Eşitsizlik Sistemleri ve Uygulamaları

Konu Anlatımı

İki Bilinmeyenli Eşitsizlikler

ax + by + c > 0 gibi ifadelerde çözüm kümesi bir yarı düzlemdir. Sınır doğrusu çizilir; eşitsizliğin yönüne göre bir taraf taranır.

Çözüm Bölgesi

Birden fazla eşitsizliğin ortak çözümü, yarı düzlemlerin kesişimidir. Bu bölge genellikle çokgen biçimindedir.

Uygulama

Kaynak kısıtları, bütçe sınırları ve üretim planlaması gibi problemler eşitsizlik sistemleriyle modellenir.

Yarı Düzlem Çizim Kuralları

ax + by + c > 0 eşitsizliğinin çözümü bir yarı düzlemdir. Önce sınır doğrusu ax + by + c = 0 çizilir: eşitsizlik < veya > ise sınır kesikli, ≤ veya ≥ ise sürekli çizilir. Sonra orijin (0, 0) test noktası olarak kullanılır; eşitsizlik sağlandığında orijinin bulunduğu taraf taranır. Orijin sınır doğrusunun üzerindeyse (0, 0) yerine örneğin (1, 0) denenir. Tarama yönünü ezberlemek yerine her zaman test ile doğrulamak hatayı sıfırlar.

Çözüm Bölgesinin Köşe Noktaları

Birden fazla eşitsizlikten oluşan sistemin çözümü sınırlı bir bölge veriyorsa bu bölgenin köşeleri sınır doğrularının kesişim noktalarıdır. Örneğin x ≥ 0, y ≥ 0 ve x + y ≤ 4 sisteminde sınır doğruları x = 0, y = 0 ve x + y = 4 olduğundan köşeler (0, 0), (4, 0) ve (0, 4) noktalarıdır. Bir amaç fonksiyonu (kâr, maliyet, süre) verilmişse en büyük ve en küçük değer daima bu köşelerde denenir.

Adım Adım Yöntem

1. Her eşitsizliği ayrı ayrı incele ve sınır doğrusunun denklemini yaz.
2. Test noktası ile hangi tarafın taranacağını belirle ve bölgeyi işaretle.
3. Tüm bölgelerin kesişimini al; ortak bölge dışındaki her yeri karala.
4. Köşe noktalarını listele ve varsa amaç fonksiyonunu bu noktalarda hesapla.

Uygulama Örneği: Kısıt Analizi

Bir atölyede A makinesi saatte 4 TL, B makinesi saatte 3 TL kazandırıyor; günde toplam en fazla 8 saat çalışabiliyor ve A makinesi en fazla 4 saat çalıştırılabiliyor. Kısıtlar a + b ≤ 8, a ≤ 4, a ≥ 0, b ≥ 0 biçimindedir. Köşeler (0, 0), (4, 0), (4, 4) ve (0, 8) olduğuna göre kâr 4a + 3b ifadesi bu dört noktada denenir: sırasıyla 0, 16, 28 ve 24 çıkar. En yüksek kâr 28 TL olur ve a = 4, b = 4 anında alınır.

Sözel Sorularda Dikkat Noktaları

Çoğu soru grafik çizmeden sözel olarak sorulur: sınır doğrusunun hangi tarafının tarandığı, köşe noktalarının koordinatları ya da çözüm bölgesinin şekli istenir. Bu tür sorularda her eşitsizliği tek tek ele alıp yalnız ortak bölgeyi zihninde tutmak hata yapma olasılığını azaltır. Eksenlere paralel sınırlar da bölgenin köşelerini oluşturur; bu köşeler amaç fonksiyonu denenirken atlanmamalıdır.

Çözüm Sırası

Sistem çözülürken her eşitsizlik tek tek çözülür, sonra ortak bölge belirlenir; yalnız iki koşulu birlikte sağlayan değerler ortak kümede kalır. Eksenlere paralel sınırlar da bölgenin köşelerini oluşturur. Amaç fonksiyonu denenirken bu köşeler atlanmamalıdır.

