Örnek Soru 1 kolay
2x − 5 > 7 eşitsizliğinde x hangi sayıdan büyüktür?
- A) 4
- B) 6
- C) 3
- D) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 6
5 taraf tarafa eklenir: 2x > 12, ardından iki ile bölünür ve x > 6 sonucu elde edilir.
10. SınıfMatematik
Eşitsizlikler
Matematik · 10. Sınıf · Sayılar ve Cebir
- ~7 dk okuma
- 10 kazanım
- 3 örnek soru
Konu Anlatımı
Bu derste ne öğreneceğiz?
Bu derste Eşitsizlikler konusunu çalışacağız.
Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:
- Kazanım 1: Birinci dereceden eşitsizlikleri çözer.
- Kazanım 2: İkinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümesini bulur.
- Kazanım 3: Mutlak değerli eşitsizlikleri çözer.
- Kazanım 4: Çözüm kümesini aralık ve sayı doğrusu üzerinde gösterir.
Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz
Bu konu, Denklem Sistemleri başlığında öğrendiklerimizin üzerine kurulur. Önceki konudaki kavram burada yeniden kullanılıyor; bu yüzden o adımı atlamamak önemlidir.
- Denklem Sistemleri — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
- İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Parabol — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
Eşitsizlikler
İçinde <, >, ≤ veya ≥ sembollerinden birini bulunduran ifadelere eşitsizlik denir. Eşitsizliklerin çözümü bir aralık veya aralıklar birleşimidir.
Çözüm Kuralları
- Birinci dereceden eşitsizlikte negatif sayıyla çarpma/bölmede eşitsizlik yönü değişir.
- İkinci dereceden eşitsizlikte kökler bulunur, işaret tablosu yapılır.
- |x| < a ise −a < x < a; |x| > a ise x < −a veya x > a olur.
Birinci Dereceden Eşitsizlikler
Birinci dereceden eşitsizliklerde denklem çözme kuralları geçerlidir; tek fark, eşitsizliğin iki yanının negatif bir sayıyla çarpılması ya da bölünmesi hâlinde yönün değişmesidir. Örneğin −2x > 6 eşitsizliğinin iki yanı −2 ile bölündüğünde x < −3 yazılır.
Çözüm kümesi sayı doğrusunda ok ile gösterilir: açık uç dâhil değil, kapalı uç dâhil demektir. Kesişimlerde ve birleşimlerde ise ve bağlacı kesişimi, veya bağlacı birleşimi ifade eder.
İkinci Dereceden Eşitsizlikler
- Eşitsizliğin bir tarafa geçirilerek ifadenin sıfıra eşitlenmesi sağlanır.
- Bağlantı ifadenin kökleri bulunur ve sayı doğrusu işaretlenir.
- Baş katsayısının işareti en sağdaki aralıkta belirleyicidir; işaret tablosuna göre aralıklar yazılır.
Mutlak Değerli Eşitsizlikler
| Biçim | Çözüm |
|---|---|
| |x| < a | −a < x < a (aralık) |
| |x| ≤ a | −a ≤ x ≤ a (aralık) |
| |x| > a | x < −a veya x > a (birleşim) |
| |x| ≥ a | x ≤ −a veya x ≥ a (birleşim) |
Adım Adım Yöntem
Önce ifade sıfıra eşitlenir ve kökler bulunur, ardından baş katsayının işareti ya da mutlak değer kuralı uygulanır. Bulunan aralık sayı doğrusunda çizilerek uçların açık mı kapalı mı olduğu kontrol edilir. Örneğin kökleri −3 ve 3 olan x² − 9 < 0 eşitsizliğinde parabol kökler arasında negatif olduğundan çözüm (−3, 3) aralığı olur.
Sınav Odaklı Notlar
Sınavda negatif katsayı ile bölmeyi unutmak en sık yapılan hatadır. Şıklar aralık biçimindeyse uçların dâhil edilme kuralına dikkat etmek, uzun hesap yapmadan doğru cevabı bulmak için çoğu zaman yeterlidir.
Birleşim ve Kesişimde Aralıkların Sırası
İki eşitsizlik birden sağlanıyorsa kesişim alınır ve sonuç daralan aralık olur; herhangi biri sağlanması yeterliyse birleşim alınır ve sonuç genişleyen aralık olur. Kesişimde ve, birleşimde veya bağlacı kullanılır; bu ayrım yazımın en sık karıştırılan kısmıdır.
