini kullanmayı öğreneceğiz. Ayrıca bir işi adım adım sıraya koymanın neden algoritma adı taşıdığını göreceğiz.

Ön Bilgi: Neleri Biliyoruz?

Konuya başlamadan önce şunları yapabiliyor olman gerekiyor:

• Dört işlemi zihinden ve yazılı olarak yapabilmek.
• Parantezin önce hesaplandığını bilmek.
• Bir eşitliğin iki tarafında aynı sayının bulunduğunu görebilmek.

Bunlar tamamsa aşağıdaki adımların hepsini uygulayabilirsin.

Bilinmeyenle Düşünme

Sayısını bilmediğimiz bir niceliği x gibi bir harfle temsil ederiz. Bu temsil sayesine sayının değerini bilmeden ilişkileri kurabiliriz. Örneğin bir kutuda kaç top olduğunu bilmiyorsak bunu x ile yazarız. Yanına 4 top konursa toplam x + 4 olur; iki kutu varsa toplam 2 x olur.

Cebirsel ifadeyi okurken sözcükleri işleme çevirmek gerekir. Aşağıdaki karşılıklar sınavlarda sürekli karşımıza çıkar.

Eşitlikte iki tarafın da doğru ifade ettiğine dikkat et. Örneğin bir sayının 4 katının 3 eksiği 17 ise bu 4 x − 3 = 17 biçiminde yazılır; 17'nin 4 katının 3 eksiği anlamına gelmez.

Eşitliğin Korunumu

Eşitlik bir terazidir: iki kefede aynı ağırlık vardır. Kefelerin ikisine de aynı ağırlığı eklersen veya ikisinden de aynı ağırlığı çıkarırsan denge bozulmaz. Bu yüzden eşitliğin iki tarafına aynı işlem uygulamak eşitliği bozmaz.

Örneğin 9 = 4 + 5 eşitliğinin iki tarafına da 3 ekleyelim: 12 = 4 + 5 + 3 olur ve eşitlik yine doğrudur, çünkü 4 + 5 + 3 gerçekten 12'dir. Aynı şekilde 12 = 8 + 4 eşitliğinin iki tarafından da 8 çıkarırsak 4 = 0 + 4 olur ve eşitlik yine doğrudur. Buna eşitliğin korunumu denir ve cebirdeki bütün çözümler bu ilkeye dayanır.

Yalnızca bir tarafa işlem yapmak dengeyi bozar. Mesela 12 = 8 +? eşitliğinde 12'nin bir tarafından 8 çıkarırsak denge bozulur; bunun yerine iki taraftan da 8 çıkarırız. Böylece? tek başına kalır ve 4 =? elde ederiz, yani bilinmeyen 4'tür.

İşlem Özellikleri

Değişme özelliği yalnızca toplama ve çarpma işleminde geçerlidir; sayıların yerleri değiştirilince sonuç değişmez: 9 + 6 = 6 + 9 ve 4 · 7 = 7 · 4. Toplama ile çıkarmanın, çarpma ile bölmenin değişme özelliği yoktur; 9 − 6 ile 6 − 9 birbirine eşit değildir.

Birleşme özelliği parantezin yerini değiştirmeye izin verir: 7 + 5 + 3 yazılışında 7 + (5 + 3) eşdeğeridir. Bu özellik zihinden hesabı kolaylaştırır: 6 + 9 + 4 yerine önce 6 ile 4'ü toplayıp 10 + 9 = 19 bulmak çok daha kolaydır. Aynı şekilde 8 · 3 · 2'de önce 8 · 3 = 24 yapıp 24 · 2 = 48 bulunur.

Dağılma özelliği çarpma ile tolamayı birleştirir: a · (b + c) = a · b + a · c. Bu kural çok işe yarar, çünkü 36 gibi bir sayıyı zihinden çarpmak zor iken 36'yı 30 + 6 olarak ayırıp 7 · 30 + 7 · 6 = 210 + 42 = 252 şeklinde hesaplamak kolaydır. Dağılma özelliği çarpma ile tolamayı birleştirir; bölme ile toplama arasında böyle bir kural yoktur. 24: (4 + 4) = 3 iken 24: 4 + 24: 4 = 12 olur, yani bölmede dağılma yapılırsa sonuç yanlış çıkar.

Günlük Hayattan Bir Örnek

Sınıfa öğrencilere 2'şer kalem dağıtılıyor ve elde 5 kalem artıyorsa, sınıfta kaç öğrenci olduğunu bulmak için bilinmeyeni x alırız. Dağıtılan kalemler 2 x, artan kalemler 5 olduğundan eşitlik 2 x + 5 = 21 olur. İki taraftan da 5 çıkarınca 2 x = 16 kalır. İkiye bölünce x = 8 bulunur. Yani sınıfta 8 öğrenci vardır; doğrulama için 8 · 2 = 16 ve 16 + 5 = 21 yazılır.

Benzer bir günlük durum: bir atölyede her makineye aynı sayıda işlenek konuluyor, 6 makineye toplam 42 işlenek konuluyor. Bir makineye kaç işlenek düştüğünü bulmak için x alınır ve 6 x = 42 yazılır. İki tarafta da 6'ya bölersek x = 7 çıkar. Burada önemli olan, bölme işlemini de iki tarafa uygulamaktır.

İleri Örnek

Bilinenleri iki tarafta toplayıp denklemi tek bilinmeyene indirgemek cebirin en sık kullanılan adımıdır. x + 7 = 3 x − 1 eşitliğinde iki yanında da x ve sayı vardır. Önce eşitliğin iki tarafına da 1 ekleriz: x + 8 = 3 x. Sonra iki taraftan da x çıkarırız: 8 = 2 x. En son ikiye bölersek x = 4 bulunur. Yerine koyunca 4 + 7 = 11 ve 3 · 4 − 1 = 11 olur, iki taraf da 11'e eşittir.

