Olasılık

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Olasılık konusunu çalışacağız.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Olay, örnek uzay ve temel sonuç kavramlarını açıklar.
• Kazanım 2: Basit bir olayın olasılığını hesaplar.
• Kazanım 3: Tam olasılık, imkânsız ve kesin olayları ayırt eder.
• Kazanım 4: Desteden kart, zar ve torba örneklerinde olasılık hesaplar.
• Kazanım 5: Tümleyen olayın olasılığını kullanarak problem çözer.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konuyu anlamanın ön koşulu Binom Açılımı ve Pascal Üçgeni bilgisidir. Binom Açılımı ve Pascal Üçgeni konusundaki temel kavramlar bu derste örneklerin üzerinde yeniden karşımıza çıkacak.

• Binom Açılımı ve Pascal Üçgeni — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Kombinasyon (Seçme) — ön bilgi: bu başlıktaki tanımları hatırlamamız gerekiyor.

Olay, Örnek Uzay ve Olasılık

Deneyden çıkan her bir sonuca temel sonuç, tüm mümkün sonuçların kümesine örnek uzay denir. Bir zar atıldığında örnek uzay {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesidir. Gerçekleşmesini istediğimiz duruma da olay adı verilir; örneğin çift sayı gelmesi bir olaydır ve {2, 4, 6} alt kümesini oluşturur.

Olasılık, bir olayın gerçekleşmesinin ne kadar muhtemel olduğunu 0 ile 1 arasında bir oranla anlatır. İmkânsız olayın olasılığı 0, kesin olayın olasılığı 1'dir; hiçbir olasılık bu değerin dışında değildir.

P(A) = avantajlı sonuç sayısı ÷ toplam sonuç sayısı

Olasılık Hesaplama

Hesapta iki sayı belirlenir: örnek uzaydaki toplam sonuç sayısı ile olayın gerçekleşmesine yarayan (avantajlı) sonuç sayısı. Her sonucun eşit olasılıkla gerçekleşmesi varsayılır. Zar örneğinde toplam 6 sonuç vardır; 5'ten büyük gelme olayı {5, 6} kümesini kapsadığı için avantajlı sonuç 2'dir ve olasılık 2 ÷ 6 = 1/3 olur.

Kart ve Torba Örnekleri

52 kartlık deste içinde 4 renkten her birinde 13 kart bulunur; bu yüzden bir kartın kupa gelme olasılığı 13 ÷ 52 = 1/4'tür. Her renkte birer vale, birer kız ve birer papaz olduğu için kız kart gelme olasılığı 4 ÷ 52 = 1/13'tir. Torba problemlerinde ise torbadaki tüm top sayısı paydadaki yerini alır.

P(kupa) = 13 ÷ 52 = 1/4 · P(kız kart) = 4 ÷ 52 = 1/13

Tümleyen Olay

Bir olay gerçekleşmiyorsa tümleyeni gerçekleşmiştir. P(A) biliniyorsa tümleyenin olasılığı 1 − P(A) ile bulunur. Piyango bileti tutturamama olasılığı 0,9 ise tutturma olasılığı 1 − 0,9 = 0,1'dir. Bu yol, avantajlı durumları tek tek saymak yerine tersinden gitmeyi sağlar.

P(A′) = 1 − P(A)

Adım Adım: Olasılık Problemi Çözme

1. Örnek uzay yazılır ve toplam sonuç sayısı bulunur.
2. Avantajlı sonuçlar tek tek listelenir ya da kural ile sayılır.
3. Oran kurulur ve sonuç sadeleştirilir.
4. Sonucun 0 ile 1 arasında olduğu ve istenen birimle uyumu kontrol edilir.

Adımlar izlenirse pay ile paydanın yer değişmesi gibi klasik hatalar önlenir.

Sınav Odaklı: Avantajlı Sayımı Hızlandırma

Zar sorularında avantajlı durumlar azsa doğrudan saymak, çoksa tümleyenden gitmek daha kısadır. İki zar sorularında örnek uzay 6 × 6 = 36'dır; en az biri 6 gelme sorusu 1 − (5 ÷ 6) × (5 ÷ 6) = 1 − 25 ÷ 36 = 11/36 olarak hesaplanır. Ayrık durumlarda olasılıklar toplanır, kesişen durumlarda kesişim bir kez sayılır.

