Doğrusal ve Karesel Fonksiyonlarla Çözülen Problemler

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Doğrusal ve Karesel Fonksiyonlarla Çözülen Problemler başlığını ele alacağız. Önce kavramın kuralını yazacağız, sonra o kuralın sayı üzerinde nasıl işlediğini adım adım göstereceğiz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Bir problem durumunu uygun değişken seçerek fonksiyon modeliyle ifade edebilme
• Kazanım 2: Doğrusal modellerle hız, ücret, tüketim gibi problemleri çözebilme
• Kazanım 3: Karesel modellerle alan ve yükseklik problemlerini çözebilme
• Kazanım 4: Bir modelin en büyük ya da en küçük değerini doğru yorumlayabilme
• Kazanım 5: İki farklı modelin kesiştiği başabaş noktasını bulup yorumlayabilme

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konu, Karesel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri başlığında öğrendiklerimizin üzerine kurulur. Önceki konudaki kavram burada yeniden kullanılıyor; bu yüzden o adımı atlamamak önemlidir.

• Karesel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Problem Kurma ve Değişken Seçimi

Bir problemi fonksiyonla modellemek için önce bağımsız değişken seçilir. Bu değişken, durumda kolayca ölçülebilen ve artan ya da azalan miktar olmalıdır. Bağımlı değişken ise ona karşılık gelen sonuçtur. Seçilen değişkenin birimi yazılmazsa sonuçlar karışabilir; bu yüzden en başta birimler yazılmalıdır.

Model kurulduktan sonra soru cümlesindeki her sayı modelde yerine konmalıdır. Hız, birim fiyat ve sabit terim doğrudan katsayılara karşılık gelir. Toplam, maliyet, alan gibi ifadeler ise karesel modellerde çoğu zaman iki parçanın çarpımı olarak ortaya çıkar.

Doğrusal Modellerle Problem Çözme

Doğrusal modelde sonuç, bir sabit değere bir değişkenin katlanarak eklenmesiyle oluşur. Bu yüzden bir toplam sorusu genellikle iki adımda çözülür: önce değişken çarpımı bulunur, sonra sabit değer eklenir. Birim tutar sorularında ise tam tersi işlem yapılır, yani toplamdan sabit kısım çıkarılıp birim tutara bölünür.

Oran sorularında doğrusallık korunduğu için iki ölçüm noktasından eğim bulunabilir. Bu eğim, bir değişken birim arttığında diğerinin ne kadar değiştiğini gösterir.

Karesel Modellerle Problem Çözme

Alan, çevre ya da iki boyutlu büyüklükler karesel modellerle çözülür. Dikdörtgenlerde bir kenar sabitken diğeri değişken olduğunda alan karesel bir ifadeye dönüşür. Bu ifadenin en büyük değeri, tepe noktasında bulunur ve tepe noktası çoğu zaman iki kenarın eşit olduğu durumla örtüşür.

Yükseklik biçimindeki modellerde de aynı yöntem kullanılır. Bağımsız değişkenin hangi aralıkta tanımlı olduğu önemlidir; tepe noktası bu aralığın dışında kalıyorsa en büyük değer aralığın ucunda oluşur.

Model Tiplerine Göre Sonuç

İleri örnek

Bir dikdörtgen bahçenin kenar uzunlukları x ve 24 − x metredir. Alan A(x) = x(24 − x) olarak modellenir.

1. Çarpım açılır ve karesel biçime getirilir.
2. Doğrusal terimin yarısı olan on iki bulunur, yüz kırk dört eklenip çıkarılır.
3. Alan, on iki eksi x'in karesi artı yüz kırk dört biçiminde yazılır.
4. Katsayı negatif olduğundan en büyük değer parantezin sıfır olduğu noktadır ve yüz kırk dört metrekare bulunur.

