Kirchhoff Kuralları ile Devre Analizi

Konu Anlatımı

Kirchhoff Kuralları ile Devre Analizi

Bir önceki konuda tek gözlü devrelerde gerilim, akım ve direnç ilişkisini Ohm kanunu ile gördük. Çalıştığımız devrelerde kol sayısı arttıkça aynı dirençten geçen akım birden çok yoldan gelebilir, bir direncin iki ucundaki gerilim ise üçüncü bir yol üzerinden belirlenebilir. Bu durumda devreyi tek parça hâlinde indirgemek mümkün olmaz. İşte bu noktada devreye Kirchhoff kuralları devreye girer: kural, bir düğümde toplanan akımların ve bir çevrede toplanan gerilimlerin cebirsel toplamının sıfır olduğunu söyler.

Bu konuda önce iki kuralı, yani düğüm kuralı ile çevre kuralını, cümle olarak anlamayı, sonra bunları denklem hâline getirmeyi, en son da eş zamanlı denklem sistemi çözerek çok gözlü devrelerde gerçek akım ve gerilim değerlerini bulmayı öğreneceğiz. Kirchhoff kuralları bir yaklaşım yöntemi değil bir denge ilkesidir; doğru akım devrelerinin tamamında geçerlidir.

1. Ne Öğreneceğiz ve Ön Bilgi

Ön bilgi olarak Ohm kanununu (V = I × R), seri bağlantıda akımın eşit ve gerilimlerin toplandığını, paralel bağlantıda gerilimin eşit ve akımların toplandığını bilmemiz gerekir. Ayrıca bir elemanın iki ucu arasındaki gerilimin o elemana hangi yönde tanımlandığını bilmek, işaret hatalarının önüne geçer. Bu bilgilerle devrenin bir bölümünü eşdeğer devreye indirgeyebiliriz; ancak indirgeme mümkün olmayan ağ ya da köprü biçimli devreler için denklem kurmak zorunlu hâle gelir.

Bu bölümde dört soruya yanıt arayacağız: bir düğümde hangi denge yazılır, bir çevrede hangi denge yazılır, bilinmeyen sayısı ile denklem sayısı nasıl eşleştirilir ve çözüm sonrası sonuçlar nasıl denetlenir.

• Düğüm ve çevre kavramlarını şema üzerinde gösterme
• Bir düğüme bağlı akımları işaretleriyle denklemleştirme
• Bir kapalı çevrede gerilim düşümlerini toplama
• Bilinmeyen sayısı kadar bağımsız denklem yazma
• Çözülen değerleri ölçümle karşılaştırarak denetleme

2. Temel Kavramlar ve Sınıflandırma

Düğüm kuralı (birinci Kirchhoff kuralı): bir düğüm noktasına giren akımların toplamı, o düğümden çıkan akımların toplamına eşittir. Cebirsel yazımda akımlara işaret verilir, bir yön işaretli öteki yön işaretsiz kabul edilir ve denklemin sağ ve sol toplamı birbirine eşit olur. Bu kural, bir düğümde yüklenme ya da birikme olmadığını söyler; yani devrenin hiçbir yerinde akım kaybolmaz veya yaratılmaz.

Çevre kuralı (ikinci Kirchhoff kuralı): bir kapalı çevrede elemanlar boyunca dolaşırken harcanan gerilimlerin cebirsel toplamı sıfırdır. Dolaşım yönü seçilir, gerilim düşümleri bu yönle aynıysa artı, ters yönde ise eksi işaretle yazılır. Kaynak gerilimi de bu toplama işaretli olarak katılır; böylece devredeki gerilim dağılımının tamamı tek denklemde toplanır.

Düğüm kuralı akımlarla, çevre kuralı gerilimlerle ilgilidir. İkisi birlikte kullanıldığında devrenin bütün noktalarındaki akım ve gerilim bilinir hâle gelir. Bu iki kurala dayanan çözüm yöntemlerinden biri çevre (mozgâh) analizi, öteki düğüm gerilimi analizi olarak adlandırılır. Mozgâh analizinde her kapalı çevre için bir akım bilinmeyeni seçilir; düğüm gerilimi analizinde ise düğüm gerilimleri bilinmeyen kabul edilir ve dalların akımları Ohm kanunuyla yazılır.

1. Şema üzerinde düğüm noktalarını işaretle
2. Akım yönlerini oku ya da keyfî bir yön seç
3. Her düğüm için akım dengesi denklemi yaz
4. Seçilen kapalı çevreler için gerilim dengesi yaz
5. Denklem sistemini çöz ve sonuçların işaretini denetle

3. Basit Örnek ve Adım Adım Çözüm

İki paralel kola sahip basit bir devrede düğüm kuralını uygulayalım. Kaynak gerilimi 12 V, birinci kolun direnci 4 Ω, ikinci kolun direnci 6 Ω olsun. İki kola da 12 V düştüğü için kollardaki akımlar 3 A ve 2 A olur, kaynaktan çekilen toplam akım ise 5 A olur. Düğüm noktasına yazılan denklemde kaynak akımı pozitif, iki kol akımı negatif işaretle girer ve denklem sağlanır.

