Bölünebilme

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Bölünebilme başlığını ele alacağız. Önce kavramın kuralını yazacağız, sonra o kuralın sayı üzerinde nasıl işlediğini adım adım göstereceğiz.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Bölme algoritmasını bölüm ve kalanıyla yazar.
• Kazanım 2: Temel bölünebilme kurallarını uygular.
• Kazanım 3: Kalan üzerinden bölünebilirliği değerlendirir.
• Kazanım 4: Bölünebilme kurallarını günlük hayat problemlerinde kullanır.

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konuyu anlamanın ön koşulu Bölenleri bilgisidir. Bölenleri konusundaki temel kavramlar bu derste örneklerin üzerinde yeniden karşımıza çıkacak.

• Bölenleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• Bir Doğal Sayının Asal Çarpanları — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Bölme Algoritması

Herhangi bir doğal sayı, bir başka doğal sayıya bölündüğünde bölüm ve kalan elde edilir. Bölme algoritması, bölünenin bölen ile bölümün çarpımına eşit olduğunu, buna kalanın eklendiğini söyler. Yani a = b × q + r yazısı geçerlidir; burada r, bölenden küçüktür ve pozitif ya da sıfırdır.

47 sayısı 6'ya bölündüğünde 47 = 6 × 7 + 5 yazılır; bölüm 7, kalan 5'tir. Kalan sıfırsa sayı bölene tam bölünmüştür. Bu yüzden bölünebilme, kalanın sıfır olması durumudur ve tüm kurallar aslında bu fikri hızlandırmaya yarar.

Temel Bölünebilme Kuralları

Sayı uzun olduğunda her seferinde tam bölme yapmak yavaş olur. Bunun yerine rakamların özelliklerine bakılır; bu da bölünebilme kuralları olarak adlandırılır. Aşağıdaki tablo, en sık kullanılan kuralları özetler.

6 ile bölünebilme, hem 2 hem 3 kurallarının birlikte sağlanmasına bağlıdır; 8 ile bölünebilmede ise son üç basamağa bakılır. Bu kurallar ezberden çok, nedenlerini anlamayı gerektirir: 3 ve 9 için rakam toplamı, sayının 9'un ve 3'ün katlarından farkını korur.

Kalan ile Değerlendirme

Bir sayı 4 ile bölündüğünde kalan 2 ise aynı sayı 2 ile de tam bölünür; çünkü kalan, bölen ile bölümün katına eklenen eksiktir. Kalan üzerinden kurulan sorularda, verilen iki bölmeden ortak yapı aranır. 47 ÷ 6 işleminde bölüm 7 ve kalan 5 ise 47 = 6 × 7 + 5 olduğu için 47'nin 5 fazlası 6'nın katıdır.

Bölünebilme Özellikleri

• İki sayı tam bölünüyorsa toplamları ve farkları da o sayiya tam bölünür.
• Bir sayıya tam bölünen iki sayının çarpımı da o sayıya tam bölünür.
• Bir sayıya tam bölünmüyorsa, o sayının katları da bölünmez.
• Sıfır hariç her sayı sıfıra bölünemez.

Adım Adım Yöntem

1. Önce bölme algoritmasını kur, bölüm ve kalanı belirle.
2. Kuralın gerektirdiği rakam özelliğini kontrol et: son rakam, son iki ya da üç basamak, rakam toplamı.
3. Sonucu küçük bir örnekle doğrula.

Sınav Odaklı Uygulama

Sınavlarda bölünebilme, kalan soruları, problem çözümleri ve EBOB-EKOK konularıyla iç içe sorulur. Hangi kuralın hangi bölen için geçerli olduğunu bilmek, dört seçenekli sorularda iki seçeneği ilk anda elemeyi sağlar. Ayrıca 9'un kuralı ile 3'ün kuralının aynı mantığa dayandığını görmek, ezber yükünü azaltır.

Bölünebilme Kuralları ve Nedenleri

İki basamaklı bir sayıda son rakamın çift olması, 2 ile bölünebilme için gerekli olan özelliklerden biridir. Bu durumda, sayı 2 ile tam bölünür. Örneğin, 134 sayısı 2 ile tam bölünür çünkü son rakamı 4 olarak gösterir. 2 ile bölünebilme kuralları, sayıların genel özellikleriyle ilgilidir ve bu kurallar, bölme algoritmasının temelini oluşturur. Bu kurallar, herhangi bir doğal sayıyı bölen sayıya bölme yaparken kullanılır. 3 ile bölünebilme kuralları, rakamların toplamının 3 ile bölünebilmesi durumunda geçerlidir. 123 sayısı 3 ile tam bölünür çünkü rakamların toplamı 6 olup 3 ile bölünebilir. Bu kural, sayıların bölünebilme özelliklerini anlamak için önemlidir. 4 ile bölünebilme kuralları, son iki basamak arasındaki sayının 4 ile bölünebilmesi durumunda geçerlidir. 316 sayısı 4 ile tam bölünür çünkü son iki basamağı 16 olarak gösterir ve 16, 4 ile tam bölünür. Bu kural, sayıların bölünebilme özelliklerini anlamak için kritik öneme sahiptir.