Başabaş noktası bulunan örneklere gelince, gelir ile maliyet modelleri eşitlenir. Elde edilen denklemde kökler bulunur; bunlar satış adedinin iki farklı değerinde gelir ile maliyetin birbirine eşit olduğunu gösterir. Bu değerlerden küçük olan başlangıçtaki, büyük olan sonraki kırılma noktasını belirtir.

Özet

Problemleri fonksiyonlarla modellemek üç aşamada yürür: değişken seçimi, fonksiyon kuralının yazılması ve istenen değerin hesaplanarak yorumlanması. Doğrusal modellerde sabit kısım ile değişken kısım ayrılır; toplam sorusunda değişken çarpımı bulunup sabit eklenir, birim tutar sorusunda ise sabit çıkarılıp kalan değer birim tutara bölünür. Oran sorularında iki ölçüm noktasından eğim hesaplanır. Karesel modeller alan, yükseklik ve gelir gibi büyüklüklerde kullanılır; en büyük değer tepe noktasında, kök değerleri ise modelin sıfıra eşit olduğu yerlerdir. Gelir ve maliyet modelleri eşitlendiğinde başabaş noktaları elde edilir. Tepe noktası tanım aralığının dışında kalıyorsa en büyük değer aralığın ucunda aranmalıdır.

Sık Yapılan Hatalar

• Birim tutar sorusunu toplam sorusu gibi çözmek: birim tutar bulunurken önce sabit kısım çıkarılmalı, kalan bölünmelidir. Toplama yapılırsa sonuç çok büyük çıkar.
• Tepe noktasını tanım aralığına bakmadan seçmek: tepe noktasının apsisi negatifse ya da kabul edilen değerler kümesinin dışındaysa oradaki değer en büyük değer değildir.
• Alan modelinde iki kenarı birbirine bağımlı saymamak: bir kenar artarken diğeri aynı miktarda azalır; bu bağımlılık kurulmadan alan hesaplanamaz.
• Birimi atlamak: saat, kilometre, litre gibi birimler yazılmazsa farklı problemlerdeki sayılar birbiriyle karıştırılabilir.
• Modeli denetlememek: bulunan değerin anlamlı olup olmadığı, örneğin üretim adedinin negatif çıkmaması gerektiği kontrol edilmelidir.

Günlük hayattan bir uygulama

Bu derste öğrendiklerimizi günlük hayatta görmek, konuyu kalıcı hale getirir. Aşağıdaki görevde Doğrusal ve Karesel Fonksiyonlarla Çözülen Problemler bilgisi bir işin içinde kullanılıyor; çözümü kendiniz yazmayı deneyin.

Uygulama sorusu: Bir internet paketi için aylık sabit ücret 30 birim, kullanılan her gigabayt için 4 birim ücret alınmaktadır. Ayda 25 gigabayt kullanılan bir abonenin ödediği ücreti bulunuz ve paketin doğrusal modelini yazınız.

Bu görev için 12 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Dersi tekrar ederken bakacağınız notlar

• Model kurarken bağımsız değişkenin birimini soru cümlesinde geçen birimle eşleştirin; bu, katsayının yorumunu kolaylaştırır.
• Doğrusal modellerde parantez içi sabit kısım, katsayı ise birim tutar olarak düşünün; ikisi arasında karıştırmak hata kaynağıdır.
• Karesel alan problemlerinde iki kenarın toplamının sabit olduğunu hemen görün; tepe noktası iki kenarın eşit olduğu yere denk gelir.
• Kök bulduğunuzda fiziksel olarak anlamlı olan kökü seçin ve diğerini neden attığınızı yazın.
• Doğrulama için modeli bir test değeriyle deneyin; mantıklı çıkmıyorsa kurguda hata vardır.

Çözülmüş örnek adımları

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Dolum Süresi Bulma

Soru: Bir depoda 120 litre su vardır ve depoya dakikada 15 litre su eklenmektedir. Depoda kaç litre su olduğunda kaç dakika geçmiş olur?