Şimdi aynı devreyi çevre kuralıyla denetleyelim. Kaynaktan çıkıp birinci kolu geçip düğüme dönen çevrede kaynak gerilimi ile 4 Ω üzerindeki 12 V'lük düşüm zıt işaretlidir. İkinci kolu içeren ikinci çevrede ise kaynak ile 6 Ω üzerindeki düşüm aynı işaretle toplanır. Her iki çevrede de cebirsel toplam sıfıra yaklaşır, yani hesap tutarlıdır.

Bu örnekte görüldüğü gibi düğüm kuralı akımların toplanmasını, çevre kuralı ise gerilimlerin toplanmasını denetler. İki kural birlikte kullanıldığında hiçbir kolu eşdeğer devreye indirgenemeyen ağ yapılarında da bütün değerler bulunabilir.

4. İleri Örnek ve Saha Uygulaması

Köprü biçimli bir devrede hiçbir kol doğrudan paralel görünmez; bu yüzden seri paralel indirgeme başarısız olur. Köprü devresinde altı dal ve dört düğüm noktası vardır ve bunlardan biri referans düğüm kabul edilerek gerilimi sıfır kabul edilir. Kalan düğüm gerilimleri için ayrı denklemler yazılır, her dal akımı gerilim farkının dirence bölünmesiyle elde edilir.

Sahada ölçüm yaparken ampermetre seri, voltmetre paralel bağlanır. Deney sırasında önce akım ölçerin yerine kablo bağlanıp devre kapatılır, sonra ölçüm alınır; böylece kablo direnci ölçümü bozmaz. Hesaplanan değerler ölçüm değerleriyle karşılaştırılır, sapma büyükse işaret yönleri ve kablo bağlantıları yeniden denetlenir.

Çözümün güvenilir olması için bilinmeyen sayısı ile yazılan denklem sayısı eşit olmalıdır. Fazladan denklem yazmak denklemleri birbirine bağımlı hâle getirir, eksik denklem yazmak ise sonucu belirsiz bırakır. Bu yüzden çözüme başlamadan önce bilinmeyenleri listelemek pratik bir alışkanlıktır.

5. Karşılaştırma Tablosu ve Denetim

Denetim aşamasında üç ölçüt kullanılır. Birincisi enerji korunumu: çözülen akımlarla hesaplanan toplam güç, kaynak gücüne eşit olmalıdır. İkincisi işaret tutarlılığı: bir direnç üzerinde çıkan akım ile düşen gerilim aynı yönde olmalıdır. Üçüncüsü denge denetimi: her düğüm için yazılan akım denkleminin toplamı sıfıra yaklaşmalıdır.

Ölçümde sapma görüldüğünde ilk olarak güç kaynağının gerilim değeri doğrulanır, sonra ölçüm noktalarının yerleri gözden geçirilir. Ampermetre ve voltmetrenin uçları ters bağlandığında ölçülen değer pozitif görünse bile devrenin çalışma yönü hakkında yanıltıcı bir fikir verir; bu yüzden bağlantı uçları şema üzerinden doğrulanmalıdır.

6. Sık Yapılan Hatalar, Özet ve Kendini Dene

En sık görülen hata akım yönlerini belirlemeden denkleme başlamaktır. Yön seçimi keyfîdir ama tutarlı olmalıdır; bir düğümde giriş olarak seçilen yönü aynı düğümün öteki denklemlerinde de aynı işaretle kullanmak gerekir. İkinci sık hata kaynak gerilimini işaretsiz yazmaktır; kaynak, dolaşım yönüne göre işaretli gerilim olarak denkleme katılmalıdır. Üçüncü hata ise ölçü birimini atlamaktır: 4 Ω'luk dirençten 12 V düştüğünde akım 3 A olur, burada miliampere değil.

Özetle, düğüm kuralı bir düğümde giren ve çıkan akımların toplamının eşit olduğunu, çevre kuralı bir kapalı çevrede gerilim düşümlerinin cebirsel toplamının sıfır olduğunu söyler. Bu iki denge, çok gözlü devrelerin bütün çözümlerinin temelidir. Kendinizi denemek için bir merkez düğümü ve üç kolu olan bir devre çizin, her kola bir akım yönü verin, düğüm denklemini yazın ve iki ayrı kapalı çevre için gerilim denklemi kurun. Üç bilinmeyen için üç bağımsız denklem elde ettiğinizde çözüm tamamlanmış sayılır.

Temrin ve Uygulama Notları

1.6 Gözlü Devrede Akım ve Gerilim Ölçümleri

İki gözlü devrede çevre akımları tanımlanır, kol akımları bu çevre akımlarından bulunur ve düğüm gerilimi hesaplanır. Ölçülen değerler elle yapılan hesapla karşılaştırılır. Batarya kutbu ters çevrilirse ölçülen akım ve gerilimin işareti değişir.

Sınavda: anahtar konumuna göre akım taşıyan kollar, düğüm gerilimi ile ölçülen değerin farkı ve bataryanın ters bağlanmasının etkisi sorulabilir.