10. SınıfMatematik
Matematik · 10. Sınıf · Analitik Geometri
Bu derste Doğru Denklemi ve Eğim konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.
Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:
Bu konuyu anlamanın ön koşulu Koordinat Düzlemi ve Uzaklık bilgisidir. Koordinat Düzlemi ve Uzaklık konusundaki temel kavramlar bu derste örneklerin üzerinde yeniden karşımıza çıkacak.
Bir doğrunun x-ekseniyle yaptığı açının tanjantına eğim denir. Eğim, doğrunun ne kadar dik olduğunu gösterir. İki noktası bilinen doğrunun eğimi, y'lerdeki değişimin x'lerdeki değişime oranıdır.
Eğim pozitifse doğru sağa yükselir, negatifse sağa alçalır. Yatay doğrunun eğimi 0, düşey doğrunun eğimi tanımsızdır.
Eğim, doğrunun yatay bir birim ilerlemede ne kadar yükseldiğini gösterir. m = Δy/Δx biçiminde yazılır ve pozitif eğim sağa yükselirken negatif eğim sağa alçalır. Eğim değeri artan ve azalan davranışın en hızlı göstergesidir.
| Biçim | İfade | Hangi bilgiyle yazılır |
|---|---|---|
| Eğim-kesim | y = mx + n | Eğim ve y-kesim noktası |
| Nokta-eğim | y − y₁ = m(x − x₁) | Eğim ve bir nokta |
| Genel | ax + by + c = 0 | Standart yazım |
| İki nokta | m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) | İki bilinen nokta |
Genel biçimde eğim −a/b olarak okunur; bu kısayol, denklemi y'ye yalnız bırakmadan diklik hakkında bilgi verir. Yatay doğrunun eğimi 0, düşey doğrunun eğimi ise tanımsızdır.
(1, 2) noktasından geçen ve eğimi 3 olan doğrunun denklemi y − 2 = 3(x − 1) biçiminde kurulur; açıldığında y = 3x − 1 bulunur. Bu denklemin y-kesimi −1, x-kesimi ise 1/3'tür.
Sınavda eğim sorularında x'in katsayısı çoğunlukla cevabı verir; y yalnız bırakıldıktan sonra okumak yeterlidir. Düşey doğru sorularında eğim aramak zaman kaybıdır; bu doğrular x = a biçiminde yazılır.
Elde edilen denklem verilen noktalar için ayrı ayrı kontrol edilir; her iki noktayı da sağlayan doğru doğrudur.
İki doğrunun eğimleri eşitse doğrular paralel ya da çakışık olur; eğimlerin çarpımı −1 ise birbirine diktir. 2x + 3y − 6 = 0 doğrusunun eğimi −2/3 olduğundan buna dik olan doğrunun eğimi 3/2 olur; bu ikili çarpıldığında −1 sonucu çıkarak diklik doğrulanır.
Denklemi yazmadan önce eğimi okumak yeterlidir: y = mx + n biçiminde y yalnız bırakıldığında x'in katsayısı eğimi verir. Genel biçimde ise eğim −a/b olarak okunur; iki okuma yolu aynı doğru üzerinde çelişiyorsa denklem sadeleştirme adımında hata vardır.
x-kesimi için y sıfıra konur, y-kesimi için x sıfıra konur. 2x + 3y − 6 = 0 doğrusunda bu kural (3, 0) ve (0, 2) noktalarını tek işlemle verir; iki nokta da grafiği çizmek için yeterlidir ve doğru denkleminin kontrolünü de sağlar.
Konuyu pekiştirmek için günlük hayattan bir uygulamaya bakmak gerekir. Aşağıdaki görev, Doğru Denklemi ve Eğim bilgisini gerçek bir işin içinde kullandırmak için hazırlandı; çözerken hangi adımı nerede kullandığımızı not etmek faydalıdır.
Uygulama sorusu: A(2, 5) ve B(6, 13) noktalarından geçen doğrunun eğimini, y-kesimini ve denklemini sırayla hesaplayınız.
Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.
Bu konuyu çalışırken işinize yarayacak notlar
İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.
Örnek 1: Eğim
Soru: A(1, 2) ve B(3, 8) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.
Cevap: Cevap: Eğim 3'tür.
Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.
Örnek 2: Doğru Denklemi
Soru: Eğimi 2 olan ve (1, 3) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız.
