Çemberde Açı, Yay ve Teğet İlişkileri

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz

Çemberin merkez, yarıçap, çap, kiriş ve yay gibi temel elemanlarını tanıyacak ve merkez açı ile çevre açı arasındaki ilişkiyi öğreneceğiz. Yarıçapa dik kirişin tabanı yarıya böldüğünü, teğetin yarıçapa dik olduğunu ve bir dış noktadan çizilen iki teğetin uzunluklarının eşit olduğunu kullanarak hesaplar yapacağız. Ayrıca çokgenlerin iç açıları toplamını (n-2)·180° formülüyle ve dış açılar toplamını 360° olarak hesaplayıp çemberle birleştireceğiz.

Ön bilgi

Bu bölümü anlayabilmek için merkezden eşit uzaklıktaki noktaların çember oluşturduğunu ve açı ölçülerini bilmek yeterlidir.

• Merkez: Çemberi tanımlayan ve her noktadan eşit uzaklıkta bulunan sabit noktadır.
• Yarıçap: Merkezden çember üzerindeki herhangi bir noktaya olan doğru parçasıdır.
• Kiriş: Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır.

Kavramlar ve Temel Tanımlar

Çap: Merkezden geçen kirişe çap denir ve uzunluğu yarıçapın iki katıdır. Çember üzerindeki iki nokta ile merkezin oluşturduğu açıya merkez açı, çember üzerindeki bir noktadan aynı yaya bakılan açıya çevre açı denir. Aynı yaya bakan çevre açı, merkez açının yarısıdır; yarıçapın bir uç noktasındaki çevre açı ise 90° dir. Bir doğru çemberi yalnız bir noktada keserse ona teğet denir; teğet, temas noktasındaki yarıçapa diktir. Çemberi iki noktada kesen doğruya kesen denir; kenarı kesen ve diğerinin uzantısı olan açıya teğet-kiriş açısı adı verilir ve bu açı da gördüğü yayın yarısı kadardır. Merkezden kirişin orta noktasına çizilen doğru kirişe diktir; böylece kiriş tabana iki eş parçaya ayrılır ve yayı da yarılar. Bir çokgenin iç açıları toplamı (n-2)·180°, dış açılarının toplamı ise 360° dir; bu toplamlar kenar sayısı ne olursa olsun dış açılar için sabittir.

Basit örnek

Bir çemberde 100° lik bir yaya bakan merkez açı doğrudan 100° dir. Aynı yaya bakan çevre açı ise merkez açının yarısı olacağından 50° bulunur. Çevre açı çemberin hangi noktasından bakılırsa bakılsın aynı ölçüde kalır; çünkü hepsi aynı yayı görür.

Adım adım çözüm

Bir çemberde kirişin uzunluğu 8 cm ve merkezin bu kirişe olan uzaklığı 3 cm ise yarıçapı bulalım. Birinci adım: merkezden kirişin orta noktasına çizilen doğru kirişe dik olduğundan dik üçgen oluşur. İkinci adım: kiriş yarısı 8/2 = 4 cm ve uzaklık 3 cm olur. Üçüncü adım: r² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 yazılır ve karekök alınarak r = 5 cm bulunur. Bu örnek merkezden kirişe olan uzaklık arttıkça kirişin küçüldüğünü de gösterir.

İleri örnek

Düzgün bir beşgenin bir iç açısının ölçüsünü hesaplayalım. İç açılar toplamı (5-2)·180° = 3·180° = 540° olur. Düzgün beşgende bütün iç açılar eşit olduğundan bir iç açı 540°/5 = 108° bulunur. Dış açılar toplamı 360° olacağından bir dış açı da 72° dir; 108° + 72° = 180° eşitliği iç açı ile dış açının bütünler oluşturduğunu doğrular.

Kavram karşılaştırma tablosu

Aşağıdaki tabloda çemberin temel elemanlarının özellikleri ve açı ilişkileri yan yana verilmiştir.

Sık yapılan hatalar

Merkez açı ile çevre açı karıştırılmamalıdır; aynı yayı gören çevre açı her zaman merkez açının yarısıdır. Teğetin yarıçapa dik olması fark edilmezse teğet uzunluğu hesabı yanlış kurulur. İç açılar toplamı formülü her çokgende geçerlidir; düzgün çokgende tek bir açının ölçüsünü bulmak için toplamın kenar sayısına bölünmesi gerekir, bu adım atlanmamalıdır. Dış açılar toplamının kenar sayısına bağlı olduğunu sanmak yaygın bir hatadır; bu toplam her zaman 360° dir.

Özet

Çap merkezden geçen kiriş olup uzunluğu yarıçapın iki katıdır. Aynı yaya bakan merkez açı ile çevre açının ilişkisinde çevre açı merkez açının yarısıdır; yarıçap üzerindeki çevre açı 90° dir. Teğet temas noktasındaki yarıçapa dik olup bir dış noktadan çizilen iki teğetin uzunlukları eşittir; teğet-kiriş açısı ilgili yayın yarısıdır. Merkezden kirişe çizilen uzaklık ile yarıçap ve kiriş yarısı bir Pisagor üçgeni oluşturur. Çokgenlerin iç açıları toplamı (n-2)·180°, dış açılar toplamı 360° dir.

Kendini dene

Merkeze uzaklığı 7 cm olan bir kirişin yarısı 24 cm ise yarıçapın 25 cm çıktığını hesaplayarak kontrol et. Ayrıca düzgün bir ongende bir iç açının 144° olduğunu formülleri kullanarak doğrula.