Kondansatörler ve Kapasitans

Konu Anlatımı

Kondansatörler ve Kapasitans

Bir doğru akım devresini açıp kapattığınızda akım anında sıfıra düşmez; bunun nedeni devrenin içinde elektrik alanı depolayan iki levha bulunmasıdır. Levhalar arasına bir yalıtkan (dielektrik) konduğunda iki levha bir kondansatör oluşturur ve devrede enerjiyi elektrik alanı biçiminde saklar. Doğru akım devresinde kondansatörü açmak, açık bir yolun sonuna dielektrik koymak gibidir: akım geçmez. Alternatif akımda ise gerilim her salınımda yön değiştirdiği için kondansatör sürekli şarj olup boşalır ve devrede akım akmasını sağlar. Bu davranış, alttaki bölümlerde sayısal olarak incelenecektir.

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu konuda kondansatörün plaka gerilimi ile plaka yükü arasındaki bağı kurup kapasite değerini hesaplayacağız. Ardından birden çok kondansatörün seri ve paralel bağlandığında devrenin toplam kapasitesinin nasıl bulunduğunu inceleyeceğiz. Kondansatörün depoladığı enerjiyi ve bu enerjinin gerilimle ilişkisini öğreneceğiz. Son olarak bir dirençle kondansatörün seri bağlandığı RC devresinde zaman sabitini hesaplayarak şarj süresinin nasıl belirlendiğini göreceğiz.

1. Ön bilgi: yük, gerilim ve elektrik alanı

Yük (Q), elektrik alanının kaynağıdır ve coulomb (C) biriminde ölçülür. Bir levhanın üzerindeki yük miktarı arttıkça levhalar arasındaki elektrik alanı güçlenir ve kutuplar arasındaki potansiyel farkı yani gerilim (U) artar.

Doğru akım devresini anlamak için ohm kanunu hatırlanmalıdır: bir iletkenin direnç değeri üzerinden geçen akım ölçümü ile gerilim ölçümü arasındaki ilişkiyi U = I · R biçiminde verir. Kondansatör bir iletken olmadığı için içinden sürekli bir akım ölçümü almak mümkün değildir; ancak direnç değeri bilinen bir direnç üzerinden geçen akım ölçümü ölçülürse, o akımın yarattığı gerilim düşümü kullanılarak yük hesaplanabilir. Kapasite tam da bu iki büyüklüğün birbirine göre oranıdır.

2. Kondansatörün yapısı ve dielektrik

Bir kondansatörün en temel hâli iki iletken levha ve aralarındaki yalıtkandır. Levhaların yüzey alanı büyüdükçe yüzeye biriken yük miktarı artar, aradaki mesafe küçüldükçe ise elektrik alanı güçlenir. Bu iki etki kapasiteyi doğrudan belirler.

Levhalar arasındaki yalıtkana dielektrik denir ve önemli ölçüde dielektrik sabiti (εᵣ) değeriyle tanımlanır. Havanın dielektrik sabiti 1'dir; kağıt, kevlar ve polietilen gibi malzemelerde bu değer 2 ile 6 arasında, seramik malzemelerde ise daha yüksek olabilir. Aynı geometriye sahip iki kondansatörden dielektik sabiti büyük olanın kapasitesi büyüktür. Alüminyum elektrolitik, seramik, film ve kutuplu (polar) kondansatörler bu yüzden aynı hacimde farklı değerler sunar.

3. Kapasite bağıntısı ve birim çevrileri

Kondansatörün plakasında biriken yük miktarı Q ile kutuplar arasındaki gerilim U arasındaki orantılılık sabiti kapasitedir ve C ile gösterilir: C = Q / U. Bağıntı ters çevrildiğinde yük bulunur: Q = C · U. Kapasite birimi farad (F) dır. Farad çok büyük bir birimdir; bu yüzden uygulamada pikoferad (pF), nanoferad (nF) ve mikroferad (µF) kullanılır. Bir mikroferad, bir faradın milyonda biri, bir nanoferad ise bir mikroferadın binide biridir.