Olayların Kategorize Edilmesi

İmkânsız, olası ve kesin olaylar olasılık teorisinde temel kavramlardır. İmkânsız olaylar, hiçbir durumda gerçekleşemeyen olaylardır ve olasılığı 0'dır. Örneğin, zarda 7 gelmesi imkânsız bir olaydır. Olası olaylar, 0 ile 1 arasında olasılığa sahip olan durumlardır; zarda çift sayı gelmesi gibi örneklerdir. Kesin olaylar ise her zaman gerçekleşen durumlardır ve olasılığı 1'dir. Zarda 6 veya daha küçük bir sayı gelmesi kesin bir olaydır. Bu kategoriler, olasılık hesaplamalarında temel alınan sınıflandırma sağlar.

Örnek uzayın belirlenmesi, olayların kategorize edilmesinde kritik öneme sahiptir. Örnek uzay, deneyin tüm mümkün sonuçlarının kümesidir. Bir zar atıldığında örnek uzay {1, 2, 3, 4, 5, 6} şeklinde ifade edilir. Bu nedenle, olayların doğru kategorize edilmesi, olasılık problemlerinin çözümü için gerekli olan temel adımlardan biridir.

Günlük hayattan bir uygulama

Şimdi konuyu kendi hayatımızdaki bir duruma uygulayacağız. Olasılık bilgisi olmadan da bu iş yapılabilir, ama nasıl yapıldığını açıklamak zorlaşır; soru tam da bu açıklamayı istiyor.

Uygulama sorusu: Bir zar ve bir deste kart kullanarak şu üç olasılığı ayrı ayrı hesaplayınız: (a) zarın tek sayı getirmesi, (b) zarın 4'ten büyük çift sayı getirmesi, (c) çekilen kartın kupa olması ya da papaz olması.

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Bu konuyu çalışırken işinize yarayacak notlar

• Örnek uzayı önce yaz, avantajlıları sonra işaretle; pay-payda karışması bu sayede azalır.
• Avantajlı durum çoksa tümleyene git: 1 − istenmeyen olasılık çoğu zaman daha kısadır.
• İki zar sorularında örnek uzayın 36 olduğunu aklında tut, çarpma ilkesini unutma.
• Soruda yüzde isteniyorsa oranı 100 ile çarp; kesir bırakma, şıklarla uyumu kontrol et.
• Olasılık sorularında destenin 52, torbanın ise içerdiği toplam top sayısını almayı unutma.

İki örnek üzerinde çözüm

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Zar ile Olasılık

Soru: Bir zar atıldığında 5'ten büyük bir sayının gelme olasılığı kaçtır?

1. Adım 1: Örnek uzay {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve toplam sonuç sayısı 6'dır.
2. Adım 2: 5'ten büyük sonuçlar {5, 6} olmak üzere 2 tanedir.
3. Adım 3: Oran alınır: 2 ÷ 6 = 1/3.

Cevap: 1/3

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Torbadan Top Çekme

Soru: Bir torbada 3 kırmızı ve 5 beyaz top vardır. Renge bakılmaksızın çekilen topun kırmızı olma olasılığı kaçtır?

1. Adım 1: Toplam top sayısı 3 + 5 = 8 olarak bulunur.
2. Adım 2: Kırmızı top sayısı 3'tür, yani avantajlı sonuç 3'tür.
3. Adım 3: Oran kurulur: 3 ÷ 8.

Cevap: 3/8

Kavram karşılaştırma tablosu — Terimler ve aralarındaki fark

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Kurallar, formüller ve ölçüler

Bu konunun dayandığı kurallar aşağıdadır. Tabloyu ezberlemek değil, kuralın hangi soruda işe yaradığını görmek esastır.

Sık Yapılan Hatalar — Hangi hatalara dikkat edelim?

Aşağıdaki hatalar bu konuda en sık görülenlerdir. Her biri için önce hatanın kendisi, sonra neden yanlış olduğu ve doğrusu anlatılmıştır.