Birleşim sonucu her koşulda en geniş aralıktır, kesişim ise en dar aralıktır. Sayı doğrusunda iki aralığın ortak bölümünü çizmek, hangi işlemin yapıldığını hesaplamadan önce görsel olarak belli eder; bu nedenle şıklar dâhil edilme işaretine göre eleme yapılabilir.
Uç Noktaların İşareti
Aralık uçlarındaki ≤ ve ≥ işaretleri kapalı uç demektir ve sayı doğrusunda içi dolu daireyle gösterilir; < ve > işaretleri ise açık uçtur, içi boş daire kullanılır.
Şıklarda aralık yazımı ile sayı doğrusu gösterimi birbirini doğrular; kapalı uç dâhil, açık uç hariçtir kuralı hangi değerin aralıkta yer alacağını tek adımda belirler.
Günlük hayattan bir uygulama
Şimdi konuyu kendi hayatımızdaki bir duruma uygulayacağız. Eşitsizlikler bilgisi olmadan da bu iş yapılabilir, ama nasıl yapıldığını açıklamak zorlaşır; soru tam da bu açıklamayı istiyor.
Uygulama sorusu: |x − 3| < 4 eşitsizliğini adım adım çözünüz, çözüm kümesini aralık biçiminde yazıp sayı üzerinde nasıl gösterileceğini açıklayınız.
Bu görev için 15 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.
Dersi tekrar ederken bakacağınız notlar
- İşaret tablosunda en sağ aralık her zaman baş katsayının işaretini alır.
- Eşitsizliği sıfıra eşitleyip kökleri bulmak ilk adımdır.
- Çözüm kümesini sayı doğrusunda göstererek kontrol et.
- Sayı doğrusunda kökleri işaretle ve işaret tablosunu doldur; ikinci dereceden eşitsizliklerde bu yol hata payını düşürür.
İki örnek üzerinde çözüm
İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.
Örnek 1: Birinci Dereceden
Soru: −2x + 6 > 0 eşitsizliğini çözünüz.
- −2x > −6
- Negatif sayıya bölünürken yön değişir: x < 3
- Sonuç birim ve mertebe kontrolüyle doğrulanır, gerekirse işlem tekrar edilir.
Cevap: Cevap: Çözüm kümesi (−∞, 3)
Bu örnekte adım sayısını not edin: kural her zaman aynı sayıda işlemle değil, kazanılması gereken bilgiye göre çözülür.
Örnek 2: İkinci Dereceden
Soru: x² − 5x + 6 > 0 eşitsizliğini çözünüz.
- Kökler: (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2, x = 3
- İşaret tablosu: 2'nin solunda +, arasında −, 3'ün sağında +
- Sonuç birim ve mertebe kontrolüyle doğrulanır, gerekirse işlem tekrar edilir.
Cevap: Cevap: x 3
Kavram karşılaştırma tablosu — Terimler ve aralarındaki fark
Bu derste geçen terimler birbirine yakın durur ve sınavda karıştırılır. Aşağıdaki tabloda her terimin anlamı ve sık karıştırılan karşılığı yan yana verilmiştir.
| Kavram | Anlamı | Sık karıştırılan karşılığı |
|---|---|---|
| Sayı doğrusunda iki aralığın ortak bölümünü çizmek | Hangi işlemin yapıldığını hesaplamadan önce görsel olarak belli eder; bu nedenle şıklar dâhil edilme işaretine göre eleme yapılabilir. | Bu kavram için ayrı bir hata kaydı tutulmamış; tanımıyla ilgili uyarılar aşağıdaki bölümde. |
| İkinci dereceden | Köklere göre işaret tablosu | İkinci dereceden eşitsizlikte işaret tablosu yapmamak |
| Kapalı uç dâhil | Açık uç hariçtir kuralı hangi değerin aralıkta yer alacağını tek adımda belirler. | Bu kavram için ayrı bir hata kaydı tutulmamış; tanımıyla ilgili uyarılar aşağıdaki bölümde. |
Kurallar, formüller ve ölçüler
Bu konunun dayandığı kurallar aşağıdadır. Tabloyu ezberlemek değil, kuralın hangi soruda işe yaradığını görmek esastır.