Kapasite yalnızca yük ve gerilime değil, tasarıma da bağlıdır. Levhaların yüzey alanı A ile aralarındaki d uzaklığı biliniyorsa kapasite, levhaların alanıyla doğru, aradaki uzaklıkla ters orantılıdır: C = ε₀ · εᵣ · A / d. Buradaki ε₀ boşluktaki permittivite değeridir ve 8,85 pF/m olarak alınır. Pratikte 1 nF değerindeki bir kondansatörün ölçümü kolay olduğu için tasarımcılar çoğunlukla bu değeri referans alır.

Aşağıdaki örnek bağıntının nasıl kullanıldığını gösterir. Plakasında 26 µC yük biriken ve kutupları arasında 130 V gerilim oluşan bir kondansatörün kapasitesi C = Q / U = 26 / 130 = 0,20 µF olarak bulunur. Görüldüğü gibi yükü mikrofaratlı, gerilimi voltlu, kapasiteyi mikrofaratlı yazmak en temiz çözümdür; hepsini aynı cinsten yazmak zorunlu değildir.

4. Seri bağlantı ve eşdeğer kapasite

Birden çok kondansatör seri bağlandığında içlerinden aynı yük geçer; dolayısıyla her kondansatörün plakasında aynı yük miktarı birikir. Her birinin üzerine düşen gerilim ise U = Q / C bağıntısına göre kapasitesiyle ters orantılı dağılır. Bu nedenle kapasitesi küçük olan elemana büyük gerilim düşer ve gerilim dağılımı dengeli olmaz.

Seri bağlantıda eşdeğer kapasite, terslerin toplamıdır: 1 / C_seri = 1 / C₁ + 1 / C₂ +... + 1 / Cₙ. Bu kural her zaman tek tek uygulanabilir; ancak yalnız iki kondansatör için pratik bir kısayol vardır: 1 / C_seri = 1 / C₁ + 1 / C₂ = (C₁ + C₂) / (C₁ · C₂) ifadesinden C_seri = C₁ · C₂ / (C₁ + C₂) sonucu bulunur. Bu sonucun daima iki kondansatörün küçük olanından küçük olduğuna dikkat edilmelidir.

5. Paralel bağlantı ve eşdeğer kapasite

Kondansatörler paralel bağlandığında her ikisinin kutupları aynı iki düğüme bağlanır; bu yüzden hepsinin üzerine aynı gerilim düşer. Yükler ise ayrı ayrı birikir. Bu bağlantıda eşdeğer kapasite, kapasitelerin doğrudan toplamıdır: C_paralel = C₁ + C₂ +... + Cₙ. İki kondansatörün paralel bağlandığı bir devrede eşdeğer kapasite, küçük olanın en az iki katıdır.

Seri ve paralel bağlantı kıyası yapıldığında sonuç netleşir: seri bağlamak kapasiteyi azaltır, paralel bağlamak artırır. Yaygın kullanılan bir uygulamada bir kondansatörün değerini iki katına çıkarmak için ona paralel bağlantılı ikinci bir kondansatör eklenir. Buna karşılık çok büyük değerli tek bir kondansatör gerektiğinde seri bağlantılı birkaç kondansatör kullanılabilir.

6. Depolanan enerji

Kondansatör, plakasındaki yükü tutarken elektrik alanında bir miktar enerji saklar. Bu enerji, yükü kondansatöre taşımak için harcanan işe eşittir ve E = ½ · C · U² bağıntısıyla bulunur. Aynı enerji E = ½ · Q · U biçiminde de yazılabilir; her iki ifade de aynı sonucu verir.

Enerji bağıntısındaki karesel gerilim çok önemlidir: gerilim iki katına çıkarılırsa depolanan enerji dörde katlanır. Örneğin kapasitesi 0,2 µF olan bir kondansatör 230 V'a bağlandığında enerjisi E = 0,5 × 0,2 × 230² = 5290 µJ olur; aynı kondansatör 460 V'a bağlanırsa enerji dörde katlanır. Bu yüzden yüksek gerilimli devrelerde kondansatörün dayanabileceği gerilim sınırı en az iki kat emniyet payıyla seçilir.

