Cebirsel ve Fonksiyonel İşlemlerin Algoritmik Yapısı

Konu Anlatımı

Bu derste ne öğreneceğiz?

Bu derste Cebirsel ve Fonksiyonel İşlemlerin Algoritmik Yapısı konusunu çalışacağız.

Dersten sonra şunları yapabiliyor olmanız gerekiyor:

• Kazanım 1: Algoritma kavramını açıklayıp bir algoritmanın taşıması gereken özellikleri belirleyebilme
• Kazanım 2: Bir algoritmanın adımlarını akış diyagramı sembolleriyle gösterebilme
• Kazanım 3: Değişken ve atama kavramlarını kullanarak hesaplama adımlarını yazabilme
• Kazanım 4: Yineleme ve özyineleme yapılarını karşılaştırıp uygun durumda seçebilme
• Kazanım 5: Cebirsel bir ifadeyi öncelik kurallarına uygun olarak adım adım değerlendirebilme

Ön bilgi: bundan önce gördüğümüz

Bu konu, Bayes Teoremi başlığında öğrendiklerimizin üzerine kurulur. Önceki konudaki kavram burada yeniden kullanılıyor; bu yüzden o adımı atlamamak önemlidir.

• Bayes Teoremi — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.
• İki Kategorik Değişkenli Veriler — bu derste kullandığımız temel kavram buradan geliyor.

Algoritma Nedir?

Bir problemi çözmek için izlenen sıralı ve sonlu adımlar kümesine algoritma denir. Algoritmada her adım, bir önceki adımın ürettiği sonuç üzerinden yürür ve bütün adımlar birlikte istenen sonuca ulaştırır. Matematikte bir ifadeyi sadeleştirmek, bir denklemi çözmek ya da bir fonksiyon değerini hesaplamak için izlenen yol da bir algoritmadır.

Bir algoritmanın dört temel özelliği vardır. Sonlu olması, belirli sayıda adımdan sonra durması demektir. Belirli olması, her adımının açık ve tek anlamlı biçimde tanımlanmasıdır. Genel olması, yalnızca tek bir duruma değil bir problemin tamamına uygulanabilmesidir. Uygulanabilir olması ise her adımın gerçekten yapılabilir olmasıdır.

Algoritmanın Özellikleri

Aşağıdaki tablo, algoritma kavramını oluşturan özellikleri ve her birinden beklenen davranışı özetlemektedir.

Akış Diyagramı ve Semboller

Algoritmanın adımlarını görsel olarak göstermek için akış diyagramı kullanılır. Başlangıç ve bitiş oval şekille, süreç adımları dikdörtgenle, kararlar ise eşit iki kenarı eşit olan yamsı bölgeyle gösterilir. Karar noktasından çıkan iki çizgi, koşulun doğru ya da yanlış olduğu durumları belirtir.

Bir akış diyagramının okunmasında oklar yönünde ilerlenir. Her kutu bir adımı, her eşkenar dörtgen bir koşulu gösterdiği için diyagram, metin hâlindeki algoritmayla birebir karşılık gelir.

Değişken, Atama ve Yineleme

Algoritmada hesaplanan değerleri saklamak için değişken kullanılır. Değişkenin içeriği atama işlemiyle değiştirilir; atamada yeni değer hesaplanır ve eski değerin yerine yazılır. Bir sayıyı iki katına çıkarma gibi işlemler, değişkenler aracılığıyla birkaç adımda yazılabilir.

Yineleme, belirli bir adımın bir koşul sağlandığı sürece tekrarlanmasıdır. Döngünün ne kadar süreceğini bir sayaç belirler ve sayaç her turda bir artar ya da azalır. Sayaç hiç değişmezse döngü hiç bitmez.

Özyineleme

Özyineleme, bir fonksiyonun kendisini daha küçük ya da daha basit bir girdiyle yeniden çağırmasıdır. Küçük problemlerin çözümlerinden yararlanarak büyük problem inşa edilir. Bu yapının durması için bir temel durum tanımlanmalıdır; temel durum sağlanmadığında çağrı zinciri hiçbir zaman sona ermez.

İleri örnek

Aşağıdaki adımları izleyen bir algoritmayı inceleyelim: A değişkeni 1 değeriyle başlatılır, sonra A değerine 2 eklenir, ardından A iki katına çıkarılır.

1. Birinci adımda A değişkenine 1 yazılır.
2. İkinci adımda A değerine 2 eklenir ve A üç olur.
3. Üçüncü adımda A iki katına çıkarılır ve A altı olur.
4. Adımlar sırayla uygulanmış olur ve sonuç A değişkeninde saklanır.

Burada dikkat edilmesi gereken nokta, atama işleminde sağ tarafın mevcut değer kullanılarak hesaplanmasıdır. Değişkenin değeri her adımda güncellenip eski değeri unutulur. Değişkenin içeriği program boyunca birden çok kez değişebildiği için sabitlerden ayırt edilir.

