Silindir

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Silindir konusunu çalışacağız.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Dik silindirin temel elemanlarını tanır.
• Kazanım 2: Yanal ve toplam yüzey alanını hesaplar.
• Kazanım 3: Silindirin hacmini bulur.
• Kazanım 4: Silindirin açınımı üzerinden yanal alan ile toplam alanı ilişkilendirir.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu derste Piramitler konusunu hatırlayarak ilerliyoruz. İki konu arasındaki bağı kurmak, ayrı ayrı ezberlemekten daha kalıcı bir öğrenme sağlar.

• Piramitler — bu adımda öğrendiklerimiz bugünkü konunun dayanağı oluyor.
• Prizmalar — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Silindir

Paralel ve eş iki daire tabanı ile bunları birleştiren dikdörtgen biçimli yan yüzeyden oluşan katı cisme dik silindir denir. Bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında döndürülmesiyle de elde edilir.

Yüzey Alanı ve Hacim

Silindirin yan yüzeyi açıldığında bir dikdörtgen oluşur; bu dikdörtgenin bir kenarı taban çevresi (2πr), diğeri yüksekliktir. Hacim ise taban alanı (πr²) ile yüksekliğin çarpımıdır.

Günlük hayattan bir uygulama

Şimdi konuyu kendi hayatımızdaki bir duruma uygulayacağız. Silindir bilgisi olmadan da bu iş yapılabilir, ama nasıl yapıldığını açıklamak zorlaşır; soru tam da bu açıklamayı istiyor.

Uygulama sorusu: Yarıçapı 7 cm ve yüksekliği 10 cm olan silindirin taban çevresini, yanal alanını, hacmini ve toplam yüzey alanını hesaplayınız (π ≈ 22/7).

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Hızlı hatırlatma

• Yan yüzey açınımının dikdörtgen olduğunu unutma.
• π = 3,14 ya da 22/7 seçimini soruya göre yap.
• Yan yüzey açınımının dikdörtgen olduğunu unutma; bu bilgi yanal alanı tek adımda yazdırır.
• π için soruda verilen değeri kullan ve sonucu aynı yuvarlama kesinliğiyle ver.

İki örnek üzerinde çözüm

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Silindir Hacmi

Soru: Yarıçapı 3 cm, yüksekliği 10 cm olan silindirin hacmini bulunuz (π ≈ 3,14).

1. V = πr²h = 3,14 · 9 · 10
2. Sonuç «Hacim yaklaşık 282,6 cm³'tür.» olarak yazılır ve sorunun istediği büyüklüğe çevrilir.
3. Sonuç birim ve mertebe kontrolüyle doğrulanır, gerekirse işlem tekrar edilir.

Cevap: Cevap: Hacim yaklaşık 282,6 cm³'tür.

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Yanal Alan

Soru: Aynı silindirin yanal alanını bulunuz.

1. Yanal alan = 2πrh = 2 · 3,14 · 3 · 10
2. Sonuç «Yaklaşık 188,4 cm²'dir.» olarak yazılır ve sorunun istediği büyüklüğe çevrilir.
3. Sonuç birim ve mertebe kontrolüyle doğrulanır, gerekirse işlem tekrar edilir.

Cevap: Cevap: Yaklaşık 188,4 cm²'dir.

Kavram karşılaştırma tablosu — Terimler ve aralarındaki fark

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Kurallar, formüller ve ölçüler

Bu konunun dayandığı kurallar aşağıdadır. Tabloyu ezberlemek değil, kuralın hangi soruda işe yaradığını görmek esastır.

Yukarıdaki ölçülerin arkasındaki kural ve formüller şunlardır:

Sık Yapılan Hatalar — Hangi hatalara dikkat edelim?

Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.

• Yanal alanda 2πr yerine πr² kullanmak: Çevre ile yükseklik çarpılır.
• Toplam alanda iki tabanı eklemeyi unutmak: 2πr² eklenir.
• r ile d'yi karıştırmak: Formüllerde yarıçap kullanılır.
• Çapı yarıçap sanmak: Formüller yarıçap ile yazılır; çap verilmişse önce ikiye bölünmelidir.

Kısaca özet

Kısaca: Silindirde yanal alan 2πrh, toplam alan 2πrh + 2πr², hacim πr²h'dir. Yan yüzey açıldığında taban çevresi × yükseklik ölçülerinde bir dikdörtgen olur. Çap verilmişse yarıçapa bölünmelidir; toplam alana iki taban birden eklenir.

Sınav öncesi şu maddeleri tekrar etmek yeterli olacaktır:

• Yanal alan = 2πr · h
• Toplam alan = 2πr·h + 2πr²
• Hacim = πr² · h
• Taban çevresi = 2πr
• Toplam alanda iki taban eklenir; yalnız bir taban eklenirse sonuç yarım kalır.

Kendini dene

Bu üç soru konunun özetidir. Çözmeden önce her biri için hangi kuralı kullanıyorum diye düşün; cevap anahtarı sonda verilmiştir.

1. Silindirin toplam yüzey alanı hangisidir? (Şıklar: 2πr² + 2πrh · πr²h · 2πrh · 4πr²)
2. Silindirin hacmi hangi bağıntıyla bulunur? (Şıklar: πr²h · 2πrh · πr² · πr²h/3)
3. Yarıçapı 2 cm olan tabanın alanı kaç cm²'dir? (π ≈ 3,14) (Şıklar: 6,28 cm² · 12,56 cm² · 12,56 cm³ · 25,12 cm²)

Cevap anahtarı: 1) 2πr² + 2πrh — İki daire taban ve yanal yüzey toplanır: 2πr² + 2πrh.

2) πr²h — Silindir hacmi taban alanı × yükseklik = πr²h’tır.

3) 12,56 cm² — A = πr² = 3,14 · 4 = 12,56 cm² olarak hesaplanır ve alanın birimi karedir.

Komşu konular

Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:

• Koni — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Küre — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Katı Cisimlerde Alan ve Hacim Özeti — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Sınav Stratejileri ve Formül Kartları — aynı ünitede, bir sonraki adım.

Bu anlatım hakkında

Silindir başlığındaki her sayısal iddia elle doğrulanabilir biçimde yazıldı: soruda verilen değer, uygulanan kural ve bulunan sonuç yan yana durur. Metin özgün yazılmıştır, başka bir kaynaktan alıntı yapılmamıştır.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Yarıçapı 7 cm ve yüksekliği 10 cm olan silindirin taban çevresini, yanal alanını, hacmini ve toplam yüzey alanını hesaplayınız (π ≈ 22/7). (15 puan)
• Silindirin açınımında oluşan dikdörtgenin kenarlarının neden 2πr ve h olduğunu adım adım açıklayınız. (10 puan)
• Taban yarıçapı 5 cm, yüksekliği 12 cm olan silindirin hacmini, yanal alanını ve toplam yüzey alanını π ≈ 3,14 alarak hesaplayınız; sonuçları bir tabloda gösteriniz. (10 puan)