Bölünebilme kuralları, sayıların bölünebilme özelliklerini anlamak için kullanılır. 5 ile bölünebilme kuralları, son rakamın 0 veya 5 olması durumunda geçerlidir. 245 sayısı 5 ile tam bölünür çünkü son rakamı 5 olarak gösterir. 9 ile bölünebilme kuralları, rakamların toplamının 9 ile bölünebilmesi durumunda geçerlidir. 234 sayısı 9 ile tam bölünür çünkü rakamların toplamı 9 olup 9 ile bölünebilir. Bu kurallar, bölme algoritmasının temelini oluşturur ve sayıların bölünebilme özelliklerini anlamak için kullanılır. 10 ile bölünebilme kuralları, son rakamın 0 olması durumunda geçerlidir. 470 sayısı 10 ile tam bölünür çünkü son rakamı 0 olarak gösterir.

Günlük hayattan bir uygulama

Bu derste öğrendiklerimizi günlük hayatta görmek, konuyu kalıcı hale getirir. Aşağıdaki görevde Bölünebilme bilgisi bir işin içinde kullanılıyor; çözümü kendiniz yazmayı deneyin.

Uygulama sorusu: 2357 sayısının 3, 4, 5 ve 9 ile bölümünde sırasıyla kalanları bulup her adımda kullandığınız kuralı yazınız.

Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Bu konuyu çalışırken işinize yarayacak notlar

• Kuralı ezberlemeden önce nedenini yaz; 3 ve 9'un mantığı rakam toplamının korunmasıdır.
• Kalan sorularında a = b × q + r yazısını kur, yerine koy, sonra soruyu oku.
• Uzun sayılarda önce hangi bölen için hangi basamağa bakılacağını işaretle.
• Şıkları kurala göre ele et; iki seçenek eleniyorsa cevap kalan ikisinde aranır.

Çözülmüş örnek adımları

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Bölme Algoritması

Soru: 47 sayısını 6'ya bölünüz, bölüm ve kalanı belirleyip denklemi yazınız.

1. Adım 1: En yakın kat 42 = 6 × 7 bulunur.
2. Adım 2: 47 − 42 = 5 kalan olarak yazılır.
3. Adım 3: 47 = 6 × 7 + 5 denklemi kurulur.

Cevap: Bölüm 7, kalan 5'tir.

Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.

Örnek 2: 3 Kuralının Uygulanması

Soru: 543 sayısının 3 ile bölümünden kalanı bulunuz.

1. Adım 1: Rakamlar toplamı 5 + 4 + 3 = 12 yapılır.
2. Adım 2: 12 ÷ 3 = 4 olduğundan sayının 3'e tam bölündüğü görülür.
3. Adım 3: Kalanın 0 olduğu yazılır.

Cevap: 543, 3 ile tam bölünür ve kalan 0'dır.

Kavram karşılaştırma tablosu — Kavram, anlam ve sık karıştırılan karşılık

Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.

Konudaki kural ve ölçü özeti

Konudaki kural ve ölçüleri tek tabloda topladık. Bu tablo, tekrar anlarında ilk bakılacak yerdir.

Sık Yapılan Hatalar

Bu konudaki tipik hataları gözden geçirmek, tekrar hata yapmayı en hızlı azaltan yoldur. Her hatanın gerekçesi yazılmıştır.

• 4 ile 8 kuralını karıştırmak: 4 için son iki, 8 için son üç basamağa bakılır.
• 3 kuralında sayıyı bölmek: Rakamlar toplanır, sayı o bölene bölünmez.
• Bölen ile bölüneni ters görmek: Bölme algoritmasında r < b şartı, bölenin daha küçük olduğunu gösterir.
• Kalanı unutmak: Tam bölünme demek kalanın sıfır olması demektir; bölüm tek başına yeterli değildir.