7. RC devresinde zaman sabiti

Doğru akımda bir kondansatöre seri direnç değeri bağlanırsa devre bir RC devresi oluşturur. Anahtar kapatıldığında kondansatörün gerilimi hemen sıfırdan başlayıp zamanla doğru akım devresi gerilimine yaklaşır. Bu sürecin hızını tek bir sayı belirler: zaman sabiti (τ). τ = R · C bağıntısıyla hesaplanır ve birimi saniyedir.

Zaman sabitinin yorumu şudur: t = τ anında gerilim başlangıç değerinin yaklaşık %63,2'sine, t = 4,6 · τ anında %99'una ulaşır. Boşalma da aynı simetriyle çalışır. τ büyükse kondansatör yavaş dolar, τ küçükse hızlı dolar. Bu nedenle bir zamanlayıcı devresinde istenen gecikme süresine göre R ve C değerleri birlikte seçilir; örneğin 0,22 s'lik bir zaman sabiti için 2,2 kΩ direnç ve 100 µF kondansatör uygun bir çözümdür.

Basit örnek

Bir kondansatörün plakasında 46 µC yük birikmiştir ve kutupları arasındaki gerilim 230 V'tur. Önce yük bağıntısından kapasitesini bulalım: Q = C · U denkleminden C = Q / U = 46 / 230 = 0,20 µF. Daha sonra depolanan enerji hesaplanır ve sonuç mikrojoule cinsinden 5290 µJ olarak bulunur. Aynı hesap 46 µC değerini 26 µC olarak alırsa 0,113 µF gibi farklı bir kapasite çıkar; yani yükü okurken ölçek birimine dikkat etmek zorunludur.

İleri örnek

Bir süzgeç tasarımında 1 kΩ'luk bir direnç kullanılacaktır ve tasarımcı süre sabitinin 0,001 s olmasını istemektedir. Bu amaçla kullanılacak kondansatörün kapasitesi C = τ / R bağıntısıyla bulunur: 0,001 / 1000 = 0,000001 F değeri bulunur, yani 1 µF'lık bir kondansatör seçilir. Aynı devrede koruyucu amaçlı bir ikinci kondansatör 10 µF olarak paralel bağlanırsa eşdeğer kapasite 10 µF + 1 µF = 11 µF olur ve süre sabiti 1 kΩ ile 0,011 s değerine çıkar. Görüldüğü gibi paralel bağlanan koruyucu kondansatör, tasarımın zaman davranışını da değiştirir.

Adım adım çözülmüş örnek

Soru: 10 µF, 20 µF ve 30 µF değerli üç kondansatörü önce seri, sonra paralel bağlayan bir düzenek için eşdeğer kapasiteleri bulunuz.

Adım 1: Seri bağlantıda ters kapasiteler toplanır: 1 / 10 + 1 / 20 + 1 / 30 = 0,1 + 0,05 + 0,03333 = 0,18333 birim. Adım 2: Toplamın tersi alınır ve eşdeğer kapasite bulunur: 1 / 0,18333 = 5,45 µF. Adım 3: Paralel bağlantıda kapasiteler doğrudan toplanır: 10 + 20 + 30 = 60 µF. Adım 4: İki sonuç karşılaştırılır. Seri bağlantı en küçük kondansatörden bile küçük bir değer verirken paralel bağlantı en büyük kondansatörden büyük bir değer verir. Cevap: seri bağlantıda 5,45 µF, paralel bağlantıda 60 µF.