1. Bağımsız değişken dakika, bağımlı değişken litre olarak seçilir.
2. Suyun eklenmesi sabit bir hız olduğu için model doğrusaldır.
3. Hedef litre değerinden başlangıçtaki litre değeri çıkarılır.
4. Kalan fark dakikadaki eklenen miktarla bölünür.

Cevap: 180 litrenin 15 litreye bölümü olan on iki dakika geçmiş olur.

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: Kargo Ücreti Modelleme

Soru: Bir kargo firması ilk on kilometre için 70 birim, sonraki her kilometre için 6 birim ücret almaktadır. Yirmi beş kilometrelik gönderinin ücreti kaç birimdir?

1. Ücret iki parçaya ayrılarak modellenir.
2. İlk on kilometre için sabit ücret alınır.
3. Kalan on beş kilometre birim fiyatla çarpılır.
4. İki tutar toplanır.

Cevap: Sabit yetmiş, kalan kırk beş dokuz, toplam yüz altmış birim ücret bulunur.

Kavram karşılaştırma tablosu — Kavram, anlam ve sık karıştırılan karşılık

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Konudaki kural ve ölçü özeti

Konudaki kural ve ölçüleri tek tabloda topladık. Bu tablo, tekrar anlarında ilk bakılacak yerdir.

Sık karşılaşılan yanlışlar

Aşağıdaki hatalar bu konuda en sık görülenlerdir. Her biri için önce hatanın kendisi, sonra neden yanlış olduğu ve doğrusu anlatılmıştır.

• Birim tutar sorusunu toplam sorusu gibi çözmek: Birim tutar bulunurken önce toplamdan sabit kısım çıkarılmalı, kalan değer birim tutara bölünmelidir. Doğrudan bölme ya da çarpma yapılırsa sonuç çok büyük ya da anlamsız çıkar.
• Tepe noktasını tanım aralığına bakmadan seçmek: Tepe noktasının apsisi negatifse ya da kabul edilen değerler kümesinin dışındaysa oradaki değer en büyük değer değildir; bu durumda aralığın ucu denetlenmelidir.
• Alan modelinde iki kenarı birbirinden bağımsız saymak: Bir kenar artarken diğeri eşit miktarda azalır. Bu bağımlılık kurulmadan alan ifadesi doğru kurulamaz ve sonuç yanlış çıkar.
• Birimleri atlayarak sayıları karıştırmak: Saat, kilometre, litre gibi birimler yazılmadığında farklı problemlere ait sayılar birbiriyle karıştırılabilir. Birim en başta ve sonuçta birlikte yazılmalıdır.
• Modeli denetmemek: Bulunan değerin anlamlı olup olmadığı kontrol edilmelidir. Üretim adedi, mesafe ya da süre gibi nicelikler için negatif sonuçlar kabul edilemez.

Özet

Kısaca: Problemleri fonksiyonlarla modellemek üç aşamada yürür: değişken seçimi, fonksiyon kuralının yazılması ve istenen değerin hesaplanarak yorumlanması. Doğrusal modeller sabit kısım ile değişken kısımdan oluşur; toplam sorusunda değişken çarpımı bulunup sabit eklenir, birim tutar sorusunda ise toplamdan sabit çıkarılıp kalan bölünür. İki ölçüm noktası verilen oran sorularında eğim, ordinat farkının apsis farkına bölünmesiyle bulunur. Karesel modeller dikdörtgen alanı, atış yüksekliği, gelir ve kâr gibi büyüklüklerde…

Anlatımı bir cümlede özetleyeceksek, şunu söyleyebiliriz:

• Değişken seçimi problem kurmanın en belirleyici adımıdır; ölçülebilir ve birimi açık olan değişken seçilmelidir.
• Doğrusal modellerde değişkenin artı ya da azalma yönü, katsayının işaretiyle her zaman örtüşür.
• Birim tutar sorularında önce toplamdan sabit kısım çıkarılır, kalan değer birim tutara bölünür.
• Karesel alan modellerinde iki kenar arasındaki toplam sabittir; biri artarken diğeri eşit miktarda azalır.
• En büyük ya da en küçük değer sorularında tepe noktasının apsisi, tanım kümesinin dışında kalıyorsa uç değerler denetlenmelidir.
• Başabaş noktası bulunurken gelir ve maliyet modellerinin eşitlenmesi gerekir; çözülen köklerden anlamlı olanlar seçilir.