| Kural ya da formül | Ölçü / birim | Örnek adımlarında geçiyor mu |
|---|---|---|
| a b·c (yön değişir) | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 1: Birinci Dereceden |
| İkinci dereceden: köklere göre işaret tablosu | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 2: İkinci Dereceden |
| |x| < a ⇔ −a < x < a | Ölçü birimi yok (saf kural) | Örnek adımlarında sayısal olarak geçmiyor |
| |x| > a ⇔ x a | Ölçü birimi yok (saf kural) | Örnek adımlarında sayısal olarak geçmiyor |
| İkinci dereceden eşitsizlikte çözüm aralığı, köklerden sonra baş katsayının işaretine göre belirlenir. | Ölçü birimi yok (saf kural) | Evet — Örnek 4: Kesişim ile Oluşan Aralık |
Sık Yapılan Hatalar — Hangi hatalara dikkat edelim?
Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.
- Negatifle bölmede yönü çevirmemek: En sık yapılan hatadır.
- İkinci dereceden eşitsizlikte işaret tablosu yapmamak: Aralıklar yanlış çıkar.
- Mutlak değerde tek durum yazmak: İki ayrı durum incelenmelidir.
- Aralık uçlarını yanlış dahil etmek: açık, ≤ ve ≥ kapalı uç verir.
Kısaca özet
Kısaca: Eşitsizliklerin çözümü aralıklarla ifade edilir. Birinci dereceden eşitsizliklerde yön kuralına, ikinci derecedekilerde işaret tablosuna, mutlak değerlilerde iki duruma dikkat edilir.
Sınav öncesi şu maddeleri tekrar etmek yeterli olacaktır:
- a b·c (yön değişir)
- İkinci dereceden: köklere göre işaret tablosu
- |x| < a ⇔ −a < x < a
- |x| > a ⇔ x a
- Kesişim bağlacı ve, birleşim bağlacı veya olarak okunur; bu ayrım aralıkların doğru yazılmasını sağlar.
Kendini dene
Bu üç soru konunun özetidir. Çözmeden önce her biri için hangi kuralı kullanıyorum diye düşün; cevap anahtarı sonda verilmiştir.
- |x − 5| > 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir? (Şıklar: (3,7) · (-inf,3)U(7,inf) · [3,7] · (-inf,5)U(5,inf))
- x+3>0 ve 2x-1<5? (Şıklar: (-3,3) · (-3,3] · [-3,3) · (-inf,3))
- 2x − 5 > 7 eşitsizliğinde x hangi sayıdan büyüktür? (Şıklar: 4 · 6 · 3 · 5)
Cevap anahtarı: 1) (-inf,3)U(7,inf) — |x − 5| > 2 koşulu iki duruma ayrılır: x − 5 > 2 ya da x − 5 < −2, yani çözüm (-inf,3)U(7,inf) aralığıdır.
2) (-3,3) — İlk eşitsizlikten x > −3, ikincisinden x < 3 bulunur; ikisini de sağlayan aralık (-3,3) biçimindedir.
3) 6 — 5 taraf tarafa eklenir: 2x > 12, ardından iki ile bölünür ve x > 6 sonucu elde edilir.
Komşu konular
Bu konuyu öğrenmek şu başlıkları da kolaylaştırır. Aynı üniteden ve sonraki üniteden ikişer konu seçtik:
- Bir Doğal Sayının Asal Çarpanları — aynı ünitede, bir sonraki adım.
- Bölenleri — aynı ünitede, bir sonraki adım.
- Bölünebilme — aynı ünitede, bir sonraki adım.
- En Büyük Ortak Bölen (EBOB) — aynı ünitede, bir sonraki adım.
Bu anlatım hakkında
Eşitsizlikler başlığındaki her sayısal iddia elle doğrulanabilir biçimde yazıldı: soruda verilen değer, uygulanan kural ve bulunan sonuç yan yana durur. Metin özgün yazılmıştır, başka bir kaynaktan alıntı yapılmamıştır.