Kavram karşılaştırma tablosu

Sık Yapılan Hatalar

• Seri bağlantıda kapasiteleri toplamak: Seri bağlantıda 1 / C = 1 / C₁ + 1 / C₂ kuralı uygulanır; toplama işlemi paralel bağlantıya aittir. Bu karışıklık eşdeğer kapasiteyi onlarca kat yanlış hesaplar.
• Birimi gizlemek: C = Q / U bağıntısında mikrofaratlı yük kullanıldığında sonuç da mikrofarat olur; sonucun farad cinsinden yazılması gerekirse açıkça belirtilmelidir. Aksi hâlde on binde birlik ölçek hataları oluşur.
• Toplam yükü 2Q almak: Her plakada Q kadar yük birikir, ancak bu iki yük birbirini tarar; kondansatörün enerjisini belirleyen büyüklük plaka yüküdür. Toplamı 2Q alıp sonucu ikiyle çarpmak enerji hesabını iki katına çıkarır.
• Enerji formülünde karesi atlamak: Depolanan enerji gerilimin karesiyle orantılıdır. U yerine U² yazılmazsa sonuç, gerilimin karesi kadar küçük çıkar.
• Ters polaritede bağlamak: Alüminyum elektrolitik kondansatörde pozitif kutuplu bacak devrenin artı ucuna bağlanmalıdır. Ters bağlama sızıntı akımını artırır, zamanla kabarcık çıkarır ve eleman arızalanır.
• AC'de kondansatörü kısa devre saymak: Kondansatör AC'de tamamen iletken değildir; eşdeğer direnci frekansla azalır ama sıfırlanmaz. X_C = 1 / (2πfC) bağıntısı bu davranışı nicel olarak gösterir.

Özet

Kondansatör, iki levha ve aralarındaki dielektrikten oluşan ve elektrik alanında enerji depolayan bir devre elemanıdır. Kapasitesi C = Q / U bağıntısıyla bulunur; birimi faraddır ve uygulamada pF, nF, µF olarak kullanılır. Seri bağlantıda eşdeğer kapasite terslerin toplamının tersidir ve daima en küçük kondansatörden küçüktür; paralel bağlantıda ise kapasiteler doğrudan toplanır. Depolanan enerji E = ½ · C · U² bağıntısıyla bulunur ve gerilimin karesiyle orantılıdır. Bir dirençle seri bağlandığında RC devresi oluşur ve hızını belirleyen zaman sabiti τ = R · C ile hesaplanır; bu sürede gerilim başlangıç değerinin yaklaşık %63,2'sine ulaşır.

Kendini dene

Şu soruları defterine cevaplayarak konuyu pekiştir: (1) 100 µF ve 50 µF değerli iki kondansatör seri bağlandığında eşdeğer kapasite kaç mikrofarat olur, paralel bağlandığında kaç mikrofarat olur? (2) 2,2 kΩ dirençle 220 µF kondansatörden oluşan RC devresinde zaman sabiti kaç saniyedir ve bu süre içinde gerilim başlangıç değerinin yüzde kaçına ulaşır? (3) Neden seri bağlantıda kapasitesi küçük olan kondansatörün üzerine daha büyük gerilim düşer? Cevaplarını yazarken her adımı ayrı satıra yaz; puana göre değerlendirmede hesabın kurulması, adımların sıralanması ve sonucun yorumlanması ayrı ayrı değerlendirilir.

Temrin ve Uygulama Notları

3.4 Kondansatör Kapasitans Ölçümü

Kondansatör ölçümden önce tamamen deşarj edilir. Kutuplu kondansatörde ölçüm yönü kutup işaretine göre yapılır. Ölçülen değer µF ile nF arasında dönüştürülerek yorumlanır.

3.4 Kapasitif Reaktans Hesabı

Şebeke frekansı 50 Hz alındığında 470 µF kondansatörün kapasitif reaktansı yaklaşık 6,77 ohm, 2200 µF için yaklaşık 1,45 ohm çıkar. Reaktans, frekans arttıkça azalır ve kapasite arttıkça azalır.

Sınavda: µF ile nF arasında dönüşüm, kutuplu kondansatörün bağlantısı ve kapasitif reaktansın frekansla ters orantısı sorulabilir.