• Pay ile paydanın yerini değiştirmek: Olasılık avantajlı sonucun toplama oranıdır; 3 kırmızı top 8 top içinde 3/8'dir, 8/3 değil.
• Olasılığı 0 ile 100 arasında sanmak: Olasılık ya 0-1 arasında bir oran ya da yüzde olarak yazılır; 1/2 değeri %50'dir, 0,5'tir.
• Tümleyeni hesaplarken 1 ile değil toplamla çıkarmak: P(A) = 0,3 ise P(A′) = 1 − 0,3 = 0,7'dir; 0,3 ile çıkarmak yanlıştır.
• Zar sayısını 5 sanmak: Standart zarın 6 yüzü vardır; 5'ten büyük gelme olayında 2 avantajlı sonuç vardır.
• Kesin olaya sıfır demek: Gerçekleşmesi kesin olan olayın olasılığı 1'dir; 0 yalnızca imkânsız olaya aittir.

Özet

Kısaca: Olasılık, bir olayın gerçekleşmesinin avantajlı sonuç sayısının toplam sonuca oranıyla ölçülür ve her zaman 0 ile 1 arasındadır. İmkânsız olay 0, kesin olay 1'dir; tümleyen olay 1 − P(A) ile bulunur. Zar, kart ve torba problemlerinde örnek uzay doğru belirlenirse hesap sadeleşir; ayrık olaylarda olasılıklar toplanır, kesişen olaylarda kesişim bir kez çıkarılır.

Sınav öncesi şu maddeleri tekrar etmek yeterli olacaktır:

• Örnek uzay, deneyin tüm mümkün sonuçlarını kapsar ve sonuçlar eşit olasılıklıdır.
• Olasılık, avantajlı sonuç sayısının toplam sonuca oranıdır ve daima 0 ile 1 arasındadır.
• 52 kartlık deste içinde her renkten 13 kart, her kattan 4 kart bulunur.
• Tümleyen olayın olasılığı 1'den P(A) çıkarılarak bulunur.
• Ayrık olayların birleşimi, olayların olasılıklarının toplamıdır.
• Olasılık 1 ise olay kesindir, 0 ise olay gerçekleşmez.

Kendini dene

Aşağıdaki sorular konunun farklı yönlerini yoklar. Önce kendin çöz, sonra cevap anahtarına bak; eğer bir soruyu yanlış yaptıysan yukarıdaki ilgili bölüme geri dön.

1. İki zar birlikte atıldığında her iki zarın da 6 gelme olasılığı kaçtır? (Şıklar: 1/9 · 1/12 · 1/36 · 1/6)
2. Bir zar atıldığında 5'ten büyük bir sayının gelme olasılığı kaçtır? (Şıklar: 1/6 · 1/3 · 1/2 · 2/3)
3. Bir zar atıldığında 6 sayısının gelme olasılığı kaçtır? (Şıklar: 1/6 · 1/3 · 1/2 · 1)

Cevap anahtarı: 1) 1/6 — Ayrık iki olayın ikisi de gerçekleşme olasılığı 1/6 × 1/6 = 1/36'dır.

2) 1/3 — 5'ten büyük sonuçlar 5 ve 6'dır; 2 ÷ 6 = 1/3 olarak bulunur.

3) 1/6 — Örnek uzayda 6 sonuç vardır ve 6 yalnızca bir kez gelir; olasılık 1 ÷ 6 = 1/6 olur.

Komşu konular

Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:

• Koşullu Olasılık ve Bağımsız Olaylar — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Bileşik Olaylar — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• İki Kategorik Değişkenli Veriler — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Bayes Teoremi — aynı ünitede, bir sonraki adım.

Kaynak notu

Bu derste Olasılık konusu için kullanılan sayısal değerlerin tamamı adım adım gösterilerek hesaplandı; yaklaşık değer gereken yerde yaklaşık ifadesi açıkça yazıldı. Bu anlatım başka bir kitaptan cümle aktarmadan, konunun tanım ve kural düzeni yeniden yazılarak hazırlandı.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Bir zar ve bir deste kart kullanarak şu üç olasılığı ayrı ayrı hesaplayınız: (a) zarın tek sayı getirmesi, (b) zarın 4'ten büyük çift sayı getirmesi, (c) çekilen kartın kupa olması ya da papaz olması. (15 puan)
• Bir olayın olasılığının 0 ile 1 arasında olmasının anlamını imkânsız ve kesin olay örnekleriyle açıklayınız. (10 puan)
• Bir torbada 5 kırmızı, 3 mavi ve 2 sarı top bulunduğunu varsayınız. Torbadan iade edilmeksizin çekilen iki topun da kırmızı olma olasılığını adım adım hesaplayınız; ardından iade edilerek çekilseydi… (15 puan)