Bu dersten akılda kalması gerekenler

Kısaca: Bölme algoritmasına göre bir sayı, bölen ile bölümün çarpımına kalanın eklenmesiyle yazılır ve bölünebilme kalanın sıfır olması durumudur. Bölünebilme kuralları, uzun sayılarda tam bölme yapmadan sonuca ulaşmayı sağlar: 2 için son rakam çift, 3 ve 9 için rakamlar toplamı, 4 için son iki basamak, 8 için son üç basamak kontrol edilir. Kurallar birbirine bağlıdır; örneğin 6 ile bölünebilme hem 2 hem 3 koşulunu gerektirir. Kalan üzerinden kurulan sorularda bölme algoritması, verilen verileri denklem gibi kullanmayı mü…

Anlatımı bir cümlede özetleyeceksek, şunu söyleyebiliriz:

• Bölünebilme, bölme işleminde kalanın sıfır olmasıdır.
• Bölen her zaman bölenden küçüktür.
• 3 ve 9 kurallarında rakamlar toplamı esastır; basamak değerine bakılmaz.
• 4 için son iki, 8 için son üç basamağa bakılır.
• İki sayı tam bölünüyorsa toplamları ve farkları da tam bölünür.
• 6 ile bölünebilme, 2 ve 3 kurallarının birlikteliğidir.

Kendini dene

Kendi kendine dene: çözümü sen yaz, sonra anahtarla karşılaştır. Doğru yaptığın soruların altını çizmek, sınav öncesi hızlı tekrar sağlar.

1. Aşağıdaki sayılardan hangisi 8 ile tam bölünür? (Şıklar: 1016 · 1004 · 1006 · 1014)
2. 246 sayısının 4 ile bölümünden kalan kaçtır? (Şıklar: 0 · 1 · 2 · 3)
3. Aşağıdaki sayılardan hangisi 3 ile tam bölünür? (Şıklar: 123 · 124 · 125 · 127)

Cevap anahtarı: 1) 1016 — 8 ile bölünebilmede son üç basamağa bakılır: 1016 sayısında son üç basamak 016, yani 16'dır ve 16, 8'in katıdır; 1004, 1006 ve 1014 sayılarında 4, 6 ve 14 sayıları ise 8'in katı değildir.

2) 2 — 246 sayısının son iki basamağı 46'dır ve 46 = 4 × 11 + 2 olduğundan 246, 4'e bölündüğünde bölüm 61, kalan 2 olur.

3) 123 — 123'ün rakamlar toplamı 1 + 2 + 3 = 6'dır ve 6, 3'ün katıdır; bu yüzden 123, 3 ile tam bölünür.

Yakın konular

Konunun yerine oturması için komşu başlıkları da bilmek gerekir. Şunlarla birlikte çalışmak konuyu pekiştirir:

• En Büyük Ortak Bölen (EBOB) — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• En Küçük Ortak Kat (EKOK) — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Karekök Fonksiyonu ve Nitel Özellikleri — aynı ünitede, bir sonraki adım.
• Rasyonel Fonksiyon ve Nitel Özellikleri — aynı ünitede, bir sonraki adım.

Kaynak ve doğruluk notu

Bu konuda ölçü, birim ve kural iddiaları hesapla doğrulanmıştır. Bölünebilme için kullanılan her kural, konunun kendi örneklerinde gösterilerek verilmiştir; anlatım kendi ifadelerimizle yeniden düzenlenmiştir.

Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:

• 2357 sayısının 3, 4, 5 ve 9 ile bölümünde sırasıyla kalanları bulup her adımda kullandığınız kuralı yazınız. (15 puan)
• Bir sayının 6 ile tam bölünebilmesi için hangi iki kuralın birlikte sağlanması gerektiğini ve bunun nedenini açıklayıp örnek veriniz. (10 puan)
• Bölünebilme kurallarının nedenleriyle ilgili olarak, 3 ile bölünebilme kurallarının temel nedeni nedir? (10 puan)

Özet

Bölme algoritmasına göre bir sayı, bölen ile bölümün çarpımına kalanın eklenmesiyle yazılır ve bölünebilme kalanın sıfır olması durumudur. Bölünebilme kuralları, uzun sayılarda tam bölme yapmadan sonuca ulaşmayı sağlar: 2 için son rakam çift, 3 ve 9 için rakamlar toplamı, 4 için son iki basamak, 8 için son üç basamak kontrol edilir. Kurallar birbirine bağlıdır; örneğin 6 ile bölünebilme hem 2 hem 3 koşulunu gerektirir. Kalan üzerinden kurulan sorularda bölme algoritması, verilen verileri denklem gibi kullanmayı mümkün kılar.