Sayma İlkeleri

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Sayma İlkeleri konusunu çalışacağız.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Toplama ilkesinin geçerli olduğu durumları açıklar.
• Kazanım 2: Çarpma ilkesini kullanarak çok aşamalı sayma problemleri çözer.
• Kazanım 3: Ağaç diyagramı çizerek bir problemin tüm yollarını listeler.
• Kazanım 4: Faktöriyel kavramını tanımlar ve hesaplar.
• Kazanım 5: Sıralama ve seçme problemlerinde doğru sayma yöntemini belirler.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konunun dayandığı temel Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri başlığıdır. Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri konusunda kazanılan bilgiyi burada yeniden kullanacağız, bu yüzden o konudaki tanım ve çıkarımları hatırlamak işimizi kolaylaştırır.

• Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Veri Toplama ve Grafikler — ön bilgi: bu başlıktaki tanımları hatırlamamız gerekiyor.

Sayıma Neden İhtiyaç Duyarız?

Bir olayın kaç farklı şekilde gerçekleşebileceğini sormak, günlük hayatın ve sınavın en sık karşılaşılan problemleridir. Örneğin kantinde 5 çeşit poğaça, 4 çeşit simit varsa bir kere seçim yapacak kişi için 9 seçenek vardır. Doğru sayabilmek için iki temel ilke kullanılır: toplama ilkesi ve çarpma ilkesi.

Sayıma başlamanın ilk kuralı, problemin aşamalarını ayırmaktır: aynı anda mı seçim yapılıyor (tek seçim), yoksa sırayla birden fazla adım mı atılıyor? Bu ayrım, hangi işlemin yapılacağını doğrudan belirler.

Toplama İlkesi

Toplama ilkesi, ayrık yani birlikte gerçekleşemeyen seçeneklerin sayılmasında kullanılır. Bir kişi ya poğaça ya simit alacaktır; ikisini birden almıyorsa seçenekler toplanır. Bu ilke, aynı amaca giden farklı grupların birleşimidir ve sonuç, o amaca ulaşan toplam yoldur.

Toplam yol = birinci durumdaki yol + ikinci durumdaki yol

Çarpma İlkesi

Çarpma ilkesi, sırayla yapılan ve her aşamasının tamamlanması gereken seçimlerde kullanılır. 3 farklı gömlek ve 4 farklı pantolon varsa kombin sayısı 3 × 4 = 12'dir; çünkü her gömlek, 4 pantolonun her biriyle eşleşebilir. Her aşamanın seçenek sayısı sabit olmalıdır.

Toplam yol = aşama1 × aşama2 × … × aşamaₖ

Ağaç Diyagramı

Ağaç diyagramı, çok aşamalı problemlerin tüm yollarını görsel olarak gösterir. Her aşama bir dallanma, her seçenek bir dal oluşturur. 2 kapıdan geçilip her kapıdan 3 koridora, oradan 4 çıkışa gidiliyorsa kollar 2 × 3 × 4 = 24 yolu gösterir. Ağaç çizmek, zihninde tutmaya göre çok daha güvenilirdir ve aşamaların sayısını netleştirir.

Faktöriyel

n farklı nesnenin sıralanabileceği yol sayısı faktöriyel ile bulunur ve n! ile gösterilir. 5 farklı kitabın rafa dizilişi 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 yoldur. Kural gereği 1! = 1 ve 0! = 1 olarak kabul edilir; boş bir kümenin tek bir sıralanışı olduğu düşünülür.

n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1 · 0! = 1! = 1

Adım Adım: Sayma Problemi Çözme

1. Soruda kaç aşama olduğu, seçimlerin sıralı mı ayrık mı olduğu belirlenir.
2. Her aşamanın kaç seçenek verdiği tek tek yazılır.
3. Ayrık durumlarda toplama, sıralı aşamalarda çarpma yapılır.
4. Sonuç kontrol edilir: beklenen büyüklüğe yakın mı, birim doğru mu diye bakılır.

Bu dört adım izlenirse hangi ilkenin kullanılacağı karışmaz.

Sınav Odaklı: Anahtar Kelimeler

Soruda ya da, ya da... ya da gibi ifadeler toplamayı; birlikte, sırasıyla, her biri için gibi ifadeler çarpmayı işaret eder. Sıra önemli mi diye sorulan sorularda faktöriyel devreye girer. Sonucun makul olup olmadığı da bir kontrol yöntemidir: 2 yollu bir kapıda 400 seçenek beklenmez.

Günlük hayattan bir uygulama

Şimdi konuyu kendi hayatımızdaki bir duruma uygulayacağız. Sayma İlkeleri bilgisi olmadan da bu iş yapılabilir, ama nasıl yapıldığını açıklamak zorlaşır; soru tam da bu açıklamayı istiyor.

Uygulama sorusu: Bir restoranda 3 çeşit çorba, 4 çeşit ana yemek, 2 çeşit tatlı ve 3 çeşit içecek vardır. Her gruptan birer tane seçilerek menü oluşturulacaktır. Toplam menü sayısını çarpma ilkesiyle adım adım hesaplayıp toplama ilkesinin hangi durumda kullanılacağını açıklayınız.

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Yararlı ipuçları

• Soruda ya da ifadesi varsa toplama, sırayla ve birlikte ifadesi varsa çarpma ihtimalini ilk kontrol et.
• Aşamaları madde madde yaz, her aşamanın seçenek sayısını yanına koy, sonra çarp.
• Faktöriyelde önce N'yi doğru say; 5! ile 4! karıştırması en sık yapılan hatadır.
• Karmaşık sorularda ağaç diyagramı çiz; kolları yazmak zihninde tutmaya göre çok daha güvenlidir.
• Sonucu makul bul: 2 kapılı bir yerde 500 yol çıktıysa yanlış yerde çarpmış ya da toplamışsındır.

İki örnek üzerinde çözüm

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Toplama İlkesi

Soru: Bir kantinde 5 çeşit poğaça ve 4 çeşit simit satılmaktadır. Yalnızca bir tür yiyecek seçecek bir öğrenci için kaç farklı seçenek vardır?

1. Adım 1: Seçim tek değildir; öğrenci ya poğaça ya simit alır, durumlar ayrktır.
2. Adım 2: Ayrık durumlar toplanır: 5 + 4.
3. Adım 3: Toplam 9 olarak bulunur.

Cevap: 9 farklı seçenek

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: İki Aşamalı Çarpma

Soru: 3 farklı gömlek ve 4 farklı pantolon bulunan bir dolapta, her gömlek-pantolon eşleşmesi bir kombindir. Kaç farklı kombin yapılabilir?