Toplamı ve farkı birlikte verilen problemler de aynı mantıkla çözülür. İki sayının toplamı 35, farkı 5 ise büyük sayı (35 + 5): 2 = 20, küçük sayı (35 − 5): 2 = 15 olur. Kontrol: 20 + 15 = 35 ve 20 − 15 = 5. Bu tür problemlerde iki sayıyı yerine yazarak tek bir denklem kurmak da mümkündür: büyük sayı x, küçük sayı x − 5 olursa x + (x − 5) = 35 yazılır ve x = 20 bulunur.

Adım Adım Çözülmüş Örnek: Sınıftaki Ayar

Soru: Bir sınıfta erkek öğrenci sayısı kız öğrenci sayısından 4 fazladır. Sınıftaki toplam öğrenci sayısı 26 ise sınıfta kaç kız öğrenci vardır?

Cevap: Kız öğrenci sayısını x alıyoruz ve adım adım ilerliyoruz.

1. Bilinmeyeni seç. Kız öğrenci sayısı x olsun. Erkek sayısı ondan 4 fazla olduğuna göre x + 4 olur.
2. Eşitliği kur. Toplam 26 olduğundan x + (x + 4) = 26 yazılır.
3. Parantezi aç. Dağılma özelliğiyle x + x + 4 = 26 olur; yani 2 x + 4 = 26.
4. Bilineni iki taraftan çıkar. İki taraftan da 4 çıkarınır: 2 x = 22.
5. Bilinmeyeni yalnızlaştır. İki tarafta da 2'ye bölünür: x = 11.
6. Sonucu yaz. Sınıfta 11 kız öğrenci vardır.
7. Kontrol et. Erkek sayısı 11 + 4 = 15 olur. 11 + 15 = 26 olduğu için cevap doğrudur.

Karşılaştırma Tablosu

Aşağıdaki tablo, birbirine benzeyen durumları ayırt etmeyi kolaylaştırır.

Sık Yapılan Hatalar

• Ara adımda durmak. 4 x − 3 = 17 denkleminde 4 x = 20 bulduktan sonra x'in 20 olmadığı, x'in 5 olduğu unutulur. Cevap daima bilinmeyenin kendisidir, ara sonuç değil.
• İki taraftan farklı işlem yapmak. Bir taraftan 4 ekleyip diğer taraftan 4 çıkarmak dengeyi bozar. Kural: iki tarafa aynı işlem.
• Bölme özelliğini dağılma sanmak. Bölme ile toplama arasında dağılma yoktur. 24: (4 + 4) sonucunu parantezden dağıtarak bulmak yanlıştır.
• Değişme özelliğini çıkarmada kullanmak. 18 − 7 = 7 − 18 değildir. Değişme özelliği yalnızca toplama ve çarpma için geçerlidir.
• Birleşme ile değişmeyi karıştırmak. Değişme özelliği sayıların yerini, birleşme özelliği parantezin yerini değiştirir.
• Kontrol etmemek. Bulunan değeri özgün eşitliğe yerine koymadan cevabı kabul etmek hatayı gizler.
• Sözcüğü yan çevirmek. Bir sayının 4 katının 3 eksiği 17 ifadesi 4 x − 3 = 17'dir; 4 (x − 3) değildir.

Özet

• Cebirsel ifadede bilinmeyen bir harfle gösterilir ve sözcükler işleme çevrilir.
• Eşitliğin iki tarafına aynı işlem uygulamak eşitliği bozmaz; buna eşitliğin korunumu denir.
• Toplamada ve çarpmada değişme özelliği, toplamada birleşme özelliği geçerlidir.
• Dağılma özelliği çarpma ile toplama arasında geçerlidir; bölmede geçerli değildir.
• Bilinmeyen bulunduktan sonra cevap, bilinmeyenin kendisidir; ara sonuç değildir.
• İşlem özellikleri zihinden hesabı kolaylaştırır: 6 + 9 + 4 yerine 10 + 9, 7 · 36 yerine 7 · 30 + 7 · 6.
• Bir işin adım adım ve sırayla yazılması algoritmadır; adım sırası değişirse sonuç değişebilir.
• Bulunan değeri özgün eşitlikte kontrol etmek hataları yakalar.

Kendini Dene

Bu soruları defterine çöz, sonra cevaplarla karşılaştır.

1. Bir sayının üç fazlası cebirsel olarak nasıl yazılır? Cevap: x + 3.
2. 18 = 11 +? eşitliğinde bilinmeyen kaçtır? Cevap: 7.
3. 3 · (x + 2) = 33 eşitliğinde x kaçtır? Cevap: x = 9; çünkü iki tarafta da 3'e bölünür.
4. Bir sayının 4 katının 3 eksiği 17 ise bu sayı kaçtır? Cevap: x = 5; 4 x = 20 bulunduğunda ara sonuç olan 20 değil, sayının kendisi olan 5 cevaptır.
5. Toplamları 35 ve farkları 5 olan iki sayıdan büyüğü kaçtır? Cevap: (35 + 5): 2 = 20.
6. 7 · 36 işlemini dağılma özelliğiyle açıp sonucu bulunuz. Cevap: 7 · 30 + 7 · 6 = 210 + 42 = 252.
7. Aşağıdakilerden hangisi eşitliğin korunması kuralına uymaz? Cevap: yalnızca sol taraftan 4 çıkarmak.