Kendini dene

Aşağıdaki sorular konunun farklı yönlerini yoklar. Önce kendin çöz, sonra cevap anahtarına bak; eğer bir soruyu yanlış yaptıysan yukarıdaki ilgili bölüme geri dön.

1. Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları x ve 24 − x metredir. Bu bahçenin alanı en fazla kaç metrekare olabilir? (Şıklar: 144 · 288 · 12 · 576)
2. Bir bahçenin bir kenarı 3 metre azaltıldığında alanı 24 metrekare azalmaktadır. Bahçenin diğer kenarı x metre ise x kaçtır? (Şıklar: 6 · 8 · 9 · 11)
3. Bir depoda 120 litre su vardır ve depoya dakikada 15 litre su eklenmektedir. Depoda 300 litre su olduğunda kaç dakika geçmiş olur? (Şıklar: 12 · 8 · 20 · 15)

Cevap anahtarı: 1) 144 — Alan ifadesi x çarpı 24 eksi x olarak yazılır ve açıldığında karesel bir biçim elde edilir. Doğrusal terimin yarısı olan on iki bulunur ve yüz kırk dört eklenip çıkarılır. Tam kare biçiminde en büyük…

2) 8 — Bir kenar azaltıldığında alan farkı, azalma miktarı ile diğer kenarın çarpımına eşittir. Azalma üç metre olduğuna göre üç ile x çarpımı yirmi dörde eşit olmalıdır. Eşitlik çözüldüğünde x için sekiz d…

3) 12 — Suyun eklenmesi sabit bir hızda gerçekleştiği için model doğrusaldır. Hedef litre değerinden başlangıçtaki litre değeri çıkarılır ve kalan fark dakikada eklenen miktara bölünür. Yüz seksen litre on b…

Yakın konular

Konunun yerine oturması için komşu başlıkları da bilmek gerekir. Şunlarla birlikte çalışmak konuyu pekiştirir:

• Üçgenlerin Temel Özellikleri — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Üçgende Eşlik ve Benzerlik — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Dörtgenler ve Özellikleri — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.
• Dörtgenlerde Alan — sonraki ünitenin başlangıcı; konuyu genişletir.

Kaynak notu

Bu derste Doğrusal ve Karesel Fonksiyonlarla Çözülen Problemler konusu için kullanılan sayısal değerlerin tamamı adım adım gösterilerek hesaplandı; yaklaşık değer gereken yerde yaklaşık ifadesi açıkça yazıldı. Bu anlatım başka bir kitaptan cümle aktarmadan, konunun tanım ve kural düzeni yeniden yazılarak hazırlandı.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• Bir internet paketi için aylık sabit ücret 30 birim, kullanılan her gigabayt için 4 birim ücret alınmaktadır. Ayda 25 gigabayt kullanılan bir abonenin ödediği ücreti bulunuz ve paketin doğrusal model… (12 puan)
• Bir çevre 80 metrelik çit kullanılarak dikdörtgen biçiminde çevrilecektir. Çevreleyen alanın en büyük olması için dikdörtgenin kenar uzunlukları ne olmalı ve en büyük alan kaç metrekare olmalıdır? Ad… (15 puan)
• Bir dükkânda bir ürünün toplam maliyeti C(x) = 200x + 1500, toplam satış geliri R(x) = 500x − 5x² biçimindedir. Kârın en büyük olduğu satış adedini ve başabaş noktalarını bulunuz. (14 puan)