Ayrıca derste şu açık uçlu görevler yer alıyor; her biri puanlıdır ve kendi cevabını yazmanı ister:
- |x − 3| < 4 eşitsizliğini adım adım çözünüz, çözüm kümesini aralık biçiminde yazıp sayı üzerinde nasıl gösterileceğini açıklayınız. (15 puan)
- İkinci dereceden eşitsizlik çözerken izlenecek adımları sıralayıp x² − 4 > 0 eşitsizliğini bu adımlarla çözünüz. (10 puan)
- x² − 5x + 6 ≤ 0 eşitsizliğini çözerken kökleri bulunuz, parabolün yönünü dikkate alarak çözüm aralığını belirleyiniz ve sonucu sayı doğrusunda gösteriniz. (10 puan)
Eşitsizlikler — Sık Sorulan Sorular
Sık Yapılan Hatalar — Hangi hatalara dikkat edelim?
Hata yapmamak için önce hatanın nereden geldiğini bilmek gerekir. Aşağıdaki listede her hata için yanlış giden yol ve doğru yol birlikte verilmiştir.
Eşitsizlikler nedir?
Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor: Bu konu, Denklem Sistemleri başlığında öğrendiklerimizin üzerine kurulur. Önceki konudaki kavram burada yeniden kullanılıyor; bu yüzden o adımı atlamamak önemlidir.
Eşitsizlikler konusunda sık yapılan hatalar nelerdir?
Negatifle bölmede yönü çevirmemek: En sık yapılan hatadır. İkinci dereceden eşitsizlikte işaret tablosu yapmamak: Aralıklar yanlış çıkar.
Eşitsizlikler için hangi formüller ve kurallar kullanılır?
a b·c (yön değişir) · İkinci dereceden: köklere göre işaret tablosu · |x| < a ⇔ −a < x < a · |x| > a ⇔ x a
Eşitsizlikler kazanımları nelerdir?
Birinci dereceden eşitsizlikleri çözer. İkinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümesini bulur. Mutlak değerli eşitsizlikleri çözer.
Eşitsizlikler Kazanımları
- Birinci dereceden eşitsizlikleri çözer.
- İkinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümesini bulur.
- Mutlak değerli eşitsizlikleri çözer.
- Çözüm kümesini aralık ve sayı doğrusu üzerinde gösterir.
- Eşitsizliklerin çözümü aralıklarla ifade edilir kavramını öğrenir ve uygular.
- Birinci ve ikinci dereceden eşitsizlikler, mutlak değer kavramını öğrenir ve uygular.
Örnek Sorular ve Çözümleri
Örnek Soru 2 orta
x^2-9<0 çözümü?
- A) (-3,3)
- B) (-inf,-3)U(3,inf)
- C) [-3,3]
- D) (3,inf)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (-3,3)
x² − 9 < 0 eşitsizliğinde kökler −3 ve 3 olduğundan çözüm −3 < x < 3, yani (-3,3) aralığıdır.
Örnek Soru 3 zor
|x − 5| > 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
- A) (3,7)
- B) (-inf,3)U(7,inf)
- C) [3,7]
- D) (-inf,5)U(5,inf)
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (-inf,3)U(7,inf)
(-inf,3)U(7,inf) kavramı Eşitsizlikler konusunun temel bir kavramıdır. Detaylar konu anlatımında verilmiştir.
Sıradaki adım
1 · Soru çözümüBu konunun sorularını çözÖnce kendin dene, sonra çözümle karşılaştır.2 · QuizQuiz ile pekiştirQuiz için hesap gerekir.3 · DersDersin tüm konularıMatematik · 10. Sınıf
Konu anlatımları hesapsız okunur. Quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
DersTeders ile devam et
Matematik için çalışma yolu
- OkuKonu anlatımını bu sayfada bitir.
- Soru çözÖrnekleri çöz, cevabı açıklamayla karşılaştır.
- Quiz ile pekiştirHesapla kendini ölç.
Hesap açTüm dersleri keşfet
Konu anlatımları hesapsız okunur; quiz, slayt ve deneme için hesap gerekir.
Bu sayfa Eşitsizlikler konusunun anlatımını, kazanımlarını ve örnek sorularını içerir. Konuyla ilgili tüm sorular için testi çöz, diğer konular için DersTeders ana sayfasına geçebilirsin.
Bu konunun öğretmen materyallerini (ders planı, çalışma kâğıdı, çözümlü soru bankası, rubrik) yazdırabilirsin: Yazıcı çıktısı modülünü aç