Cevap: Cevap: y = 2x + 1
Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.
| Kavram | Anlamı | Sık karıştırılan karşılığı |
|---|---|---|
| Eğim | Eğim, doğrunun ne kadar dik olduğunu gösterir. İki noktası bilinen doğrunun eğimi, y'lerdeki değişimin x'lerdeki değişime oranıdır. | Düşey doğrunun eğimini 0 sanmak |
| Nokta-eğim | Y − y₁ = m(x − x₁). | Nokta-eğim biçiminde işaret hatası |
| Yatay doğrunun eğimi 0 | Düşey doğrunun eğimi tanımsızdır. | Düşey doğrunun eğimini 0 sanmak |
Aşağıdaki tablo bu konudaki kuralları tek bakışta toplar. Karar verirken önce bu tabloya bakmak, kuralı hatırlamakta işe yarar.
| Kural ya da formül | Ölçü / birim | Örnek adımlarında geçiyor mu |
|---|---|---|
| m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) | Ölçü birimi yok (saf kural) | Örnek adımlarında sayısal olarak geçmiyor |
| m = tan α (α: x-ekseniyle yapılan açı) | Ölçü birimi yok (saf kural) | Örnek adımlarında sayısal olarak geçmiyor |
| y = mx + n; y − y₁ = m(x − x₁) | Ölçü birimi yok (saf kural) | Örnek adımlarında sayısal olarak geçmiyor |
| x-kesişimi: y = 0; y-kesişimi: x = 0 | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 3: Kesişimler |
| Genel biçimde eğim −a/b, y-kesimi ise −c/b olarak okunur. | Ölçü birimi yok (saf kural) | Örnek adımlarında sayısal olarak geçmiyor |
Aşağıdaki hatalar bu konuda en sık görülenlerdir. Her biri için önce hatanın kendisi, sonra neden yanlış olduğu ve doğrusu anlatılmıştır.
Kısaca: Doğrunun eğimi m = Δy/Δx'tir ve doğrunun dikliğini gösterir. Doğru denklemi eğim-kesim veya nokta-eğim biçiminde yazılabilir. Yatay doğrunun eğimi 0, düşey doğrununki tanımsızdır; genel biçimde eğim −a/b olarak okunur.
Derste gördüğümüz ana fikirler şunlar:
Aşağıdaki sorular konunun farklı yönlerini yoklar. Önce kendin çöz, sonra cevap anahtarına bak; eğer bir soruyu yanlış yaptıysan yukarıdaki ilgili bölüme geri dön.
Cevap anahtarı: 1) 2 — m = (5 − 1) ÷ (2 − 0) = 4 ÷ 2 = 2 olduğundan eğim 2'dir.
2) 3 — y = mx + n biçiminde x katsayısı eğimi verir; buradan m = 3 olarak okunur.
3) (y₂−y₁)/(x₂−x₁) — Eğim, düşey değişimin yatay değişime oranıdır ve (y₂−y₁)/(x₂−x₁) bağıntısıyla bulunur.
Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:
Bu derste Doğru Denklemi ve Eğim konusu için kullanılan sayısal değerlerin tamamı adım adım gösterilerek hesaplandı; yaklaşık değer gereken yerde yaklaşık ifadesi açıkça yazıldı. Bu anlatım başka bir kitaptan cümle aktarmadan, konunun tanım ve kural düzeni yeniden yazılarak hazırlandı.
Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:
Bu derste Doğru Denklemi ve Eğim konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz.
Bu derste Doğru Denklemi ve Eğim konusunu önce kuralıyla, sonra sayı üstünde uygulamasıyla göreceğiz. Her adımda "neden böyle yapıyoruz" sorusunu cevaplamak asıl hedeftir; kuralı ezberleyip bırakmak işe yaramaz. Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:
Eğimde ters çevirmek: m = Δy/Δx'tir, Δx/Δy değil. Düşey doğrunun eğimini 0 sanmak: Düşey doğrunun eğimi tanımsızdır.
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) · m = tan α (α: x-ekseniyle yapılan açı) · y = mx + n; y − y₁ = m(x − x₁) · x-kesişimi: y = 0; y-kesişimi: x = 0
İki noktadan eğimi hesaplar. Eğim-kesim ve nokta-eğim biçimlerini kullanır. Doğrunun x ve y eksenlerini kestiği noktaları bulur.
A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarından geçen doğrunun eğimi nasıl bulunur?
Doğru cevap: A) (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
(y₂−y₁)/(x₂−x₁) kavramı Doğru Denklemi ve Eğim konusunun temel bir kavramıdır. Detaylar konu anlatımında verilmiştir.
y = 3x − 2 doğrusunun eğimi kaçtır?
Doğru cevap: A) 3
y = mx + n biçiminde x katsayısı eğimi verir; buradan m = 3 olarak okunur.
(0,1) ve (2,5) egim?
Doğru cevap: B) 2
Eğim, y'deki değişimin x'teki değişime oranıdır: Δy = 5 − 1 = 4, Δx = 2 − 0 = 2, m = 4 ÷ 2 = 2. Pay ile paydayı ters çevirmek en sık hatadır; her iki okuma aynı eksenden alınmalıdır.
Konu anlatımları hesapsız okunur. Quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Matematik için çalışma yolu
Konu anlatımları hesapsız okunur; quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Bu sayfa Doğru Denklemi ve Eğim konusunun anlatımını, kazanımlarını ve örnek sorularını içerir. Konuyla ilgili tüm sorular için testi çöz, diğer konular için DersTeders ana sayfasına geçebilirsin.
Bu konuyu çalış: hesap aç, ilerlemen kaydedilsin.
Hesap aç