Ne Öğreneceğiz

İki bilinmeyenli eşitsizlikler ve grafiksel gösterim Bu konuda ögrenme çıktıları:

• İki bilinmeyenli eşitsizlikleri yorumlar.
• Eşitsizlik sistemlerinin çözüm bölgesini belirler.
• Grafik üzerinden çözüm kümesini gösterir.
• Eşitsizlikleri gerçek yaşam problemlerine uygular.

Ön Bilgi

Bu konuya başlamadan önce temel kavram ve ön koşulları kavramanız yardımcı olacaktır. Konunun çerçevesinde şu kavramlar dikkat ister:

• < ve > kullanıldığında sınır doğrusu kesikli, ≤ ve ≥ kullanıldığında sürekli çizilir.
• Orijinin hangi bölgede olduğunu belirlemek için (0,0) test edilebilir.
• Kesin çözüm kümesi, tüm eşitsizliklerin ortak sağlandığı bölgedir.
• Orijin sınır doğrusunun üzerindeyse test noktası olarak kullanılamaz; eksen üzerinde olmayan başka bir nokta denenir.
• Sistemdeki eşitsizliklerden biri diğerini tamamen emiyorsa ortak bölge tek taraflı kalır; grafik buna göre yorumlanır.

Basit Örnek ve Günlük Yaşam

Günlük yaşamda ve mesleki bağlamda bir uygulama:

Soru: y > 2x − 1 eşitsizliği için (0, 0) noktası çözüm müdür?

1. 0 > 2·0 − 1 → 0 > −1
2. Eşitsizlik doğru olduğundan (0,0) çözümdür.
3. Sonuç birim ve mertebe kontrolüyle doğrulanır, gerekirse işlem tekrar edilir.

Sonuç/cevap: (0,0) çözümdür.

İleri Örnek

Daha ileri bir uygulama:

Soru: a + b ≤ 8, a ≤ 4, a ≥ 0, b ≥ 0 kısıtlarında Z = 4a + 3b en büyük değeri kaçtır?

1. Köşeler (0, 0), (4, 0), (4, 4) ve (0, 8) olarak listelenir.
2. Z değerleri: 0, 16, 28 ve 24 hesaplanır.
3. En büyük değer <b>28</b>, bu da (4, 4) noktasında alınır.

Sonuç/cevap: 28

Karşılaştırma Tablosu

Sık Yapılan Hatalar

Sınır çizgisini dahil etmek: < ve > durumunda sınır çözüme dahil değildir.

Yanlış bölgeyi taramak: Test noktası ile doğrula.

Kesişim yerine birleşim almak: Sistem çözümü kesişimdir.

Test noktasını yerine koymadan bölgeyi taramak: Hangi tarafın taranacağını ezberden belirlemek sık hata kaynağıdır; eşitsizliğe test noktasını yerine koyup sonucu kontrol etmeden çizim yapılmamalıdır, ayrıca orijin sınır üzerindeyse bu test geçersizdir.

Özet

İki bilinmeyenli eşitsizlikler yarı düzlemle gösterilir. Sistemlerin çözümü yarı düzlemlerin kesişimidir ve sınır çizgilerinin türü (kesikli/sürekli) eşitsizlik işaretine bağlıdır.

Kendini Dene

Soru: Bir işletme X ve Y olmak üzere iki ürün üretmektedir: X ürünü günde 2 saat, Y ürünü günde 1 saat işçilik gerektirir ve günde en fazla 8 saat çalışılabilir. X'ten 5 TL, Y'den 3 TL kâr elde edilmektedir. Kısıtları ve kâr fonksiyonunu yazıp kârı en büyük yapan üretim miktarını ve maksimum kârı hesaplayınız.

Örnek cevap: Puanlama anahtarı: kısıtları 2x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0 olarak yazması: 4 puan; kâr fonksiyonunu Z = 5x + 3y kurması: 3 puan; çözüm bölgesinin köşe noktalarını (0, 0), (4, 0) ve (0, 8) bulması: 4 puan; köşeleri yerine koyup en büyük kâdın (0, 8) noktasında 24 TL olduğunu göstermesi: 4 puan.