Özet

Algoritma, bir problemi çözmek için izlenen sıralı ve sonlu adımlar kümesidir. Sonlu, belirli, genel ve uygulanabilir olmak dört temel özelliktir. Akış diyagramı bu adımları görselleştirir; başlangıç ve bitiş oval, süreç dikdörtgen, karar ise yamsı bölge ile gösterilir. Hesaplanan değerler değişkenlerde saklanır ve atama işlemiyle güncellenir. Yineleme, bir koşul sağlandığı sürece adımları tekrarlar ve bir sayaçla denetlenir. Özyineleme ise fonksiyonun kendisini daha küçük girdiyle çağırmasıdır ve mutlaka bir temel durum içermelidir. Cebirsel ifadelerde öncelik sırası parantez, üs, çarpma ve bölme, en son toplama ve çıkarma şeklindedir. Fonksiyonlarda bileşke için iç fonksiyon önce uygulanır. Doğrusal fonksiyonun tersi çarpma ve bölme adımlarıyla, karesel fonksiyonun tepe noktası ise bölme adımıyla elde edilir.

Sık Yapılan Hatalar

• Algoritmanın sonlu olmaması: Döngüyü durduracak bir koşul yazılmazsa algoritma hiçbir zaman bitmez. Sayaç ya da koşul eksikliği en sık nedenlerdendir.
• Temel durumu atlamak: Özyinelemeli bir yazımda durma koşulu tanımlanmazsa özyineleme sonsuz bir çağrı zincirine dönüşür ve hiçbir çıktı üretilemez.
• Atama ile eşitliği karıştırmak: Atamada sağ taraf hesaplanıp değişkenin eski değeri silinir. Değişken, kendi eski değerini korumuyorsa sonuç beklenenden farklı çıkar.
• Cebirsel önceliği atlamak: Çarpma toplamadan önce yapılır. Bu kural göz ardı edilirse değerleme yanlış sonuç verir.
• Bileşke sırasını ters almak: Fonksiyonlarda bileşke hesaplanırken iç fonksiyon önce uygulanır; sıra ters çevrilirse tamamen farklı bir değer bulunur.

Günlük hayattan bir uygulama

Şimdi konuyu kendi hayatımızdaki bir duruma uygulayacağız. Cebirsel ve Fonksiyonel İşlemlerin Algoritmik Yapısı bilgisi olmadan da bu iş yapılabilir, ama nasıl yapıldığını açıklamak zorlaşır; soru tam da bu açıklamayı istiyor.

Uygulama sorusu: Bir sayının rakamlarının toplamını bulan bir algoritma yazınız. Algoritmanın adımlarını numaralı biçimde yazınız ve gereken değişkenleri belirtiniz.

Bu görev için 12 puan dağıtılmıştır; puanlama anahtarı, cevabın hangi adımlarla gösterilmesi gerektiğini ayrıntılı biçimde söyler. Puanlamada işlem sırasının ve sonuç cümlenin ayrı ayrı sayıldığına dikkat et.

Dersi tekrar ederken bakacağınız notlar

• Algoritma yazarken adımları numaralandırın; numaralar sırayı ve eksik adımı gözle bulmayı kolaylaştırır.
• Her adımdan sonra değişkenlerin güncel değerini yazın; büyük değerlerde bu tablo hataları anında yakalar.
• Değişken adını kısa ama anlamlı seçin; aynı değişkenin kuralda hangi rolü oynadığı yazıdan anlaşılmalıdır.
• Döngü kurarken sayacın başlangıç ve bitiş değerini önceden yazın; bu, döngünün kaç kez çalışacağını netleştirir.
• Özyineleme ile yineleme arasında seçim yaparken problemin doğal yapısına bakın; küçük problemlere bölünebiliyorsa özyineleme, döngü sayısı belliyse yineleme daha uygundur.

İki örnek üzerinde çözüm

İki örnek üzerinde çalışacağız. İlk örnek kuralın temel kullanımını, ikinci örnek ise kuralın zorlayıcı bir durumunu gösterir. Adımları kendin yazmayı dene; ikinci adımda nerede durduğunu görmek, sınavda zaman kazanır.

Örnek 1: Atama Adımlarını İzleme

Soru: A değişkeni 1 değeriyle başlatılıyor. Sonra A değerine 2 ekleniyor, ardından A iki katına çıkarılıyor. Bu adımlardan sonra A kaç olur?

1. Birinci adımda A değişkenine bir yazılır.
2. İkinci adımda sağ taraf hesaplanır ve A değerine iki eklenir.
3. Üçüncü adımda A'nın güncel değeri iki ile çarpılır.
4. Atamalardan sonra A değişkeninde kalan değer yazılır.

Cevap: A değişkeninin son değeri altı olur.